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2.2《有理数的加减运算》复习题--有理数的加法
【题型1 有理数的加法概念理解】
1.下列说法错误的是（ ）
A．两数之和可能小于其中的一个加数 B．两数相加就是它们的绝对值相加
C．两个负数相加，和取负号，绝对值相加 D．两个数若不是相反数，则相加不能得零
2.下列说法正确的是（ ）
A．两数之和必大于任何一个加数
B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加
C．两负数相加和为负数，并把绝对值相减
D．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加
3.若有理数，则（ ）
A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数
C．三个数中至少有一个负数 D．三个数中有两个是正数或两个是负数
4.如果，且．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．、为正数，为负数 B．、为正数，为负数
C．、为正数，为负数 D．、为正数，为
【题型2 有理数的加法运算】
1.要使等式成立，“”中应填的运算符号为（ ）
A． B． C． D．
2.比大8的数是 ．
3.下面是小亮同学做的4道题，①；②；③；④；其中答对的有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
4.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 有理数的加法运算律】
1.下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.计算时，运用了加法（ ）
A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律
3.计算：．
4.计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ．
【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】
1.阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式
______
______
______．
上面这种方法叫拆项法．
(1)请补全以上计算过程；
(2)类比上面的方法计算：．
2.计算：
3.(1)计算：；
(2)计算．
4.计算：．
【题型5 有理数加法中的规律问题】
1.把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)
2.小明同学在上楼梯时发现，若只有一个台阶时，有一种走法；若有两个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上两个台阶，共有2种走法；如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有3种走法，那么有四个台阶时，共有走法（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3.一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位…，依此规律跳下去，当它跳第2000次落下时，落点处位于O点的（ ）
A．右侧500个单位 B．左侧500个单位
C．右侧1000个单位 D．左侧1000个单位
4.观察下面的几个算式：
1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；．
根据上面几道题的规律，计算下面的题：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值为
【题型6 有理数加法的实际应用】
1.德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：
①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行；
②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；
③各个步骤所需时间如下表所示：
步骤 A B C D E F G
所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟．
2.张烨同学每天从家到学校要走，他的家与学校、超市在一条东西走向的大街上，且张烨家在学校和超市的正中间．若把张烨家、学校、超市分别看成一个点，大街看成一条直线．一天早上，张烨从家出发，先去超市买笔记本，再到学校，他一共走的路程为（ ）
A． B． C． D．
3.一个实验室里有10个柜子．分别用10把不同的锁锁着，但10把钥匙很相像，管理员又忘了钥匙编号（1把钥匙只能开1把锁，不能混用）．从最坏的情况考虑，至多要试开几次才能把10把锁都打开？
4.希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．）
【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】
1.把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ．
2.如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是（　　）
A． B．1 C．或3 D．
3.【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．
【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；
若图3是一个“幻方”，则 ．
4.中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把、这两个数填入了圆圈，则的值为 ．

【题型8 有理数加法中的新定义问题】
1.定义一种新运算“”满足：，，，求．
2.定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为( )
A． B． C． D．4
3.定义一种新运算：，如：，则 ．
4.探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
参考答案
【题型1 有理数的加法概念理解】
1.B
【分析】根据有理数的加法法则，相反数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两数之和可能小于其中的一个加数，异号相加，和小于原来的正数，选项正确，不符合题意；
B、两数相加就是它们的绝对值相加，异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值，选项错误，符合题意；
C、两个负数相加，和取负号，绝对值相加，选项正确，不符合题意；
D、互为相反数的两数之和为0，所以两个数若不是相反数，则相加不能得零，选项正确，不符合题意；
故选B．
2.B
【分析】根据有理数的减法运算法则，有理数的加法运算法则对各选项分析判断即可得解．
【详解】A．两数之和必大于任何一个加数，错误，故本选项错误；
B．同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加，正确，故本选项正确；
C．应为两负数相加和为负数，并把绝对值相加，故本选项错误；
D．应为异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把用较大的绝对值减去较小的绝对值，故本选项错误．故选：B．
3.C
【分析】根据有理数的加法法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
则有大于等于0和小于0两种情况：
当时，则，且b和c当中至少有一个正数，
当时，则，此时b和c至少有一个负数，
综上所述，三个数中至少有一个负数．
故答案为：C
4.A
【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为，可得、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又，那么，进而得出可能存在的情况．
【详解】解： ，
、、中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
，
，
∴可能、为正数，为负数；也可能、为负数，为正数．
故选：A．
【题型2 有理数的加法运算】
1.B
【分析】本题考查了有理数减法运算，能根据结果判断出是减法运算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
2.
【分析】本题考查了有理数加法运算，计算即可求解．
【详解】解：比大8的数是：，
故答案为：．
3.B
【分析】根据有理数加法运算法则进行解答即可．
【详解】解：①，故原算式计算错误；
②，计算正确；
③，故原算式计算错误；
④计算正确．
所以，答对的有2道．
故选：B．
4.C
【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
【题型3 有理数的加法运算律】
1.B
【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得．
【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意；
B．，则此项正确，符合题意；
C．，则此项错误，不符合题意；
D．，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
2.D
【分析】计算，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起．
【详解】解：0
=（加法交换律）
= （加法结合律）
故选：D．
3.解：原式
．
4. 7
【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算．
【详解】解：计算时，
先把减法转化为加法可得，
观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为．
故答案为：①，②，③，④7，⑤．
【题型4 巧用拆项法进行有理数的加法运算】
1.（1）解：可以如下计算：
原式，
故答案为：
（2）解：
2.解：原式＝
＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋
＝(－2)＋
＝.
3.（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
4.解：
．
【题型5 有理数加法中的规律问题】
1.D
【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；
【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1
则1+3+5+7++(2n-1)=×2n×n=，
当n=44时， ，
当n=45时，，
∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；
故选：D．
2.C
【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．
【详解】当有四个台阶时，可分情况讨论：
①逐级上，那么有一种走法；
②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有：
　1、1、2；1、2、1；2、1、1；
共三种走法；
③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2；
综上可知：共5种走法．
故选C．
3.D
【分析】设从点O向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．
【详解】解：设从点O向右为正，向左为负，
由题意得最后的位置标示的数即为：，
观察可以发现，，，，
∴，
∴此时跳蚤在原点左侧1000个单位，
故选D．
4.81
【分析】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；由此推出规律计算即可.
【详解】先找题上几个算式的规律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加数最中间是2，则答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加数最中间是3，则答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加数最中间是4，则答案是4×4；,前面加数最中间是5，则答案是5×5；则1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中间加数是9，则答案是9×9=81，故答案为81.
【题型6 有理数加法的实际应用】
1. 61 31
【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键．
将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案．
【详解】解：由题意，得：(分钟)，
即：一名学生单独完成需要分钟，
假设这两名学生为甲、乙，
∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成，
∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)，
如下图所示：
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要(分钟)，
故答案为：61，31．
2.C
【分析】此题考查了有理数加法运算的实际应用，根据题意列出算式求解即可．
【详解】根据题意得，．
∴他一共走的路程为．
故选：C．
3.解：第1把锁最多试开10次一定能打开，第2把锁最多试开9次一定能打开……第10把锁只要试开1次就能打开．所以只需试开（次）．
答：至多要试开55次才能把10把锁都打开．
4.
【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和．
【详解】解：由题意，
每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分；
每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分；
∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分，
故答案为：0．
【题型7 利用有理数的加法解决幻方问题】
1.
【分析】
本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得、，最后是有理数的加法．
根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案．
【详解】
解：根据幻方的性质，
则，
所以，
而，
则，
故，
故答案为：．
2.C
【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键．
【详解】解：，
所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，
所以，
所以，
故或2，
所以或3．
故选：．
3. 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 0
【分析】计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值．
【详解】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等；
因为，所以，所以．
故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等，0
4.2
【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据，求出d和e，最后求出a和c，即可求出的值．
【详解】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，
根据题意可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵已填、，而且，
∴e、d只能从中选，
∴或，
当时，符合题意；
当时，不符合题意，舍去；
∴，
∴，
故答案为：2．
【题型8 有理数加法中的新定义问题】
1.由，，，可得：
．
2.A
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出，再根据有理数的加法计算法则求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选A．
3.
【分析】先根据新定义求出，再计算出的结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
4.（1）解：由题意可得，
归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（2）解：，
，
，
故答案为：；
（3）解：，．
加法交换律适用；
，
，
而，
加法结合律不适用．

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