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江苏省2024—2025学年高一下学期期末迎考卷
数　　学
注意事项：
1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2. 答题前，考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内．
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知复数z＝，是z的共轭复数，则的虚部为 (　　)
A. －i B. － C. i D.
2. 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则最大角的余弦值为 (　　)
A. － B. － C. － D.
3. 某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% －4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，下列结论不正确的是 (　　)
A. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
B. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
C. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%
D. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
4. 若＝2，则tan ＝ (　　)
A. － B. － C. D.
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是 (　　)
A. 若α∥β，m α，n β，则m∥n B. 若m∥n，m∥α，则n∥α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n D. 若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ
6. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 (　　)
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠BAC＝120°，D，E，F分别是棱B1C1，BC，A1C1的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 (　　)
(第7题)
A. B. C. D.
8. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且＝λ＋μ，若λ＋μ＝，则·的最小值为 (　　)
A. B. － C. － D.
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 某射击场中，甲、乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是 (　　)
A. 事件A与C是互斥事件 B. 事件B与C是对立事件
C. 事件A与B相互独立 D. P(A∪B)＝
10. 设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有 (　　)
A. 若(1＋i)z＝－i，则|z|＝1
B. 对任意复数z1，z2，有＝|z1|·
C. 对任意复数z1，z2，有＝·
D. 在复平面内，若M＝{z||z－2|≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
11. 在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，且D为BC边上一点，则下列说法正确的是 (　　)
A. △ABC的外接圆半径R＝　 B. 若AD是BC边上的高，则AD＝
C. 若AD是∠A的平分线，则AD＝　　 D. 若＝2，则AD＝
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知cos ＝，θ∈，则sin θ＝________．
13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.
14. 已知圆锥的轴截面面积为9，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－3).
(1) 求向量a在向量b上的投影向量；
(2) 若向量ma－b与a＋2b的夹角为钝角，求m的取值范围．
16. (15分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数(保留一位小数)；
(3) 从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60)的概率．
(第16题)
17. (15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cos C＋c cos B＝2a cos A.
(1) 求角A的大小；
(2) 若△ABC的面积是，a＝2，求△ABC的周长；
(3) 若△ABC为锐角三角形，求sin B＋sin C的取值范围．
18. (17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为正方形，E，F分别为AD，PC的中点，设平面PCD∩平面PBE＝l.
(1) 求证：BC⊥DF；
(2) 求证：DF∥l；
(3) 若PD⊥CD，二面角P-BC-D的大小为30°，求PB与底面ABCD所成角的正弦值．
(第18题)
19. (17分)如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，AB＝6，AD＝4.
(1) 如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求·的值．
(2) 若∠PAQ＝，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值．
(3) 若＝，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
(第19题)江苏省2024—2025学年高一下学期期末迎考卷
数学参考答案与评分标准
1. B　解析：z＝＝＝，＝－－，所以的虚部为－.
2. A　解析：由题意可知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，所以a∶b∶c＝2∶3∶4，所以C最大．设a＝2x，b＝3x，c＝4x，由余弦定理得cos C＝＝＝＝－.
3. D　解析：生鲜区的净利润占比65.8%>50%，故A正确．生鲜区的营业利润率为×32.5%≈44%>40%，故C正确．熟食区的营业利润率为×32.5%<0；乳制品区的营业利润率为×32.5%≈26.68%；其他区的营业利润率为×32.5%≈12.45%；日用品区的营业利润率为×32.5%≈60.79%，最高，故B正确．由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误．
4. D　解析：由＝2，得＝2，故tan α＝，因此tan ＝＝.
5. C　解析：A中，若α∥β，m α，n β，则直线m，n平行或异面，所以A错误．B中，若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，所以B错误．C中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知C正确．D中，β，γ两平面可能相交或平行，所以D错误．
6. C　解析：如图，取BC中点D，则(－)·(＋－2)＝·(2－2)＝2·＝0，所以·＝0，所以CB⊥AD.又CD＝DB，故AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
(第6题)
7. A　解析：如图，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个底面为菱形的直四棱柱．因为DM＝AE，且DM∥AE，所以四边形ADME为平行四边形，所以AD∥ME，所以异面直线AD与EF所成的角为∠FEM或其补角．不妨设AC＝AB＝AA1＝a，因为∠BAC＝120°，所以∠ABN＝60°，所以△ABN为等边三角形，所以AN＝a，EN＝AN＝a，所以EM＝＝＝a.因为△A1MC1为边长为a的等边三角形，所以FM＝a.又因为EF＝＝a，所以在△EFM中，由余弦定理可得cos ∠FEM＝＝，故异面直线AD与EF所成角的余弦值为.
(第7题)
8. C　解析：如图，取BC的中点O，以O为坐标原点，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设M(x，y)，则＝(x，y－)，＝(－1，－)，＝(1，－).因为＝λ＋μ，且λ＋μ＝，所以(x，y－)＝λ(－1，－)＋μ(1，－)，且λ＋μ＝，即可得因为点M在△ABC内部，所以可得0<λ<，所以－　
(第8题)
9. ABD　解析：依题意，P(A)＝×＝，P(B)＝1－P()＝1－×＝，P(C)＝P()＝×＝.对于A，因为“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确．对于B，因为“至少1人击中”包括“1人击中”“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，故B正确．对于C，因为A∩B＝A，则P(A∩B)＝P(A)＝，而P(A)P(B)＝×＝≠P(A∩B)，故事件A与B不相互独立，故C错误．对于D，因为A∪B＝B，故P(A∪B)＝P(B)＝，故D正确．
10. BC　解析：对于A，由题知z＝＝＝－－，所以|z|＝＝，故A错误．对于B，C，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则＝＝＝
＝＝，
|z1|·＝·＝＝，故|z1z2|＝|z1|·|z2|.因为z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，则＝ac－bd－(ad＋bc)i，·＝(a－bi)(c－di)＝ac－bd－(ad＋bc)i，所以＝·，故B正确，C正确．对于D，易知集合M所构成区域为以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故S＝πr2＝4π，故D错误．
11. ACD　解析：对于A，在△ABC中，BC2＝9＋4－2×3×2×cos 60°，则BC＝.又2R＝＝＝，所以R＝，故A正确．对于B，S△ABC＝×3×2×sin 60°＝·BC·AD，得AD＝，故B错误．对于C，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×3×2×sin 60°＝×3×AD×＋×2×AD×，得AD＝，故C正确．对于D，＝＋，平方得2＝，AD＝，故D正确．
12. 　解析：因为θ∈，所以θ－∈.又cos ＝，所以sin ＝，所以sin θ＝sin ＝sin cos ＋cos (θ－)·sin ＝×＋×＝.
13. 85　解析：设更正前甲、乙、丙、…40位学生的成绩依次为a1，a2，…，a40，则a1＋a2＋…＋a40＝40×70，即50＋80＋a3＋…＋a40＝40×70，所以130＋a3＋…＋a40＝40×70，(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a40－70)2＝40×95，即202＋102＋(a3－70)2＋…＋(a40－70)2＝40×95，所以102＋(a3－70)2＋…＋(a40－70)2＝40×95－400.更正后的平均分＝＝＝70，更正后的方差s2＝[(70－70)2＋(60－70)2＋(a3－70)2＋…＋(a40－70)2]＝[102＋(a3－70)2＋…＋(a40－70)2]＝×(40×95－400)＝85.
48π　解析：如图(1)，设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，由题意知，侧面展开图的弧长πl＝2πr，则l＝2r，则圆锥高h＝＝r.由其轴截面的面积为×2rh＝r2＝9，解得r＝3，则h＝3，l＝6.如图(2)，设底面圆周上一点为B，底面圆心为O1，球心为O，球的半径为R，则在Rt△OO1B中，有R2＝O1O2＋r2＝(h－R)2＋r2，即R2＝(3－R)2＋32，得R＝2，则此圆锥外接球的表面积为4πR2＝4π×12＝48π.
　　　
(第14题)
15. 解答：(1) 由a＝(2，－1)，b＝(1，－3)，得a·b＝2×1＋(－1)×(－3)＝5， (2分)
|b|＝＝， (3分)
所以向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝(1，－3)＝. (6分)
(2) 由a＝(2，－1)，b＝(1，－3)，得ma－b＝(2m－1，－m＋3)，a＋2b＝(4，－7). (9分)
因为向量ma－b与a＋2b的夹角为钝角，
所以(ma－b)·(a＋2b)<0，且ma－b与a＋2b不共线，
则解得m<且m≠－， (12分)
所以m的取值范围为∪. (13分)
16. 解答：(1) 由题知10×(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)＝1，得a＝0.006. (3分)
(2) 因为评分在[40，70)的频率为10×(0.004＋0.006＋0.022)＝0.32，评分在[40，80)的频率为10×(0.004＋0.006＋0.022＋0.028)＝0.6，所以评分的50%分位数在[70，80)， (6分)
由70＋10×≈76.4，可估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数为76.4. (9分)
(3) 受访职工中评分在[40，50)的人数为50×0.04＝2，设为a，b，受访职工中评分在[50，60)的人数为50×0.06＝3，设为A，B，C，从中任取两人的结果有{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共10个，且每个结果出现的可能性相同． (11分)
2人评分都在[50，60)的结果有{A，B}，{A，C}，{B，C}，共3个． (13分)
所以此2人评分都在[50，60)的概率为P＝. (15分)
17. 解答：(1)由正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin Acos A，即sin A＝2sin A cos A．因为0(2) 因为S△ABC＝bc sin A＝，所以bc＝3. (5分)
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即4＝b2＋c2－2×3×，所以b2＋c2＝7， (7分)
则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝7＋6＝13，所以b＋c＝，
故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋. (8分)
(3) 由A＝可得C＝－B，则sin B＋sin C＝sin B＋sin ＝sin B＋cos B＋sin B＝sin B＋cos B＝sin ， (11分)
由△ABC为锐角三角形，得解得所以18. 解答：(1) 因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥CD.因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PCD.又因为DF 平面PCD，
所以BC⊥DF. (5分)
(2) 如图，取PB的中点Q，连接QF，EQ，因为E，F分别为AD，PC的中点，所以QF∥BC，且QF＝BC＝DE，因为BC∥DE，所以QF∥DE，所以四边形DEQF为平行四边形，所以DF∥QE. (7分)
又因为DF 平面PBE，QE 平面PBE，所以DF∥平面PBE. (9分)
又因为DF 平面PCD，平面PCD∩平面PBE＝l，所以DF∥l. (11分)
(3) 连接BD，由(1)知BC⊥平面PCD，所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角，∠PCD＝30°. (13分)
因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以∠PBD为PB与底面ABCD所成的角． (15分)
设PD＝x，则DC＝x，PC＝2x，PB＝x，sin ∠PBD＝＝＝，所以PB与底面ABCD所成角的正弦值为. (17分)
(第18题)
19. 解答：(1) 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，4).若P，Q分别为DC，BC的中点，则有P(3，4)，Q(6，2)，所以＝(3，4)，＝(6，2)，故·＝26. (3分)
(2) 设∠QAB＝α，则0≤tan α≤. (5分)
在△ABQ中，AQ＝＝， (6分)
在△ADP中，AP＝＝， (7分)
S△PAQ＝AP·AQ·sin ∠PAQ＝···＝＝≥24(－1).当且仅当α＝时，S△PAQ取最小值24(－1). (10分)
(3) 由题意可得P(2，4)，Q(6，2)，TC＝2AD＝8，即T(6，12). (12分)
假设存在点H，使得∠THQ最大，∠THQ∈，即有tan ∠THQ最大． (13分)
设BH＝a，0≤a≤6.当a＝0时，角度为0，此时∠THQ不可能最大．若a≠0，则tan ∠THQ＝tan (∠THB－∠QHB)＝＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立，即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，且此时BH＝2. (17分)
　　　
(第19题)

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