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2024-2025学年第二学期期中调研测试
高二数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝3，S4＝10，则S6＝ ( )
A．17 B．19 C．21 D．23
2．直线l：y＝x被圆C：(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为 ( )
A．1 B． C．2 D．2
3．已知随机变量 X 的分布列如表1，若E(X)＝3，则a＝ ( )
X 2 3 5
P a b 2b－a
A． B． C． D．
4．已知f(x)的导函数f '(x)图象如图1，则f(x)的极大值点为 ( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
5．(1＋x)(1－x)6展开式中，x5的系数为 ( )
A．21 B．9 C．－21 D．－9
6．已知两个变量y与x对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5
y 5 m 8 9 10.5
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为＝1.25x＋4.25，则 ( )
A．y与x负相关
B．在x＝1处的残差为0.5
C．经验回归直线过点(3，8)
D．变量x每增加一个单位，实际值一定增加1.25个单位
7．甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况 ( )
A．192种 B．384种 C．480种 D．576种
8．已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是k1，k2，则k1·k2＝( )
A．－4 B．2－3 C．4 D．－3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．下列说法正确的是 ( )
A．若随机变量X和Y满足Y＝2X＋1，且D(X)＝3，则D(Y)＝7
B．若随机变量X~N(3，σ2)，P(X≤5)＝0.7 ，则P(X≤1)＝0.3
C．若随机变量X~B(8，)，则E(X)＝
D．在含有4件次品的10件产品中任取3件，取到的次品数为X，则P(X＝2)＝
10．某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是 ( )
A．连续投篮两次都投中的概率为
B．连续投篮两次都未投中的概率为
C．第二次投篮投中的概率为
D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为
11．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，Tn为数列{Sn}的前n项积，满足Sn＋Tn＝Sn·Tn ，给出下列四个结论，正确的是 ( )
A．a1＝2 B．{Tn}为等比数列
C．Sn＝ D．数列{Tn·()n}的最大项的值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．若平面α的一个法向量n1＝(x，－2，6)，平面β的一个法向量n2＝(－1，1，z)，且α//β，则x＋z＝
13．在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有种．
14．一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是，摸球次数的期望是．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分13分)
某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下：
月份x 1 2 3 4 5
不满意的人数y 120 105 100 95 80
（1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数；
满意 不满意 合计
女客户 48 12
男客户 22 18
合计
（2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关
附：经验回归方程为＝x＋，其中．
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥α) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
α 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．(本题满分15分)
已知函数f(x)＝x－2lnx，g(x)＝－3lnx＋3．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
17．(本题满分15分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P是CC1的中点，△ABC、△C1BC均为边长为4的正三角形，且AC1＝2，
（1）求证：平面ABC⊥平面CBB1C1；
（2）求直线A1B与平面ABP所成角的正弦值．
18．(本题满分17分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为(0，1)，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P．
(i)若△AFP的面积是1，求直线l的斜率；
(ii)若△AFP的面积与△OFM的面积之比为9：5，求直线l的斜率．
19．(本题满分17分)
五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品.
（1）求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率；
（2）求小明连续抛掷骰子k次，累计得分为k＋i分的概率，0≤i≤k，k∈Z；(结果用k和i表示)
（3）求小明连续抛掷若干次，累计得分为n分的概率．(结果用n表示)
高二数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A D B C B A
二、多选题
9 10 11
BC ACD ACD
三、填空题
12 13 14
－1 72 ，6
四、解答题
15．(1)由表中的数据可知，
＝＝3， 1分
＝＝100， 2分
xiyi＝1×120＋2×105＋3×100＋4×95＋5×80＝1410，5＝5×3×100＝1500，
x＝55，＝＝＝－9， 4分
＝－＝100－(－9)×3＝127 6分
不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为＝－9x＋127， 7分
当x＝8时，＝－9×8＋127＝55，
故预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55． 8分
(2)提出假设H0：服务满意度与性别无关． 9分
由表中的数据可得χ2＝＝≈7.143＞6.635． 12分
因为P(χ2≥6.635)≈0.01，
所以有99%的把握认为满意度与性别有关． 13分
(注：χ2可保留分数，也可近似为7.1，7.14等；不写“P(χ2≥6.635)≈0.01”不扣分)
16．(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝1－＝， 2分
令f '(x)＞0得x＞2，令f '(x)＜0得0＜x＜2，
所以f(x)的增区间为(2，＋∞)， 4分
减区间为(0，2)． 6分
(2)法1： 因为x－2lnx≥－3lnx＋3(x＞0)，所以≤lnx＋x－3，
即a≤x·lnx＋x2－3x． 8分
令h(x)＝x·lnx＋x2－3x，h'(x)＝lnx＋2x－2
因为h'(x)在(0，＋∞)单调递增且h'(1)＝0． 10分
所以当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)在(0，1)单调递减；
当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)单调递增； 12分
故当x＝1时，h(x)min＝h(1)＝－2． 14分
所以a≤－2． 15分
法2：构造h(x)＝lnx＋x－3－，分类讨论a≥0,a<0,求 h(x)的最小值大于等于0，酌情给分
17．(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，C1O．
因为△ABC、△C1BC均为边长为4的正三角形，
所以AO⊥CB，C1O⊥CB,A1O＝C1O＝2，△C1AO中AO2＋OC12＝AC12，
所以AO⊥C1O． 2分
又AO∩C1O＝O，BC，C1O平面CBB1C1，所以AO⊥平面CBB1C1． 4分
又因为AO平面ABC，
所以平面ABC⊥平面CBB1C1． 6分
(2)以OA，OB，OC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，－2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，4，2)，P(0，－1，)，
由＝＝(0，2，2)得A1(2，2，2)
＝(2，1，－)，＝(0，3，－)，＝(－2，0，－2)
设n＝(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，
则，令y＝，则n＝(1，，3)， 11分
设直线A1B与平面ABP所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜n，＞|＝＝ 14分
所以直线A1B与平面ABP所成角的正弦值为. 15分
(注：其它建系方法酌情给分)
18．(1)由题意得：，所以
所以椭圆方程为＋＝1． 3分
(2)(i)因为A(2，0)，E(0，1)，所以直线AE的方程为y＝－x＋1．
因为S△AFP＝·|AF|·|yp|＝1，|AF|＝3，P在第一象限，
所以yp＝，所以xp＝，P(，)． 7分
所以kPF＝． 8分
(ii)由题意可知，直线l的斜率存在且为正，
直线DE方程为y＝－x＋1，
因为△AFP的面积与△OFM的面积之比为9：5，
因为＝＝，且＝3，
所以＝＝ 12分
又由题意可知P，M均在第一象限，所以yP＝yM．
法1．设直线l方程为x＝my－1，由，解得，
所以yM＝yP＝，xM＝myM－1＝
因为点M点在椭圆上，故将点M坐标代入椭圆方程整理得(3m－4)2＝0，
所以m＝
所以直线l的斜率为． 17分
法2．设直线l方程为y＝k(x＋1)，(k＞0)
由，解得，
所以yM＝yP＝，由yM＝k(xM＋1) 得xM＝
因为点M点在椭圆上，故将M点坐标代入椭圆方程整理得：
16k2－24k＋9＝(4k－3)2＝0
∴k＝． 17分
法3.设P(2－2y0 , y0），因为 = ,设M（x,y）,可得M（，），代入 ＋＝1，可得：（10y0－9)2＝0，y0＝ ，可得P( , ）或M（1，） … ……15分
∴k＝ 17分
19．(1)由题知小明得2分的概率为，小明得1分的概率为．记事件“小明参与3次掷骰子游戏，累计得分为4分”为A，则前3次中有2次得1分，1次得2分，
所以P(A)＝C·()·()2＝． 4分
(2)记事件“小明参与k次掷骰子游戏，累计得分为k＋i分”为B，则前k次中有k－i次得1分，i次得2分，
所以P(B)＝C·()·()i＝． 8分
(3)设小明在掷若干次后，累计得分刚好为n分的概率为Pn，
则P1＝，P2＝·＋＝，
且当n≥3时，累计得分刚好为n分可分为以下两种情况：
①累计得分刚好为n－2分，然后再得2分，概率为Pn－2·，
②累计得分刚好为n－1分，然后再得1分，概率为Pn－1·，
所以Pn＝·Pn－2＋·Pn－1， 13分
法1．Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，且P2－P1＝,
所以Pn－Pn－1＝·(－)，
所以Pn－1－Pn－2＝·(－)，…，P2－P1＝·(－)0，
累加得Pn－P1＝·((－)＋(－)＋…＋(－)0)＝·[－·(－)]＝－·(－)，
所以Pn＝－·(－)＝＋·(－)n． 17分
法2．Pn＋Pn－1＝Pn－1＋Pn－2，
所以{Pn＋Pn－1}是常数列，Pn＋Pn－1＝P2＋P1＝1，
所以Pn＝－Pn－1＋1，Pn－＝－(Pn－1－)，
所以Pn－＝(－)n－1·(P1－)＝－·(－)，
所以Pn＝－·(－)＝＋·(－)n． 17分

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