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2025年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）的相反数是　　
A．2025 B． C． D．
2．（4分）2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
4．（4分）以下字母是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
5．（4分）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是　　
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都不相同
6．（4分）如图，，，，则　　
A． B． C． D．
7．（4分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
8．（4分）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引　　条对角线．
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（4分）若，则的平方根是　　
A．8 B． C． D．
10．（4分）下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
11．（4分）如图，，，点在上，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
12．（4分）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．若且，则
D．若，两点都在抛物线的图象上，则
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）数据0，，2，，2，3的中位数是　　 ．
14．（4分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 ．
15．（4分）如图，将周长为20的△沿方向平移2个单位长度得△，连接，则四边形的周长为　　 ．
16．（4分）若关于的分式方程无解，则　　 ．
17．（4分）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 　　 ．
18．（4分）如图，△内接于，，，若，则的长为　　 ．
三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）计算：．
20．（10分）（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的为整数）．
21．（12分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍类为文学，类为科普，类为体育，类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 　　 人；
（2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为 　　 度；
（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）某型号起重机吊起一货物在空中保持静止状态时，货物与点的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米）
（1）求直吊臂的长；
（2）直吊臂与的长度保持不变，绕点逆时针旋转，当时，货物上升了多少米？
23．（12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集为　　 ；
（3）在轴上找一点，使△的周长最小，并求出最小值．
24．（12分）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，则．理由如下：是的直径
与相切于点
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段与线段，存在如下关系：．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△是的内接三角形，，，的延长线与过点的切线相交于，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长．
25．（14分）如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线的最大距离；
（3）动点在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）。
1．（4分）的相反数是　　
A．2025 B． C． D．
解：的相反数是．
故选：．
2．（4分）2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
解：117.93万．
故选：．
3．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
解：，则不符合题意，
，则不符合题意，
，则不符合题意，
，则符合题意，
故选：．
4．（4分）以下字母是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
解：、、选项的字母均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
选项的字母能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故选：．
5．（4分）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是　　
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都不相同
解：该几何体的主视图与左视图相同，均为两列，从左到右小正方形的个数分别是3、1．它的俯视图的底层左边是一个正方形，上层是两个正方形．
故选：．
6．（4分）如图，，，，则　　
A． B． C． D．
解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
，，
．
故选：．
7．（4分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁吨，三月份生产钢铁吨，
又该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，
列方程为．
故选：．
8．（4分）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引　　条对角线．
A．6 B．7 C．8 D．9
解：设这个多边形的边数为，
，
，
解得：，
这个多边形是十边形，
从这个多边形一个顶点可以引条对角线．
故选：．
9．（4分）若，则的平方根是　　
A．8 B． C． D．
解：，
，
②，得③，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
，
，
的平方根是．
故选：．
10．（4分）下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
【解答】解；、若，则，原说法错误，不符合题意；
、若，则，原说法错误，不符合题意；
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；
、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；
故选：．
11．（4分）如图，，，点在上，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
解：设与相交于点，如图所示：
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
是△和△的外角，
，
，
，
，
．
故选：．
12．（4分）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．若且，则
D．若，两点都在抛物线的图象上，则
解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
，，
对称轴为直线，
，
，，故选项，正确，不符合题意；
且，
，
和关于对称轴直线对称，
，故选项正确；不符合题意；
抛物线的开口向下，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若，两点都在抛物线的图象上，
，
，故选项错误，符合题意；
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）数据0，，2，，2，3的中位数是　1　 ．
解：将数据从小到大排列为：，，0，2，2，3，
根据中位数定义可知：，
故答案为：1．
14．（4分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 ．
解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得：
，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：．
15．（4分）如图，将周长为20的△沿方向平移2个单位长度得△，连接，则四边形的周长为　24　 ．
解：由条件可知，，
四边形的周长
△的周长
．
故答案为：24．
16．（4分）若关于的分式方程无解，则　　 ．
解：原方程去分母：方程两边同时乘以，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由，，
，
，
故答案为：．
17．（4分）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 　5　 ．
解：连接，如图所示：
四边形是菱形，且，，
，，，
，
在△中，
由勾股定理得：，
是边的中点，
是△斜边上的中线，
，
，，
，
四边形是矩形，
．
故答案为：5．
18．（4分）如图，△内接于，，，若，则的长为　　 ．
解：如图，连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
，
的长为：，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的为整数）．
解：（1）原不等式去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：；
（2）原式
；
，，，
，，
，
原式（答案不唯一）．
21．（12分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍类为文学，类为科普，类为体育，类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 　50　 人；
（2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为 　　 度；
（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
解：（1）本次调查的总人数是：（人．
故答案为：50；
（2）类人数为：（人，
补全统计图：
类所对应的扇形的圆心角为：．
故答案为：86.4；
（3）画树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1名女生和1名男生的有8种情况，
所以，（恰好是1名女生和1名男生）．
22．（10分）某型号起重机吊起一货物在空中保持静止状态时，货物与点的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米）
（1）求直吊臂的长；
（2）直吊臂与的长度保持不变，绕点逆时针旋转，当时，货物上升了多少米？
解：（1）由题意得，，
，米，
在△中，（米，
答：直吊臂的长为10米；
（2）如图，记旋转后的点，的对应点为，，延长交于点，过点作于点，
则，
由题意得米， 米，
，
四边形为矩形，
米，
在△中，（米，
（米，
货物上升了5米．
23．（12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集为　　 ；
（3）在轴上找一点，使△的周长最小，并求出最小值．
解：（1）反比例函数的图象经过，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
在中，当时，，
，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围为，
不等式的解集为，
故答案为：；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，，，则，
由轴对称的性质可得，
，，
，
△的周长，
当有最小值时，△的周长有最小值，
，
当有最小值时，△的周长有最小值，
，
当、、三点共线时，有最小值，即此时△的周长有最小值，最小值为，
，，
，
△的周长的最小值为；
设直线解析式为，
则，
，
直线解析式为，
在中，当时，，
；
综上所述，当点的坐标为时，△的周长有最小值，最小值为．
24．（12分）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，则．理由如下：是的直径
与相切于点
（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由；
（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段与线段，存在如下关系：．请你替小明证一证；
（3）拓展应用：如图丙，△是的内接三角形，，，的延长线与过点的切线相交于，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长．
【解答】（1）解：如图所示，连接，，如图，
与相切于点，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
又，
；
（2）证明：由（1）可得：，
又，
△△，
，
；
（3）解：，
，
的半径为1，
，
在△中，
由勾股定理得：；
，
．
又，
△是等边三角形，
，，
的延长线与过点的切线相交于，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
设，则，
由（2）可得：，
，
，
解得：或（负数不合题意，舍去），
．
25．（14分）如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线的最大距离；
（3）动点在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点逆时针旋转与抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）二次函数的图象经过，，三点，
，
，
抛物线解析式为；
（2）设直线的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为；
如图所示，过点作轴交于，连接，，
设，，则，
；
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，，
当，即时，有最大值，最大值为，
的最大值为，
，，
，，
；
设点到直线的距离为，
，
，
当有最大值时，有最大值，
的最大值为，
点到直线的最大距离为；
（3）如图所示，当点在轴下方时，设抛物线对称轴交轴于，过点作交直线于，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
，
；
，
；
设点的坐标为，则；
由旋转的性质可得，
又，
，
，
又，
△△，
，，
，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
点在抛物线上，
，
，
，
解得或（舍去），
此时点的坐标为；
如图所示，当点在轴上方时，过点作轴，分别过点，点作直线的垂线，垂足分别为、，设点的坐标为，
；
由旋转的性质可得，
，
，
又，
△△，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
点在抛物线上，
，
，
，
解得或（舍去），
此时点的坐标为；
综上所述，存在点使，此时点的坐标为或．

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