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浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期5月
高考及选考适应性考试数学试卷
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　
A．1 B． C．2 D．
3．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
4．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（ ）
A．192 B．144 C．124 D．216
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （ ）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
6．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，当且仅当有，则（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量X的方差，则
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则
C．若随机变量ξ服从正态分布，，则
D．若随机变量η服从二项分布，则
10．曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
11．已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则数列为等比数列
C．若，则数列为常数列 D．若，则
三、填空题
12．已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为 ．
13．已知定义在R上的函数满足且，则 ．
14．已知平行四边形ABCD满足，则 ．
四、解答题
15．已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
16．已知函数，．
（1）若在处的切线方程为，求实数m的值；
（2）讨论的单调性.
17．在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且．
（1）求角B的大小；
（2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值．
18．已知抛物线的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．
（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；
（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程．
19．已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．
（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；
（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；
（3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．A
5．C
6．D
7．D
8．B
9．BC
10．ABD
11．AD
12．
13．
14．
15．（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.
16．（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．（1）由余弦定理可得，则，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）
设，则，则，
在中，由正弦定理可得，
则，
则，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
所以
，
则，
且，所以当时，即，取得最大值.
18．（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
19．（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：
先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0,1,2,...,2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：

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