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第2章《有理数及其运算》复习题-- 数轴中的动态问题
【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】
1.阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则．
回答下列问题：
(1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______；
②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______；
(2)①如果，那么______，______；
②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______；
(3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示．
2.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．
3.如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，，
（1）_____________，_________________;
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合.
（3）在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时____________，最小值为__________________.
（4）在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）
4.已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题
(1)请直接写出a，b，c的值：________；________；________；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）

(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【题型2 数轴动点中的相遇问题】
1.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

(1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是　　（用含t的代数式表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
2.如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？
3.如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上一点，且.

（1）直接写出数轴上点表示的数；
（2）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇．
（3）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 三点同时出发，当点遇上点后立即返回向点运动，遇到点后则停止运动．求点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
4.如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数．
(1)的值为______，的值为______；
(2)动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．
①若点，在点处相遇，求的值；
②若点的运动速度是点的2倍，当点，之间的距离为2时，求此时的值．
【题型3 数轴动点中的中点问题】
1.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．
(1)______，______，______．
(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点）
2.如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒．
(1)求，，的值；
(2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数；
(3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值．
3.已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.

(1) ， ， ；
(2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数.
(3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？
4.如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．

(1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合；
(2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．
若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值；
②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【题型4 数轴动点中的相距问题】
1.如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点．

(1)若，则的长为______；
(2)若，求的长；
(3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？
2.在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足．
(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．
(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？
(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？
3.在数轴上，O表示原点，A、B两点分别表示﹣8和2．
(1)求出线段AB的长度；
(2)动点P从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒5个单位长度；同时点Q从B出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，当P、Q重合时，两点同时停止运动．设两点运动时间为t秒，用含有t的式子表示线段PQ的长；
(3)在(2)的条件下，t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等．
4.已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．

(1)当点运动秒时，______，______，______；
(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______；
(3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？
(4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由．
【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】
1.已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．

(1)请直接写出和的值，_______，_______；
(2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？
(3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
2.如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．

(1)则___________，___________，点A和点B之间的距离是___________；
(2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒．
①求C点表示的数c；
②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？
3.如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
4.如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．

(1)求、两点之间距离．
(2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？
(3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度．
【题型6 数轴动点中的定值问题】
1.如图，在数轴上A点表示数－3，B点表示数b，C点表示数c，且b.c满足
（1）b= ，c= ．
（2）若使C．B两点的距离是A．B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度．
（3）点A．B．C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒；
①点A．B．C表示的数分别是 . . （用含m.t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当m为何值时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值．
2.唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题：
已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．
(1)分别求a，b，c的值；
(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；
(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3.已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）
(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度．
(2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．
(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度．
4.已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．

(1) ， ．
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
【题型7 数轴动点中的折返问题】
1.如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为-20和40．
（1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值；
（2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t．
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）；
③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由．
2.已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
3.数轴上给定两点A、B，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段的中点在线段上（线段的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段对称，请回答下列问题：
(1)数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为-3、6、7，则点_____与点O关于线段AB对称；
(2)数轴上，点F表示的数为x，G为线段上一点，若点F与点G关于线段对称，则x的最小值为______，最大值为______；
(3)动点P从-9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足______时，P与Q始终关于线段对称．
4.已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且
(1)则______，______；若点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒______个单位长度；
(2)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
(3)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动，当点停止运动时，点也停止运动，在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【题型8 数轴动点中的规律问题】
1.如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米）
（1）求B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由；
（3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？
2.如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点，那么点A51所表示的数为（　　）
A．﹣74 B．﹣77 C．﹣80 D．﹣83
3.一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…，则第8个数的值是 ，数轴上现有一点从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为-2；第3秒点向右跳4个单位，记为，点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为 ．
4.如图，已知A地在数轴上表示的数为－16，AB两地相距50个单位长度．小明从A地出发去B地，以每分钟2个单位长度的速度行进，第一次他向左1单位长度，第二次向右2单位长度，第三次再向左3单位长度，第四次又向右4单位长度…，按此规律行进．
（1）求出B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的右侧，经过第8次行进后小明到达点P，此时点P与点B相距几个单位长度？8次运动完成后一共经过了几分钟？
（3）若经过n次（n为正整数）行进后，小明到达点Q，请你直接写出：点Q在数轴上表示的数应如何表示？
【题型9 数轴动点中的新定义问题】
1.阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
(1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
2.在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．

(1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”；
(2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．
①点表示的数为__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3.阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为 1，点M表示的数为2．
(1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称；
(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程；
(3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．
4.定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
参考答案
【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】
1.（1）①∵点表示数，点表示数，
∴、两点之间的距离表示为；
②点表示数，点表示数，
∵，
∴
∴或
∴或
故答案为：①；②或；
（2）①∵，
∴，，
∴，，
②代数式的含义为点到和的距离之和，
∴当整数的值为这个值时，的最小值为，
即相应的整数的个数为个；
故答案为：①；；②；
（3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，
∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离，
∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动，
∴
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，当时，，当时，
2.（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：-3；9；
（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
（3）解：由题意得
，
∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，
如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时，．
3.解：（1），，
，
，；
故答案为：，；
（2）因为，，
所以AB=1-(-2)=3，
将数轴折叠，使得点与点重合，
所以对折点为AB的中点，
所以对折点表示的数为：1-×3=-0.5，
C点与对折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9，
即点C与数-9表示的点重合，
故答案为：-9；
（3）当x=b=1时，
|x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10为最小值；
故答案为：1；10；
（4）秒后，甲的位置是，乙的位置是，
.
4.（1）解：∵最小的正整数是1，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：，1，5；
（2）解：①当时，，
∴
，
②当时，，
∴
；
（3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不变，恒为2．
【题型2 数轴动点中的相遇问题】
1.（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
∵A，B两点间的距离为12，
∴，
∴，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P运动t秒的长度为，
所以点P所表示的数为：；
故答案为：；．
（2）∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴运动t秒时，点Q表示的数为：．
①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即
，
解得：，
∴当点P运动6秒时，点P与点Q相遇；
②点P与点Q间的距离为6个单位长度，则，
即，
解得：或，
∴当点P运动3秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．
2.（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
则，
又∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
点P运动t秒的长度为，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：．
（2）设点运动秒时追上点，
根据题意，得，
解得：，
答：当点运动秒时，点与点相遇．
3.解：（1）∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧
∴点C表示的数为4－8=-4；
（2）∵点表示的数为，点C表示的数为-4
∴BC=1－（-4）=5
由题意可得3t＋2t=5
解得：t=1
答：当t=1时，P，R两点会相遇；
（3）由题意可得：AB=4－1=3
点P遇上点的时间为：5÷（3－2）=5（秒）
此时点P与点Q的距离为3＋（3－1）×5=13
∴P、Q的相遇时间为13÷（3+1）=（秒）
∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是3×（5＋）=个单位长度
答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度．
4.（1）解：根据题意，则
∵，
∴，
∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数，
∴，解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）解：①根据题意，则
，，，
∵点，在点处相遇，
∴运动的时间为：（秒），
∴，
∴；
②∵点的运动速度是点的2倍，
∴点Q的速度是每秒2个单位；
当P、Q在相遇之前距离为2时；
∴运动的时间为：（秒），
∴；
当P、Q在相遇之后距离为2时；
∴运动的时间为：（秒），
∴；
综合上述，的值为或0；
【题型3 数轴动点中的中点问题】
1.（1）解：因为b是最小的正整数，所以．
因为，所以，．
故答案为；1；7．
（2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
所以点Q表示的数是，此时，
由，可分两种情况：
①当点P在上时，得，
此时；
所以点P运动的时间为，
所以点Q的运动速度；
②当点P在上时，得，
此时，
所以点P的运动时间是，
所以点Q的运动速度，
综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度．
2.（1）解：，
，，，
，，，
，，；
（2）所表示数为，所表示数为14，
，
点从运动到所用时间为秒，
即当秒时，点与点重合；
线段的运动时间为秒，
线段从运动到所用时间为秒，
数轴上点起始位置所表示数为，
线段运动17秒后，点所表示数为；
（3）点的起始位置所表示数为：；
在运动过程中，点所表示数为：，
①当时，点所表示数为：，
，（舍），（舍）；
②当时，点所表示数为：，
，，；
③当时，点所表示数为：，
，，．
综上所述，或15．
3.（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足，
∴，
故A表示的数是，C表示的数是，
∴，
故答案为：．
（2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，
①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时无法相遇；
②当点M在上，点N在上时，无法相遇；
③当点M在上，点N在上时，
则，，
∴点M用时为，点N用时为，
根据题意，得，
解得，
故相遇点在数轴上所对应的数．
（3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点，
∴点D表示的数是5；
设运动t秒时， ，
①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时，，
∵，
∴，
解得；
②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时，，
∵，
∴，
无解；
③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时，，
∵，
∴，
解得；
④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时，，
∵，
∴，
解得；
⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为，
此时，，
∵，
∴，
解得；
综上所述，当或或或时，．
4.（1），
，
∴的中点表示的数为：，
∵，
点B的重合点为，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：，
（）若为中点，
则 ，
解得；
（）若为中点，
则 ，
解得；
（）若为中点，
则，
解得；
综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点；
假设存在．
∵在右侧，在右侧，
∴，，
∴，
当即时，
，为定值，
故存在常数使的值为定值．
【题型4 数轴动点中的相距问题】
1.（1）解：∵，，
，
∵点D、E分别是和的中点，
，
，即的长为12；
（2）解：∵，，
，
∵点D、E分别是和的中点，
，
，即的长为12；
（3）解：，
如图，
，
如图，

∴，
或，
解得：或，
∴当或时，之间的距离为6；
2.（1）解：因为，
所以，
所以点A与点B之间的距离为．
（2）解：因为A、B两点之间的距离为12个单位长度，
所以秒，
答：点P运动6秒后到达B点．
（3）解：由题意，有两种情况：
P、Q相遇前：（秒），
P、Q相遇后：（秒），
所以运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度．
3.(1)AB＝OA+OB＝8+2＝10,
(2)PQ＝10﹣5t+3t＝10﹣2t,
由10﹣2t≥0，
解得0≤t≤5．
(3)①点P、点Q重合时，
由10﹣2t＝0，
解得t＝5．
②点P、点Q在原点O的两侧时，
OP＝8﹣5t,
OQ＝2+3t,
由8﹣5t＝2+3t,
解得t＝0.75,
所以t为0.75、5时，点P、点Q到原点O的距离相等．
4.（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒，
∴时，点表示的数为，
∴当点运动秒时，，，，
故答案为：，，；
（2）依题意，当点运动了秒时，
则，点表示的数为，
∴，，
故答案为：，，；
（3）∵，
∴，
即或，
解得：，
∴点表示的数为；
（4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒）
当点未到达点，

此时，，则点表示的数为，点表示的数为，
则，
即或，
解得：或，
∴点表示的数为或；
当点从点返回后，

此时，，
则点表示的数为，点表示的数为，
则，
即或，
解得或，
∴点表示的数为或，
综上所述，点表示的数为，，，．
【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】
1.（1）解：，
，，
，．
故答案是：；22．
（2）解：如图1所示：

图1，
的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或，
情形①：，
则运动的时间；
情形②：，
则运动的时间．
因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点．
（3）解：存在；

图2
理由：设运动的时间为秒，
点对应的数为，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
则，
，
由得；
①当时，，
解得：，
此时点对应的数为；
②当时，，
解得且，
此时点对应的数为；
③当时，，
解得且，舍去；
综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或．
2.（1）解：，
，，
解得，，，
则点A和点B之间的距离是，
故答案为：，12，20；
（2）①设，
则，
解得，，
，
即点表示的数是7；
②，
到、、三点的距离之和为23个单位，只要即可，
当点在点左边时，
由到时，，
由到时，，
当点在点的右侧时，
由到时，，
由到时，，
答：为、、3、4时，点到、、三点的距离之和为23个单位．
3.（1）解：、两点之间的距离是：；
（2）解：设点表示的数为．分两种情况：
①当点在线段上时，
，
，
解得；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
解得．
综上所述，点表示的数为或；
（3）解：分两种情况：
①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
解得，符合题意；
②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．
4.（1）解：中，，，
∴，解得，；，解得，，
∴、两点之间距离为．
（2）解：点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，点对应的数是，点对应的数是，
∴点到点的距离为，点到点距离为，
∴①时，则，
∴，解得，；
②，且，即时，
∴，解得，
③，时，
∴，解得，；
综上所述，点到点的距离是点到点距离的倍时，运动时间为秒或秒．
（3）解：点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，设点对应的数是，
∴①点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴，解得，，
∴点到点的距离为，点到点的距离为，
∵点从点到点的速度为个单位长度/秒，
∴，
∵、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，
∴点对应的数字是，点对应的数字是，
此时，点从点向右运动，点从点向左运动，且点从点向右运动，
∴①当点运动秒时，点运动的路程为，则此时点对应的数字为，
∵此时点和点的距离为个单位长度，
∴，则或（不符合题意，舍去），
∴点与点的距离为，
∴点的速度为；
②当点运动秒时，点运动的路程为，则点对应的点的数字是，
∴点从点运动到的路程为，
∴点的速度为；
综上所述，点的速度为或．
【题型6 数轴动点中的定值问题】
1.解：（1）∵
∴b+1=0，c-4=0
∴b=-1，c=4
(2)由数轴可知：AB= 2，
∴B C=4，
∴点C向左移动后的数是3或-5
∴需将点C向左移动1或9个单位；
故答案是：1或9；
（3）①点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5t．
故答案是：-3-mt；-1+2t；4+5t；
②∵点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5，
∴d1=4+5t-(-1+2t)=3t+5，d2=-1+2t-(-3-mt)=（m+2）t+2，
∴2d1-d2=2（3t+5）-[（m+2）t+2]=（4-m）t+12，
∵2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变
∴4-m=0，
∴m=4，
故当m=4时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时2d1－d2的值为12．
2.（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或；
（3）解：假设存在符合条件的k值，
∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是，
∴，，
∴，
由题意，，
∴，
即存在符合条件的k值．
3.（1）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得，，
∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度，
故答案为：；
（2）解：①当相遇前相距8个单位长度有，
（秒），
②当相遇后相距8个单位长度有，
（秒）
答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度；
故答案为：4或8；
（3）解：∵，
当P在之间时，是定值4，
（秒），
此时（单位长度），
故这个时间是秒，定值是单位长度．
故答案为：，6．
4.（1）解：，
，
解得：，，
故答案为：，16；
（2）解：此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）；
（秒）或（秒），
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度；
（3）解：正确，
，
当在之间时，是定值5，
（秒），
此时（单位长度），
故这个时间是0.625秒，定值是8单位长度．
【题型7 数轴动点中的折返问题】
1.解：（1）∵A、B所对应的数值分别为-20和40，
∴AB=40-(-20)=60，
∵P是AB的中点，
∴AP=60=30，
∴点P表示的数是-20+30=10；
∵如图，点A、B对应的数值分别是a和b，
∴AB=b-a，
∵P是AB的中点，
∴AP=(b-a)
∴点P表示的数是a+(b-a) =(a+b).
（2）①点A和点B相向而行，相遇的时间为=20（秒），此即整个过程中点P运动的时间．
所以，点P的运动路程为3×20=60（单位长度），故答案是60个单位长度．
②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的．所以这个过程中0≤t≤7.5．P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值为10-3t．
故答案是：10-3t，0≤t≤7.5．
③不存在．
由②可知，点P是和点A相向而行的，整个过程中，点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，所以不存在相等的时候．
故答案为（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析.
2.（1）∵，
∴，
∴，，，；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：
，
解得：，
∴点C的运动速度为每秒2个单位；
（3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为，
∴，，
∵，
∴①时，，解得：；
②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；
∴或20．
（4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时；
①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；
∴A，C相遇时对应的数为：，，．
3.（1）点O关于点B对称时，，
另一点与B的距离也是3，B点表示数为3，
另一点表示数为6，
故为D．
（2）分析题目得：当G位于点A，关于点B对称时有最大值，
， B点表示数为3，
另一点表示数为7．
当G位于点B，关于点A对称时有最大值，
， A点表示数为-1，
另一点表示数为-5．
故x的最小值为-5，最大值为7．
（3）根据题意得：相遇时间为（s），相遇于表示数为2.2处，则回到原点的时间也是2.8s，
总共消耗时间为5.6s，
设消耗的时间为t，当，则的中点为
A点的表示数为，B点的表示数为，
，解得，
．
当时，则的中点为，
A点的表示数为，B点的表示数为，
∴-1+t≤≤1+t ，解得，
．
当时，不是线段要去掉，
故答案为．
4.（1）∵，
∴，，
∴，；
，
（个单位长度），
∴的运动速度为（个单位长度），
故答案为：，，；
（2）解：秒时，点数为，点数为，点数为，点数为，
∴，，
∵，
∴①≥时，，解得：；
②时，即，，解得：；
∴或．
（3）解：点运动到点所需时间为，所以，相遇时间，由（）得 时，，相遇点为，到再从返回到，用时；
①第一次从点出发时，若与相遇，根据题意得，此时相遇数为；②第二次与点相遇，得，解得，此时相遇点为；
∴，相遇时对应的数为：，，．
【题型8 数轴动点中的规律问题】
1.解：（1），．
答：地在数轴上表示的数是12或．
（2）令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则：
第五次行进后相对A的位置为：，
第六次行进后相对A的位置为：，
因为点、与点的距离都是3米，
所以点、点到地的距离相等；
（3）若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”，
则当为100时，它在数轴上表示的数为：
，
∵B点表示的为12.
∴AB的距离为（米．
答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米．
2.B
【分析】序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少 ，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，即可解答．
【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点,则表示的数，1 3= 2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点,则表示的数为 2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点 ,则表示的数为4 9= 5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点 ,则表示的数为 5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点,则表示的数为7 15= 8；
…；
则点 表示：
故选B．
3. 32 30
【分析】第8个数为偶数项，代入偶数项的公式即可得出答案；根据数的规律写出前11个数的值，再结合点的跳跃规律即可得出答案.
【详解】∵第8个数为偶数项
∴第8个数为：；
由题可知，第4秒点向左跳8个单位，记为，点表示的数为-6；
第5秒点向右跳12个单位，记为，点表示的数为6；
…
第11秒点向右跳60个单位，记为，点表示的数为30;
故答案为32，30.
4.（1）－16－50＝－66或－16＋50＝34
答：B地在数轴上表示的数为－66或34；
（2）∵B地在原点的右侧，∴B地在数轴上表示的数为34，
第8次运动到点P为 ＝－16＋4＝－12，
∴点P与点B相距的单位长度为34－(－12)＝46，
8次运动完成后经过的时间为：(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)÷2＝36÷2＝18（分钟），
答：点P与点B相距46个单位长度，8次运动完成后一共经过了18分钟；
（3）第1次运动到点：－16－1，第2次为：－16＋1，第3次为：－16＋1－3＝－16－2，
第4次为：－16＋2，……照此规律：
当n为奇数时，点Q表示的数为 ＝ ＝；
当n为偶数时，点Q表示的数为
【题型9 数轴动点中的新定义问题】
1.（1）解：依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，
因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），
所以点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
2.（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；
表示的数是，如图：

（2）①点表示的数为，
故答案为：；
②不存在恰好与原点重合，理由如下：
表示的数是，
当时，，
表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合；
当时，表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合，
综上所述，不存在恰好与原点重合．
3.（1）解：∵点A表示的数为，点B，C表示的数分别为，4，
∴点A和点B的中点表示的数为，点A与点C的中点表示的数为，
∵点O为原点，点M表示的数为2，
∴点C与点A关于线段径向对称；
故答案为：C；
（2）解：设点N所对应的数为m，
∵点A表示的数为，点F表示的数为6，
∴点A和点F的中点所对应的数为，
若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时；
∴线段长度的最小值为；
（3）解：K点运动后表示的数是，L点运动后表示的数是，
设线段上有一点T，T点表示的数是x，
∴的中点，
∵T点与A点关于线段径向对称，
∴在线段上，
∴，
∴，
当L点运动到表示1的数时，，
解得，
当K点运动到表示5的数时，，
解得，
∴t的最小值为，最大值为3，
故答案为：，3．
4.（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．
故答案为：－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．

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