河北省张家口市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含详解)

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河北省张家口市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含详解)

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2025年河北省张家口市中考二模数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列各式的计算结果为负数的是( )
A. B. C. D.
2.如图,点,,在同一条直线上,,直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转,形成(小于),,,当增加时,下列说法正确的是( )
A.增加 B.减少 C.增加 D.减少
3.下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.图1中有一个用四个相同的小正方体搭成的长方体,现要再添加一个相同的小正方体,使这5个小正方体搭成的几何体的主视图、左视图如图2所示,则后添加的小正方体应摆放的位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
5.“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统,持续计算速度可达每秒次,若连续运行5分钟,则总计算次数用科学记数法表示为( )
A.次 B.次 C.次 D.次
6.如图,点在点的左侧,点,在数轴上表示的数分别为和,则的值可能是( )
A. B. C.0 D.
7.在世界泳联跳水世界杯中,某选手在女子单人10米台决赛中完成了关键一跳,获得了裁判的一致高分.从七位裁判打出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分后,留下的有效得分如下:8.7,9.0,9.4,9.0,8.9,则下列说法正确的是( )
A.这五个数据的平均数是8.5 B.这五个数据的众数是9.4
C.这五个数据的中位数是9.0 D.若不去掉最低分和最高分,方差会减小
8.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹.每人六竿多十四,每人八竿恰齐足.”其大意是:牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知道有多少人和竹竿.每人6竿,多14竿;每人8竿,不多不少.下列说法正确的是( )
A.设牧童有人,所列方程为 B.设竹竿有根,所列方程为
C.竹竿有28根 D.牧童有7人
9.为测量校园内的旗杆的高度,嘉嘉设计的方案是:如图,在距旗杆底端水平距离为的处,使用测角仪测得,由于75°角不方便计算,淇淇提出了一种解决问题的方案:在的延长线上取一点,将一根木棒竖直立在地面上的点处,,此时测得,故淇淇得出结论,进而推得,则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是( )
A. B. C. D.
10.已知,是关于的方程的两根,下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图,直线从左至右交抛物线,于点,,,,且两条抛物线的顶点,都在直线上,已知,,,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图,正六边形的顶点,对应的坐标分别为和,将正六边形沿轴正方向滚动,每滚动一次都会有一条边落在轴上,有下列说法:
①滚动一次后,点落在点处;
②正六边形的顶点不可能和点重合;
③在滚动过程中,顶点可能和点的重合.
其中正确的说法是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题
13.若(为正整数),则 .
14.若,则“□”表示的最简分式为 .
15.如图是台阶状的折线示意图,每级“台阶”的高和宽都是1,“台阶”的最高点为,若反比例函数()的图象与该折线有公共点,则的整数值有 个.
16.如图,已知正方形的边长为2,的直角顶点落在线段上,直角边经过点A,直角边与直线交于点,连接.设点为的内心,当点在的内部(包括边界)时,的取值范围是 .
三、解答题
17.如图所示的等式:
(1)若,,求的值;
(2)若,,求的最小整数值.
18.数学课上,老师在黑板上书写了,两个整式:


(1)比较,的大小;
(2)若,证明:不可能小于0.
19.如图,在中,,,.
(1)尺规作图:作的平分线交于点(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求的长.
20.某大型汽车销售店最近在销售甲、乙两款新能源汽车,现将该店在某一周前五天的销售量(单位:台)情况绘成如下两幅不完整的统计图.
(1)通过计算补全条形统计图;
(2)求周一到周五甲款新能源汽车销售量的平均数;
(3)销售店想做一个车主回馈活动,从周五购车的车主中随机选取两名赠送小礼品,请用画树状图或列表的方法求出所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率.
21.如图,抛物线:经过点,,点是抛物线的顶点.
(1)求,的值及点的坐标.
(2)将抛物线平移,使其顶点落在轴上,得到抛物线.
①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标;
②在①的条件下,抛物线上有一个动点,其横坐标为,当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,求的取值范围.
22.【情境】数学课上,同学们用圆形纸片探究折叠的性质,如图1,是的直径,,沿弦折叠,使折叠后的与相切于点.
【发现】所在圆的半径为______.
【探究】为了找到所在圆的圆心,同学们讨论了以下两种方式.
淇淇说:取弦和弦的中垂线的交点即可.
嘉嘉说:不必画两条中垂线,如图2,只需作点关于弦的对称点,点即为所求.
淇淇说:这样看来,折叠后,切点在直径上运动,可以看成在直径上滚动.
嘉嘉说:没错,所以当点在直径上运动时,点的运动路线和直径的位置关系是______.
【拓展】(1)如图3,若切点为的中点,连接,交于点,连接,求弦的长;
(2)若切点落在线段上(包括端点),直接写出弦的最大值和最小值.
23.已知点,点,其中.一束光从点沿直线:发出,形成的光线与线段交于点,若点为整数点(横、纵坐标都为整数的点),则光线穿过线段得到图1,否则光线在点处被反射得到射线(光线的反射符合反射定律),进而得到图2.
(1)若点,
①求射线的表达式(不必写自变量的取值范围).
②射线是否经过?请说明理由.
(2)若,且上的整数点被点分为个数之比为的两部分,求的取值范围.
(3)若光线穿过线段,且为正整数,点为的中点,直接写出此时满足条件的整数的个数.
24.如图1至图3,在矩形中,,.点在上,且,连接和,将绕点逆时针旋转,点,的对应点分别为点,,所在直线与相交于点,所在直线与射线相交于点,以,为边构造平行四边形,当射线与重合时,停止旋转.
(1)求的长;
(2)如图2,当点落在线段上时,探究,的数量关系,并说明理由;
(3)当点落在平行四边形的边上时,求弧的长;
(4)如图3,当点落在线段的延长线上时,连接,,,若的周长最小,直接写出此时的值.(参考数据:)
《2025年河北省张家口市中考二模数学试题》参考答案
1.D
解:根据题意可得:,,,.
故选:D.
2.A
解:,
当增加时,减少,

当减少时,增加,
故选:A.
3.B
解:A.,故原计算错误,此选项不符合题意;
B.,故原解析正确,此选项符合题意;
C.,故原计算错误,此选项不符合题意;
D.,故原计算错误,此选项不符合题意;
故选:B.
4.C
观察图2的主视图、左视图可知,最后一个小正方体应放在③号位置.
故选:C.
5.B
解:5分钟秒,(次).
故选:B.
6.C
解:由数轴可知,,
解得,
∴的值可能是0.
故选:C.
7.C
这五个数据的平均数是;
排序后的数据为8.7,8.9,9.0,9.0,9.4,则中位数是9.0,众数是9.0;
若不去掉最低分和最高分,那么这组数据的波动会变大,则方差会增大.
故选C.
8.D
解:设牧童有人,所列方程为;
设竹竿有根,所列方程为,
解得,.
故选:D.
9.B
解:由题意可得:,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴淇淇证明全等用到的依据可能是,
故选:B
10.A
解:,是关于的方程的两根,
∴,
∴,故A选项正确,B选项错误,
∵,的值不确定,不能判断,故C选项错误,
∵,故D选项错误
故选:A.
11.B
解:由图可知,,,
根据抛物线的对称性可知.
故选:B.
12.D
解:∵顶点,对应的坐标分别为和,
∴正六边形的边长为2.
如图,连接,过点作于点.
∵,,
∴,,.
滚动一次后,点落在处,
点的坐标为,①正确;
∵点的坐标为,每滚动一次,落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2,
∴正六边形的顶点不可能和点重合,②正确;
由图可知,当正六边形滚动三次后,点的坐标为,③正确.
故选:D.
13.2
解:∵,
∴.
故答案为:.
14.
解:.
故答案为:.
15.4
解:如图:,,,,,,,
∴该折线所有的顶点所对应的值的最小值为过点或点时,此时,最大值为过点或点时,此时,
∴,
∴取3,4,5,6,
∴的整数值有4个.
故答案为:.
16.
解:当点与点重合时,点与点重合,
此时点为的内心.
∵四边形为正方形,
∴为的平分线,
∴点在上.
此时最短.
当点落在上时,最大,如图.
过点作于点,交于点,作于点.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴四边形为矩形,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴.
在和中,
∴,
∴,
∴.
∵点为的内心,
∴,
∴.
又∵,
∴,
∴,
∴的取值范围是,
故答案为:.
17.(1)
(2)
(1)解:若,,
则.
(2)解:当时,,
即.
∵,
∴,
解得:,
∴的最小整数值为.
18.(1)
(2)见解析
(1)解:

∴.
(2)证明:

∴不可能小于0.
19.(1)见解析
(2)
(1)解:尺规作图如图所示.
(2)解:过点作于点.
在中,,,,
由勾股定理得.


∴,
∴,
∴.
在中,,
即,
解得.
20.(1)图见解析
(2)4
(3)
(1)解:周二销售量为台,
∴该周前五天的总销售量为(台),
∴周三销售量为(台),周四销售量为(台),
∴周三乙款新能源汽车的销售量为(台),
周四甲款新能源汽车的销售量为(台).
补全的条形统计图如下所示.

(2)解:甲款新能源汽车销售量的平均数为(台).
(3)解:由题意列表如下所示:
甲1 甲2 乙1 乙2 乙3
甲1 (甲1,甲2) (甲1,乙1) (甲1,乙2) (甲1,乙3)
甲2 (甲2,甲1) (甲2,乙1) (甲2,乙2) (甲2,乙3)
乙1 (乙1,甲1) (乙1,甲2) (乙1,乙2) (乙1,乙3)
乙2 (乙2,甲1) (乙2,甲2) (乙2,乙1) (乙2,乙3)
乙3 (乙3,甲1) (乙3,甲2) (乙3,乙1) (乙3,乙2)
根据列表可得,从周五购车的车主中随机选取两名车主可能出现的结果有20种,
满足所选的车主购买的车恰好是同一款车的结果有8种,
∴所选的车主购买的车恰好是同一款车的概率.
21.(1),,
(2)①3 ,,②
(1)解:∵抛物线:经过点,,
∴对称轴为直线,
∴,
∴,
∴的解析式为.
将代入,
得,即.
∵,
∴点的坐标为.
(2)解: ①∵抛物线的顶点落在轴上,且点的坐标为,
∴抛物线平移的最短路程为3,此时顶点坐标为.
②由①得,抛物线的表达式为.
令,则.
∵点在抛物线上关于对称轴对称的点为点,
且当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,
∴.
22.发现:;
探究:平行;
拓展:(1);
(2)最大值为,最小值为;
发现:解:由折叠的性质可得,折叠前后圆的半径不变,
∴所在圆的半径为的半径,即,
故答案为:.
探究:解:∵切点在直径上运动,与相切于点,
∴即点到直径的距离为半径,即为定值,,
∴点的运动路线与直径平行.
故答案为:平行.
拓展:(1)解:如图1,连接,
∵点在上,对应的弦为的直径,
∴.
又∵点是的切点,
∴.
在和中,,,
∴,
∴.
∵点为的中点,,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
(2)最大值为,最小值为.
解法1:如图2,设,与交于点,连接.
∴.
∵点是的中点,
∴.
由垂径定理易得点为的中点,
∴,
∴.
∵点在线段上,
∴的取值范围为,
∴.
∴弦的最大值为,最小值为.
解法2:如图3,当点落在点时,弦取得最大值.
由折叠的性质可得.
∴,
∴.
如图4,当点落在点时,弦取得最小值,此时点,,集于一点.
易得,且弦所在的直线是的平分线,
∴.
又∵,
∴是等腰直角三角形,
∴.
综上所述,弦的最大值为,最小值为.
23.(1)①,②不经过,理由见解析
(2)或
(3)满足条件的整数的个数为2
(1)解:①∵直线:经过点,,


∴射线的表达式为.
②不经过.理由如下,
根据光的反射定律,可知直线与直线关于直线对称,
∴点关于直线的对称点在射线上.
设射线的表达式为.
将,代入,
得解得
∴射线的表达式为.
当时,,
∴射线不经过点.
(2)解:当时,点,点,
∴线段上的整数点有,,,,,,,,,共9个.
∵上的整数点被点分为个数之比为2:7的两部分,
∴点在和之间或在和之间,
∴将代入,得,
将代入,得;
将代入,得,
将代入,得.
∴的取值范围为或.
(3)解:∵点为线段的中点,
∴.
将代入直线:,
得,解得.
∵为正整数,且为整数,且点为整数点,
∴可列表如下:
1 2 5 10
11 6 3 2
5 2.5 1 0.5
3 4 7 12
1 2 5 10
∴综上所述,满足条件的整数的个数为2,分别是11和3.
24.(1)
(2),理由见解析
(3)或
(4)3
(1)解:∵矩形,
∴,
在中,,,
∴.
(2).
理由如下:
∵,,且,
∴.
又∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
由旋转的性质,可得.
∴,
∴,
∴.
(3)由(2)知,,
∵旋转,
∴,即:,
∴平行四边形是矩形.
当点落在平行四边形的边上时,有以下两种情况.
情况一:如图1,此时点,重合,点,重合.
∵四边形为矩形,
∴,,,
∴,
∴,

情况二:如图2,此时点在上.
∵,,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,解得,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
(4)如图3,由(1)(2)知,,.
当点落在线段上时,.
同理可得当点落在线段的延长线上时,,
∴,
∴.
过点作于点,则,,,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,,
∴,即,
∴,
∴,
∴点在过点且垂直于的直线上运动.
延长至点,使得,连接,
∴垂直平分,
∴,
∴的周长,
∴当最小时,的周长最小,
∴当,,三点共线时,最小,如图3.
过点作于点.
在中,由面积法得,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴在中,.

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