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2025年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线上，则的度数是　　
A． B． C． D．
3．（4分）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为　　
A．米秒 B．米秒 C．米秒 D．米秒
4．（4分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是　　
A．6 B．9 C．11 D．15
5．（4分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了次，其中，为正整数，依题意可列方程　　
A． B． C． D．
6．（4分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是　　
A． B． C． D．
7．（4分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是　　
A．12 B． C．16 D．
8．（4分）已知，则的值是　　
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（4分）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是　　
A．4 B． C．6 D．
10．（4分）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是　　
A． B． C． D．或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：　　 ．
12．（4分）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　 ．
13．（4分）不等式组的解集是，则的取值范围是　　 ．
14．（4分）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是　　 ．
15．（4分）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是　　 ．
16．（4分）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把△绕点逆时针方向旋转得到△，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 　　 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在五边形中，，，．
（1）求证：△△．
（2）求证：．
19．（8分）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：川剧班、皮影班、剪纸班、木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图：
（1）求问卷调查的总人数，并补全条形图．
（2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
（3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率．
20．（10分）设，是关于的方程的两根．
（1）当时，求及的值．
（2）求证：．
21．（10分）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
22．（10分）如图，△中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
23．（10分）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同．
材料二 型客车租车费用为3200元辆；型客车租车费用为3000元辆． 优惠方案：租用型客车辆，租车费用元辆； 租用型客车，租车费用打八折．
材料三 租车公司最多提供8辆型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用，两种型号客车共10辆．
（1），两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
24．（10分）矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把△沿直线折叠，使点落在点处．
【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当△是以为斜边的直角三角形时，求的长．
25．（12分）抛物线与轴交于，两点，是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，抛物线上两点，，若，求的值；
（3）如图2，点，如果不垂直于轴的直线与抛物线交于点，，满足．探究直线是否过定点？若直线过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
解：，，故选项、计算错误；
，故选项计算正确；
，故选项计算错误．
故选：．
2．（4分）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线上，则的度数是　　
A． B． C． D．
解：直角三角板，
，
故选：．
3．（4分）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为　　
A．米秒 B．米秒 C．米秒 D．米秒
解：用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为（米秒），
故选：．
4．（4分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是　　
A．6 B．9 C．11 D．15
解：由表知，这组数据中11出现次数最多，有8次，
所以这组数据的众数为11，
故选：．
5．（4分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了次，其中，为正整数，依题意可列方程　　
A． B． C． D．
解：根据题意得：．
故选：．
6．（4分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是　　
A． B． C． D．
解：由题意可知：，
设滚动前点对应的数为，
，
，
，
滚动前点对应的数是，
故选：．
7．（4分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是　　
A．12 B． C．16 D．
解：如图，
是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
，，，
，
，，
同理，，
，，
矩形的面积是，
故选：．
8．（4分）已知，则的值是　　
A．2 B．3 C．4 D．6
解：，
，，，
，，，
，
故选：．
9．（4分）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是　　
A．4 B． C．6 D．
解：如图，延长交于点，连接，，，
于点，交于点，为弧的中点，
，
，
，
，
，
点关于的对称点为点，
，
，
当，，三点共线时，最小，最小值为的长，
，，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
的最小值．
故选：．
10．（4分）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是　　
A． B． C． D．或
解：函数图象关于轴对称，当时，，
当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为2，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立时），得，
当△，即时，直线与相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：　　 ．
解：原式，
故答案为：．
12．（4分）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　 ．
解：根据题意知，随机从袋子中摸出一个球共有6种等可能结果，其中恰好为白球的有2种结果，
所以恰好为白球的概率是，
故答案为：．
13．（4分）不等式组的解集是，则的取值范围是　　 ．
解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故答案为：．
14．（4分）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是　　 ．
解：连，由作图可得，
△是等边三角形，
，
，
故答案为：．
15．（4分）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是　　 ．
解：当时，，，
直线与直线的交点在轴上，
，
，
16．（4分）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把△绕点逆时针方向旋转得到△，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 　①③④　 ．（填写序号）
解：把△绕点逆时针方向旋转得到△，
△△，
，，，
正方形，
，，
又，
，
，
即，
故①结论正确，符合题意；
，，
，
故②结论错误，不符合题意；
正方形，
，
，
、、、、在以为直径的圆上，如图，
，
，
故结论③正确，符合题意；
如图，过点作，交于，
平分，，
，
，
，
，
，，
，，
，
设，
在△中，，
，
（负根已舍去），
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
综上，①③④结论正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17．（8分）计算：．
解：原式
．
18．（8分）如图，在五边形中，，，．
（1）求证：△△．
（2）求证：．
【解答】（1）证明：，
，
，
在△与△中，
，
△△；
（2）解：，
，
由（1）可知：△△，
，
，
．
19．（8分）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：川剧班、皮影班、剪纸班、木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图：
（1）求问卷调查的总人数，并补全条形图．
（2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
（3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率．
解：（1）问卷调查的总人数为（人，
类别人数为（人，
补全图形如下：
（2）（人，
答：估计最希望增设“木偶班”的学生人数约为240人；
（3）列表如下：
男 男 男 女 女
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
由表知，共有20种等可能结果，其中恰好抽中一男一女的有12种结果，
所以恰好抽中一男一女的概率为．
20．（10分）设，是关于的方程的两根．
（1）当时，求及的值．
（2）求证：．
解：（1）把代入方程，
得，
．
，即．
．
，．
．
（2）方程可化为．
△，
方程有两个不相等的实数根．
方程即的两根为、，
，．
．
，
，即．
21．（10分）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
解：（1）设反比例函数解析式为，
经过点，
，
反比例函数为，
在图象上，，
，
设一次函数解析式为，
，
解得，
一次函数为；
（2）轴，
，，
，
，即，
，，
点在第二象限，
．
22．（10分）如图，△中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，，如图所示：
为的直径，点在上，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
即，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，，
，
，
，
为的直径，
，
在△中，，
设，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，
，
由（1）可知：△△，
，
，
，
，
是△的外角，
，
，
，
，
，
，
在△中，，
，
．
23．（10分）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同．
材料二 型客车租车费用为3200元辆；型客车租车费用为3000元辆． 优惠方案：租用型客车辆，租车费用元辆； 租用型客车，租车费用打八折．
材料三 租车公司最多提供8辆型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用，两种型号客车共10辆．
（1），两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
解：（1）设型客车每辆载客量为人，则型客车每辆载客量为人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（人．
答：型客车每辆载客量为60人，型客车每辆载客量为45人；
（2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，
根据题意得：，
解得：，
设本次研学活动学校的租车总费用为元，则，
抛物线的对称轴为直线，
时，随着的增大而增大，
取正整数，且，
当时，取得最小值，最小值为（元．
答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元．
24．（10分）矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把△沿直线折叠，使点落在点处．
【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当△是以为斜边的直角三角形时，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
由折叠可得，，
四边形为矩形，
，
为的中点，
，
，
在△与△中，
，，
△△，
；
（2）解：，点在移动过程中，不变．
点在以为圆心，10为半径的的弧上，
连接，如图，
当点在线段上时，有最小值，
，，，
，
，
的最小值为；
（3）解：过点作于，延长交于点，连接、，如图，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，，，，，
设，则，，
在△中，，
，
解得，
即的长为5．
25．（12分）抛物线与轴交于，两点，是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，抛物线上两点，，若，求的值；
（3）如图2，点，如果不垂直于轴的直线与抛物线交于点，，满足．探究直线是否过定点？若直线过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）把代入，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
；
（2），是抛物线顶点，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
可设直线为，
设点，，
且，
解得：；
（3）存在定点满足条件．
设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，，，
，
，
△，，，
作，，，，，，
，
．即，
，
，
．
．
．
，
直线不垂直于轴，
，
，
，
直线解析式，
无论为何值，，，
过定点，
故存在定点．

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