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数学试卷
注意事项:
1. 答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1. 设集合 ，若 只含一个元素，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 是关于 的实系数一元二次方程 的两个根，若 ，则 （ ）
A. B. 4 C. 6 D. 16
3. 平面向量 与 相互垂直，已知 ，且 与向量（1，0）的夹角是钝角，则 （ ）
A.（-6，8） B.（8，6） C.（-8，6） D.（-8， - 6）
4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 （ 为常数），则（ ）
A. 为偶函数
B. 为奇函数
C. 为既奇又偶函数
D. 为非奇非偶函数
6. 已知方程 在区间 上有两个不相等的实数根 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱柱 的体积为 分别是棱 的中点，则以 为顶点的五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于二次函数 ，若函数 有 4 个零点，则有（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分）
9. 已知 为随机事件 的对立事件， 且 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 设 是双曲线 的左、右焦点，过 作 的一条渐近线的垂线 ， 垂足为 ，且 与双曲线右支相交于点 ，若 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的实轴长为 2 B. 双曲线的离心率为
C. 点 到 轴的距离为 D. 四边形 的面积为 15
11. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. 是递减数列 B.
C. D.
三、填空题（本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12. 在（0，0）处的切线方程为_____.
13. 写出一条与圆 和抛物线 都相切的直线的方程_____.
14. 在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过 2 的概率为_____.
四、解答题（共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分 13 分）
在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求证: ；
（2）若 ，求 的面积.
16. （本小题满分 15 分）
一个抽奖箱中装有标有数字1，2，3，4，5的奖券各 2 张，从中任意抽取 3 张，每张奖券被取出的可能性相等.
（1）求一次取出的 3 张奖券中的数字之和不大于 5 的概率；
（2）用 表示取出的 3 张奖券中的最大数字，求随机变量 的分布列和数学期望 .
17. （本小题满分 15 分）
如图，已知曲线 的左、右焦点分别是 ，曲线 的焦点是 ，点 是 与 在第一象限内的公共点且点 的横坐标为 ，过 的直线 分别与曲线 和 交于点 和 .
（1）求曲线 和曲线 的方程；
（2）若 与 面积分别是 ，求 的最小值.
18.（本小题满分 17 分）
如图，在平面四边形 中， ，将 沿 翻折至 ， 形成三棱锥 ，其中 为动点.
（1）设 ，点 在棱 上.
（i） 证明: ；
（ii） 当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值.
（2）求平面 与平面 夹角余弦值的最小值.
19. （本小题满分 17 分）
已知曲线 ，曲线 ，其中 .
（1）证明: 与 存在唯一交点；
（2）在（1）的条件下，设交点为 ，作 在点 处的切线，交 轴于点 .
（i）证明: ；
（ii） 若 在点 处的切线与 垂直，证明: 在椭圆 4 外.
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D B B A B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABC BCD ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 或（写出一条即可）
四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）证明：由，根据正弦定理得，
在中，， （2分）
所以，
整理得，即， （4分）
所以或（不符合题意，舍去），可得． （6分）
（2）解：根据正弦定理，可得，即，
解得，由余弦定理，即，
整理得，解得或． （10分）
当时，，结合可得，所以．
此时，故不符合题意，舍去． （11分）
所以的面积为． （13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）“一次取出的3张奖券中的数字之和不大于5”的事件记为A，
“一次取出的3张奖券中的数字之和为4”的事件记为B，
，“一次取出的3张奖券中的数字之和为5”的事件记为C，
则，则． （6分）
（2）由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
． （15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题，曲线的准线为，
设，据题意有，则，曲线． （2分）
因为在曲线上，
所以，得，因为点P在第一象限，所以， （3分）
因为点P在椭圆上及是的焦点，
所以，解得：，所以曲线的方程是． （6分）
（2）设到直线l的距离为d，则， （7分）
当l垂直于x轴时，直线l为，由，得，或，所以，
由，得或，所以，此时， （9分）
当l不垂直于x轴时，设l的方程是，
联立，得，
则，所以； （11分）
联立，得：，
，
设，则，
所以
， （13分）
所以，
综上：的最小值为． （15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）（i）取AC的中点E，连接SE，BE，如图，因为，且AC的中点为E，
所以，
又，SE，平面SBE，故平面SBE，
由于平面SBE，故． （4分）
（ii）连接EF，由（i）知，平面SBE，
则，
时，EF最小时，的面积最小．
又平面AFC，又平面ABS，
平面平面AFC，过C作，垂足为M，则平面ABS，
故为直线CF与平面ABS所成的角，由，且，又，
，所以，
，
在中，由余弦定理得．
故CF与平面ABS所成的角的正弦值为． （10分）
（2）以E为坐标原点，的方向为x轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，设，则，
，
设平面CAS的法向量为，
则，取，
设平面CBS的法向量为，
则，
取，设平面ASC与平面BSC夹角为，易知，
，
令，则，，
当，即时，取得最小值，
平面ASC与平面BSC夹角余弦值的最小值为．（17分）
19．（本小题满分17分）
证明：（1）令，其定义域为．
当时，，从而；
当时，单调递增，且，
从而由零点存在性定理，存在唯一，有，
故在上有唯一零点，即E与F存在唯一交点． （5分）
（2）（i）E在点A处的切线为，则点，
从而，
由，则只需证，即证，即，
令，其中，则，
故在上单调递增，则有，从而，证毕； （10分）
（ii）由F在点处的切线与AB垂直可知，，
即，又在椭圆外，
则只需证：，即证，即证，
由，即证，只需，代入有：，即证：，
令，代入有，令，
，从而在上单调递增，故，
即，证毕． （17分）

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