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四川省南充市2025年中考数学试题
(满分150分, 时间120分钟)
注意事项：1.答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；
2.所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写.
一、选择题(本大题共 10个小题，每小题4分，共40分)
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.
1.下列计算正确的是
(A) 2a+a=3 (B) 2a-a=2
(D) 2a÷a=2a
2.如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是
(A) 120° (B) 130°
(C) 140° (D) 150°
3.2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了 一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒.用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为
(A) 8.5×10 米/秒 (B) 8.5×10 米/秒
(C) 8.5×10 米/秒 (D) 85×10 米/秒
4. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是
(A)6 (B)9 (C)11 (D) 15
5.我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程
(A)3x+2=5y+3 (B)5x+2=3y+3
(C)3x-2=5y-3 (D)5x-2=3y-3
6.如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是
(A) 2-2π (B) π-2
(C) 5-2π (D) 2-π
7.如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是
(A) 12
(C) 16
8. 已知 则 的值是
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 6
9. 如图,AB是⊙O的直径, AD⊥AB于点A, OD 交⊙O于点 C,AE⊥OD 于点E,交⊙O于点 F, F为弧 BC的中点, P 为线段AB上一动点, 若CD=4, 则 PE+PF的最小值是
(A) 4
(C) 6
10.已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时， 当x＞2时, y=2x-4. 若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是
(A)
(C) (D) 或b＞0
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
请将答案填在答题卡对应的横线上.
11. 计算:
12.不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 ▲ .
13、不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 ▲ .
14. 如图, ∠AOB=90°, 在射线OB 上取一点 C, 以点O为圆心,OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 D，连接并延长CD 交射线 OA于点E. 设OC=1, 则 OE 的长是 ▲ .
15. 已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上，则 的值是 ▲ .
16. 如图, AC 为正方形ABCD的对角线, CE平分∠ACB, 交AB 于点E,把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF,延长CE 交 AF于点 M, 连接 DM, 交 AC 于点 N. 给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°; 以上结论正确的是 ▲ .(填写序号)
三、解答题(本大题共9个小题，共86分)
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)
计算：
18.(8分)
如图, 在五边形ABCDE中, AB=AE, AC=AD, ∠BAD=∠EAC.
(1) 求证: △ABC≌△AED.
(2) 求证: ∠BCD=∠EDC.
19.(8分)
为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”(四类中必选并只选一类)，调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图.
(1)求问卷调查的总人数，并补全条形图.
(2)若该校共有 800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数.
(3)本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率.
20. (10分)
设x ，x 是关于x的方程(x-1)(x-2)=m 的两根.
(1) 当x =-1时, 求x 及m的值.
(2) 求证:
21. (10分)
如图， 一次函数与反比例函数图象交于点A(-3，1)，B(1, n).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D， 求a的值.
22. (10分)
如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于点 D, 以CD为直径的⊙O交BC于点E, 交AC于点 F, M为线段DB上 一点, ME=MD.
(1) 求证: ME是⊙O 的切线.
(2) 若 求OM的长.
23.(10分)
学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A 型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆.优惠方案:租用A 型客车m辆,租车费用(3200-50m)元/辆;租用B型客车，租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆.
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少
24.(10分)
矩形ABCD中, AB=10,AD=17, 点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE 折叠，使点 B落在点 P 处.
【初步感知】(1)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD 于点 F, 求证: FP=FC.
【深入探究】(2)如图2,点 M在线段CD上,CM=4. 点E在移动过程中，求PM的最小值.
【拓展运用】(3)如图2, 点N在线段AD上, AN=4. 点E在移动过程中，点 P 在矩形内部，当△PDN 是以DN 为斜边的直角三角形时，求BE 的长.
25. (12分)
抛物线 与x轴交于A (3,0),B两点,N是抛物线顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 B 的坐标.
(2) 如图1, 抛物线上两点P(m, y ), Q(m+2, y ), 若PQ∥BN,求m的值.
(3)如图2，点M(-1，-5)，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点 若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.
南充市二○二五年初中学业水平考试
数学参考答案及评分意见
说明：
1.阅卷前认真阅读参考答案和评分意见，明确评分标准，不得随意拔高或降低标准.
2.全卷满分 150 分，参考答案和评分意见所给分数表示考生正确完成当前步骤时应得的累加分数.
3.参考答案和评分意见仅是解答的一种，如果考生的解答与参考答案不同，只要正确就应该参照评分意见给分.合理精简解答步骤，其简化部分不影响评分.
4.要坚持每题评阅到底.如果考生解答过程发生错误，只要不降低后继部分的难度且后继部分再无新的错误，可得不超过后继部分应得分数的一半；如果发生第二次错误，后面部分不予得分；若是相对独立的得分点，其中一处错误不影响其它得分点的评分.
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C A D B D C A
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11、 -3a; 12. 13. m≤3; 14. 16. ①③④.
三、解答题(本大题共9个小题，共86分)
17. 解: 原式 ……(5分)
……(6分)
=1. ………(8分)
18. 证明: (1) ∵ ∠BAD=∠EAC,
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD. ……(1分)
∴ ∠BAC=∠EAD. ……(2分)
在△ABC与△AED中, ……(4分)
∴△ABC≌△AED. (SAS) ………(5分)
(2) ∵△ABC≌△AED, ∴ ∠ACB=∠ADE. ………(6分)
∵ AC=AD, ∴ ∠ACD=∠ADC. ……(7分)
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∴∠BCD=∠EDC. ……(8分)
19. 解: (1) 问卷调查的总人数: 26÷26%=100(人). ………(1分)
D木偶班人数: 100-26-24-20=30(人), 补全条形图(图略). ………(2分)
(2)最希望增设“木偶班”的学生人数： (人). ……(4分)
(3)作“树状图” (或列表，或列举，略). ………(6分)
由图可知：共有 20种等可能结果，其中恰好选中一男一女的情况(记为事件 M)共有12种，则 ………(8分)
20. (1)解: 把x =-1代入方程 得 ……(2分)
∴ (x-1)(x-2)=6, 即. ………(3分)
解方程得, x =-1, x =4. 故. ……(5分)
(2) 证明: 方程( 可化为 ……(6分)
原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得 ……(8分)
……(9分)
……(10分)
21.解：(1)设反比例函数解析式为 ……(1分)
∵经过点 A(-3, 1), ∴k =-3. ∴反比例函数为 ……(2分)
∵B(1, n)在 图象上, n=-3. ∴ B(1, - 3). ……(3分)
设一次函数解析式为 ……(4分)
列方程组 解得 一次函数为y=-x-2. ……(6分)
(2)∵CD⊥x轴, ∴c(a,-a，),D (a, - a-2). ……(8分)
即 ……(9分)
∵点C在第二象限, ∴a=-6. …… (10 分)
22. (1) 证明: 连接OE. ………(1分)
在△ODM与△OEM中, OD=OE, OM=OM, DM=EM,
∴ △ODM≌△OEM.(SSS) ………(3分)
∴∠OEM=∠ODM=90°, ∴ ME为⊙O的切线. ………(5分)
(2) 解: 连接DF. ………(6分)
∵ ∠ACB=90°, CD⊥AB, ∴ ∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°.
……(7分)
∵ CD为直径,
……(8分)
设
……(9分)
∵ △ODM≌△OEM, ∴ ∠1=∠2.
∵ ∠1+∠2=∠3+∠4, ∠3=∠4, ∴ ∠1=∠3, ∴ OM∥CB.
……(10分)
23.解：(1)设A 型客车每辆载客量为x人，由题目得 … (2分)
解之得x=60. …… (3分)
经检验： x=60是方程的根. ………(4分)
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人.
(2) 设租A型客车m辆, B型客车(10-m) 辆,租车总费用w, 则
60m+45(10-m)≥53
解之得 ………(7分)
w=(3200-50m)m+3000×0.8×(10-m) ……(8分)
∵ 对称轴为m=8, ∴ m≤8时, w随着m的增大而增大. ………(9分)
∵m取正整数，且 ∴当m=6时, w最小值为27000(元). ……(10分)
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元.
24. 证明: (1) 连接EF, 由折叠可得∠APE=∠B=90°, PE=BE. ………(1分)
∵ 四边形ABCD为矩形, ∠C=90°.
∵ E为BC的中点, BE=EC, ∴ PE=EC. ………(2分)
在Rt△EPF 与Rt△ECF中, 由EP=EC, EF=EF,
∴ Rt△EPF≌Rt△ECF (HL), ∴ FP=FC. ……(3分)
(2)AP=AB=10, 点E在移动过程中, AP=10不变.
∴ 点 P在以A为圆心，10为半径的⊙A 的弧上. ………(4分)
∴ 连接AM，当点 P在线段AM上时，PM有最小值. ………(5分)
∵ AD=17, AB=CD=10, CM=4, ∴ DM=6.
,
∴ PM的最小值为 ………(6分)
(3) P在矩形内部, 过点 P作PH⊥AD于H, 交BC 于点G. ………(7分)
∵ ∠NPD=90°, 即∠1+∠2=90°, ∴ ∠1+∠3=90°. 故∠3=∠2.
∵ ∠PHN=∠DHP, ∴△PHN∽△DHP,
……(8分)
AN=4, AD=17, ∴ DN=13.
设HN=x, HD=13-x, ∴ AH=x+4, HP =x(13-x).
∵ AB=10, ∴ AP=AB=10, ∵ HP =AP -AH , ∴ HP =10 -(x+-4) .
∴ x(13-x) =10 ---(x+4) , 解得x=4. …… (9分)
∴ HP=6, AH=8. HG=AB=10, PG=4, BG=AH=8.
设BE=m, 则PE=m, GE=8-m.
在Rt△PGE中, . 则
解得, m=5, 即BE的长为5. ………(10分)
25. 解:(1) 把A(3, 0) 代入 ……(2分)
令 得x =-5, x =3. ∴ B(-5, 0). ……(3分)
(2) ∵ B(-5,0), N(-1, - 4), ∴ 直线BN为y=-x-5. ………(4分)
∵ PQ∥BN, 设直线PQ为 y=-x+n. ……(5分)
点
解得 m=-4. ………(7分)
(3)存在定点T满足条件. ………(8分)
设直线l解析式y= kx+b, 直线l与抛物线相交于点G(x , y ), H(x , y ),
……(9分)
作GC⊥MN, HD⊥MN, GC=--1-x , MC=y +5,HD=x +1, MD=y +5,∵ ∠GMN=∠HMN, ∴ tan∠GMN=tan∠HMN.
即 ……(10分)
.
∴ - 4k(b-k+3)=0. ……(11分)
∵ 直线l不垂直于y轴, ∴ k≠0, ∴ b-k+3=0, ∴ b=k-3.
∴ 直线l解析式y=k(x+1)-3.
∵ 无论k为何值, x=--1, y=-3.
l过定点T(-1, - 3), 故存在定点T(-1, - 3). ………(12 分)
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