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北师大版八年级下 第1章 三角形的证明 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2025春 邹城市期中）下列不能成为直角三角形的三条边长的一组数是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．5，12，13 D．6，8，10
2．（2025春 界首市期中）如图，已知线段AB与CD相交于点E．若∠AEC=60°，AB=2，CD=3，则AC+BD的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．小亮为宣传2010年上海世博会，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB=90°，∠D=15°，点A在CD上，AD=AB=4cm,则AC的长为（　　）
A．2cm B． C．4cm D．8cm
4．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=33cm2，AB=16cm,BC=14cm,则DE的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．2.4cm D．2.2cm
5．已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm,则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm
6．如图，AB∥CD，DA=DC，若∠1=70°，则∠D的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°
7．如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（　　）
A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（　　）
A．13 B．11 C．8 D．6
9．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高线，AE∥BD，且AE交CB的延长线于点E．若∠BAC=70°，则∠AEC的度数为（　　）
A．30° B．20° C．35° D．25°
10．如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S1=S2，则的值为（　　）
A．-1 B． C． D．
11．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
12．已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．在平面直角坐标系中，点P（4，-5）到原点的距离是 ______．
14．（2025春 西城区校级期中）已知A（a,0），B（2，-3）是平面直角坐标系中的两点，当a=______时，线段AB的长度取到最小值，依据是______．
15．若Rt△ABC的三边为a,b,c,斜边c=2，则a2+b2=______．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．已知ED=1，则AB的长为 ______．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A=35°，求∠BPC的度数
（2）若AB=5cm,BC=3cm,求△PBC的周长．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
20．如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=20cm,D是AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm.
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的周长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD=BD，求∠E的度数．
22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=25，BA=7，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C-A-B-C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC=______．
（2）斜边AC上的高线长为 ______．
（3）①当P在边AB上时，AP的长为 ______，（用含t的代数式表示）t的取值范围是 ______．
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ______．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
北师大版八年级下 第1章 三角形的证明 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、B 4、D 5、D 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B 11、B 12、A
二．填空题（共5小题）
13、； 14、2；点到直线的垂线段最短； 15、4； 16、； 17、2；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP=35°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；
（2）△PBC的周长=BP+PC+BC，
=AP+PC+BC，
=AC+BC，
=AB+BC，
∵AB=5cm,BC=3cm,
∴△PBC的周长=5+3=8cm.
19、（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF=EB；
（2）解：AB=AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE．
20、（1）证明：∵CD=16，BD=12，BC=20，
∴122+162=202，
∴DB2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD=x cm,则AB=AC=（x+12）cm,
∵∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴x2+162=（x+12）2，
解得：x=，
即AD的长为，
∴AC=AB=BD+AD=12+=，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=×2+20=．
21、（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠APE=∠BAD，
∴∠E=∠APE，
∴AE=AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°，
∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°，
∴∠E=∠CAD=45°．
22、解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=90°，AC=25，BA=7，
∴BC===24；
故答案为：24；
（2）如图1所示，过点B作 BD⊥AC于点D，
，
BD===，
故答案为：；
（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C-A-B运动，AC=25，
∴AP=3t-AC=（3t-25），
t的取值满足，即≤t≤，
故答案为：（3t-25），≤t≤；
②点P在∠BAC的角平分线上，过点P作PE⊥AC于E，如图2所示，
∵AP平分∠BAC，∠B=90°，PE⊥AC，
∴PB=PE，
又∵PA=PA，
∴Rt△BAP≌Rt△EAP（HL），
∴EA=BA=7，则CE=AC-AE=25-7=18，
由题意，知PB=3t-25-7=3t-32，
∴PE=PB=3t-32，
∴PC=24-PB=24-（3t-32）=56-3t,
在 Rt△CEP 中，
由勾股定理，得PC2=CE2+PE2，即（56-3t）2=182+（3t-32）2，
解得t=，
∴点P在∠BAC的角平分线上时，t=，
故答案为：；
（4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB=AP=7时，如图3所示，
则CP=AC-AP=25-7=18，
∴t=18÷3=6；
当AB=BP=7时，过点B作BD⊥AC于点D，如图4所示，
由题意，知CP=3t,AP=25-3t,
∵AB=BP，BD⊥AC，
∴AD=PD=，CD=，
由勾股定理，得BD2=BC2-CD2=AB2-AD2，
∴242-（）2=72-（）2，
解得t=，
当点P在BC上，且BA=BP时，t=（25+7+7）÷3=13，
综上，t的值为13或6或．

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