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湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A． B．y=x2-（1+x）2
C．y=-2x2+10x-1 D．y=ax2+5x
2．若y=（m2-m）x是二次函数，则m等于（　　）
A．-2 B．2 C．1 D．1或-2
3．用配方法将二次函数y=x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式为（　　）
A．y=（x-2）2-7 B．y=（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x-2）2-4
4．抛物线y=-3（x-2）2+4的顶点坐标为（　　）
A．（-2，4） B．（-2，-4） C．（2，4） D．（2，-4）
5．若抛物线y=kx2-2x-1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
6．函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或-2 D．2或-2
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
8．古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
9．（2025 玉田县校级三模）抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在-2与-1之间，点B的横坐标在0与1之间），则b,c的取值可能是（　　）
A．b=1，c=-1 B．b=-1，c=-1 C．b=3，c=-2 D．b=1，c=-3
10．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与函数y=bx2-ax的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y=ax2-4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2
B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2-4）＞0，则y1＞y2
D．若a（x1+x2-4）＜0，则y1＞y2
12．（2025 秦皇岛模拟）如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，则AB=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
13．有一长方形条幅，长为am,宽为bm,四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______．
14．若函数是二次函数，则m的值为______．
15．将抛物线y=-2（x+3）2-1向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ______．
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 ______．
17．（2025 松原模拟）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度h=1.5m的位置OA，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置AC为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为4m,则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离S= ______m.
三．解答题（共5小题）
18．端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个．
（1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？
（2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
19．已知二次函数y=ax2-（a-2）x+2（a≠0）．
（1）若函数图象经过点（3，2），求抛物线的对称轴．
（2）若a＞0，当x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若A（1-，b），B（3-，c）两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ax-3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
（1）若抛物线经过点（-1，0）；
①求点B的坐标；
②当t-1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值；
（2）已知点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，定义两个函数y1=（x-a）（x-b），．
（1）如果函数y1的图象经过点（0，3），函数y2的图象经过点（1，5），求a2+b2的值；
（2）如果1＜a＜b＜4，判断函数y2的图象与x轴的交点情况；
（3）若点P（-1，c）在y1上，点Q（a,c）在y2上，求ab的最小值．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当2≤x≤m,且m＞2时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2，直接写出m的值是 ______；
（3）如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D，与y轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N，求的最大值；
（4）如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y′，使平移后的新抛物线y′经过点B，新抛物线y′与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线y′上是否存在一点T，使得∠TMB+∠AEO=90°？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、A 4、C 5、C 6、C 7、C 8、C 9、A 10、A 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、s=（a-2x）（b-2x）；0＜x＜； 14、9或0； 15、y=-2（x+5）2+3； 16、20； 17、10；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设豆沙粽子的单价是x元，则咸肉粽子的单价是2x元，根据题意，得
，
解得：x=2，
经检验：x=2是所列方程的解且符合题意，
∴2x=2×2=4（元），
答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元；
（2）设售价定为a元，利润为W元，根据题意得，
，
∵-20＜0，
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当a=10时，W有最大值，最大值为720元，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
19、解：（1）由条件可得9a-3（a-2）+2=2，
解得a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+2，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）由条件可得抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴点A，点B在对称轴的右侧，
①当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴b＜c.
②当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴b＞c.
综上，当a＞0时，b＜c；当a＜0时，b＞c.
20、解：（1）①∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1（a＜0）过点（-1，0），
∴a+3a-3a+1=0，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-x2+3x+4，
∴点A坐标为（0，4），
当y=4时，即y=-x2+3x+4=4，
∴x1=0，x2=3，
∴点B（3，4），
②∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，t-1≤x≤t在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴x=t时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，t-1≤x≤t在对称轴右侧，y随x增大而减小，
x=t-1时，为最大值，即，
解得或（舍），
综上所述，t的值为或；
（2）∵抛物线，
∴抛物线，
对称轴为，顶点为，
∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线y=ax2-3ax-3a+1的顶点在线段GH上时，
即：，
解得：；
Ⅱ．当抛物线顶点落在GH上方时，
当x=1时，y=a-3a-3a+1=-5a+1，
当x=3时，y=9a-9a-3a+1=-3a+1，
∵a＜0，对称轴为，
∴-5a+1＜-3a+1，
∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），
∴与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得：-＜a＜-．
综上，a的取值范围是或-＜a＜-．
21、解：（1）把（0，3），（1，5）分别代入中，
得ab=3，a+b=4，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=10，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2×3=10；
（2）由题意得Δ=a2-4b,
∵1＜a＜b＜4，
∴a2＜b2＜42，b2＜4b,
∴a2＜4b,
即Δ=a2-4b＜0，
∴y2的图象与x轴没有交点；
（3）把P（-1，c），Q（a,c）分别代入中，得：
由题意得（-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c,
（-1-a）（-1-b）=c,a2+a2+b=c,
∴ab+a+b+1=2a2+b,
即ab=2a2-a-1，
设y=2a2-a-1，
图象开口向上，
∴在对称轴处取得最小值，
把代入y=2a2-a-1中得，
，
∴y=2a2-a-1的最小值为，
∵ab=2a2-a-1，
∴当时，ab的最小值为．
22、解：（1）由题意可得：
，
∴，
故y=-x2+4x+5．
（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴顶点坐标为（2，9）．
当2≤x≤m时，
由于抛物线开口向下，顶点处取得最大值s,即 s=9．
在区间右端点x=m 处取得最小值 t,代入解析式得：t=-m2+4m+5，
∵s-t=2，
∴9-（-m2+4m+5）=2，
，（m＞2，舍去），
综上所述：；
故答案为：2+；
（3）过点P作PQ∥AB交直线DE于点Q．
设点P（m,-m2+4m+5），则点Q（m2-4m-3，-m2+4m+5）．
由题意可得：D（2，0），
∴AD=2-（-1）=3，
∵PQ∥AB，
∴△PNQ∽△AND，
∴．
∵，且-1＜m＜5，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入y=-x2+4x+5，得．
∴点P的坐标为．
（4）由题意可得：D（2，0），E（0，2），
∴OD=OE=2，
∴沿着ED方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴设y′=-（x-n-2）2+9-n,把点B（5，0）代入得：-（3-n）2+9-n=0，
解得n=0（舍去）或n=5，
∴y′=-（x-5-2）2+9-5=-x2+14x-45，
令y′=0，-x2+14x-45=0，
解得x=5或x=9，
故点M（9，0），
∵∠TMB+∠AEO=90°，∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠TMB=∠EAO，
设点T（n,-n2+14n-45），过点T作TG⊥BM于点G，
故Rt△MGT∽Rt△AOE，
∴，即，
解得：n=7或n=9（舍去），
∴T1（7，4）；
同理可得Rt△MHT∽Rt△AOE，
∴，即，
∴n=3或n=9（舍去），
∴T2（3，-12），
综上，点T的坐标为T1（7，4）或T2（3，-12）．湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共12小题）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D]
二．填空题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答）
13. 14. 15. 16. 17.
三．解答题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答）
18.答：
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：

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