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北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（　　）
A．6 B． C． D．
3．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA′=1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：9
4．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　）
A．∠2=∠B B．∠1=∠C C． D．
5．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
6．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm,像距为18cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B．4cm C． D．5cm
7．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB=∠CFA，CF=，则BF的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．如图，已知AB∥CD∥EF，且AB=1，CD=3，则EF的长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，在AC上取一点E，使EC=3AE，D为AB中点，EB与DC交于点F，若，∠ADE=30°，则BF的长度是（　　）
A． B． C． D．
10．魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为h0），EG称为“表距”（记为d），EH和GC都称为“表目距”（分别记为m1，m2），则海岛AB的高为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CM，将线段CM绕点M顺时针旋转90°，点C的对应点N恰好落到边AB上，线段MN交对角线AC于点G，且G为MN的中点．若正方形的边长为4，则AG的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE=4，则线段CP的长为（　　）
A．5 B．7 C．6 D．8
二．填空题（共5小题）
13．已知，则=______．
14．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，，AD=CD=10，点E、F分别在边AD、BC上，连接EF，点G为EF的中点，连接AG，若AE=6，则点AG的最小长度为 ______．
15．如图，在 ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F．若AE：EB=1：2，则S△AEF：S△ABC=______．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=6，则EF的长为 ______．
17．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD=3CD=3，DE=AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在 ABCD中，点E在边AB上，DE2=AE CD．
（1）求证：AD CD=CE DE；
（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2=2EF2．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，已知：AC=3，BC=6．求：
（1）AB的长度；
（2）正方形CDEF的边长．
20．在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=60°，E是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF∥AB，交AC于点F，连结AE，设CE=x.
（1）用含x的代数式表示△CEF的面积．
（2）当△CEF与△ACE相似时，求x的值．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE=∠ADB．
（1）求证：AB BC=BF CE；
（2）如果AD=3DE=6．
①求CF的长；
②若BD=10，求CD的长．
如图，已知点B是∠EAF的边AE上的一点，BC⊥AF于，点D在射线AF上，AD=12，过D点在射线AF上方作MD⊥AF，MD=4．连结BM并延长交射线OF于点N．
（1）当DN的长度为多少时，△ABC和△MDN相似；
（2）当点M恰好是线段BN中点时，试判断△ANB的形状，并说明理由；
（3）连结BD，当S△MDN=S△ABD时，求AC的长．
北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、D 4、D 5、A 6、A 7、C 8、D 9、C 10、A 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、9； 15、； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵DE2=AE CD，
∴=，
∴△ADE∽△ECD，
∴=，
∴AD CD=CE DE；
（2）如图，
在 ABCD中，AB=CD，AD∥BC，
∴∠A=∠FBE，∠ADE=∠F，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴DE=EF，
∵DE2=AE CD，
∴EF2=AB AB，
∴AB2=2EF2．
19、解：（1）∵∠C=90°且AC=3，BC=6，
由勾股定理知：AB2=AC2+BC2且AB＞0，
∴AB=，
故AB的长度为3；
（2）方法一、设正方形CDEF的边长为x,
∴CD=DE=EF=FC=x,
AF=AC-FC=3-x,
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF∥CD 且∠EFA=∠EFC=90°，
∴∠AEF=∠ABC，∠EFA=∠EFC，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
故正方形CDEF的边长为2．
方法二、连接CE，
∵S△ABC=×AC EF+BC DE，
∴3×6=（3+6）×EF，
∴EF=2，
故正方形CDEF的边长为2．
20、解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵∠B=60°，AB=6，
∴AH=AB sin60°=6×=3，
∴△ABC的面积=×8×3=12，
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴=（）2=，
∴△FEC的面积=x2（0＜x＜8）；
（2）∵BH=AB cos60°=3，
∴CH=BC-BH=8-3=5，
∴AC2=AH2+CH2=27+25=52，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠FEC=60°，
∵△CEF∽△CAE，
∴∠FEC=∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠B，
∵∠ACE=∠ACB，
∴△ACB∽△ECA，
∴CA2=CE CB，
∴x=CE==．
21、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，
∵∠DCE=∠ADB，
∴∠DCE=∠CBD，
∴△DCE∽△FBC，
∴，
∴，即AB BC=BF CE．
（2）①解：∵AD=3DE=6，
∴，
∴AE=AD-DE=6-2=4，
∵AD∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵AD=BC=6，
∴，
∴，即EC=4EF，
∵∠EDF=∠ECD，∠DEF=∠CED，
∴△EDF∽△ECD，
∴，
∴，
解得：EF=1（舍去负值），
∴CF=EC-EF=4EF-EF=4-1=3．
②解：∵AD∥BC，
∴，
∵B D=10，
∴，
∵△EDF∽△ECD，
∴，
∵DE=2，EC=4，
∴，
∴DC=5．
22、解：（1）∵=2，
∴设AC=a,BC=2a,其中a＞0，
∵BC⊥AF，MD⊥AF，
∴∠ACD=∠MDN=90°，
又∵MD=4，
∴有以下两种情况：
①当=时，△ABC∽△MND，
∴=，
∴DN=8；
②当=时，△ABC∽△NMD，
∴=，
∴DN=2，
综上所述：当DN的长度为8或2时，△ABC和△MDN相似；
（2）当点M恰好是线段BN中点时，△ANB是直角三角形，理由如下：
∵点M恰好是线段BN中点，
∴BN=2NM，
∵BC⊥AF，MD⊥AF，
∴BC∥MD，∠BCA=∠NDM=90°，
∴在Rt△MND中，∠N+∠DMN=90°，
∵BC∥MD，
∴△BCN∽△MDN，
∴==，
∴==，
∴BC=8，CN=2DN，
∴BC=AC=4，点D是CN的中点，即CD=DN，
∵AD=12，
∴CD=AD-AC=12-4=8，
∴DN=CD=8，
∴=1，=1，
∴=，
又∵∠BCA=∠NDM=90°，
∴△ABC∽△MND，
∴∠ABC=∠N，
∵BC∥MD，
∴∠CBN=∠DMN，
∴∠ABN=ABC+∠CBN=∠N+∠DMN=90°，
∴△ANB是直角三角形；
（3）∵MD=4，MD⊥AF，
∴S△MDN=MD DN=×4×DN=2DN，
∵AC=a,BC=2a,a＞0，AD=12，BC⊥AF，
∴S△ABD=AD BC=×12×2a=12a,
∵S△MDN=S△ABD，
∴2DN=12a,
∴DN=6a,
∴CN=CD+DN=AD-AC+DN=12-a+6a=12+5a
∵△BCN∽△MDN，
∴=，
∴=，
整理得：3a2-5a-12=0，
解得：a=3，a=（不合题意，舍去）．
∴AC=3．

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