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高二数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数从1到2的平均变化率为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
展开式中的系数为（ ）
A.1 B.7 C.21 D.42
3.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知抛物线上的点到焦点的距离为6，则到轴的距离为（ ）
A. B. C.2 D.4
5.已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，则点B到平面α的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为过左焦点的直线l交C于A，B两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
7.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
8.在数列中，若则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列求导不正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.记为数列的前项和.若则（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为.又测得的长为，的长为则（ ）
A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
C.直线与水库底面所成角的正弦值为
D.直线与水库底面所成角的正弦值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数则__________.
13.已知数列的首项为1，前n项和为，则__________.
14.两名老师和甲 乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则有__________.种不同的排法.（用数字作答）
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在等差数列中，
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和
16.（15分）
体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020——2030）》明确提出：青少年学生每天在校内需参与不少于60分钟的中高强度身体活动.随着此方案的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到显著改善.某中学为了了解体育运动对学生成绩的影响情况，从校内随机抽取100名学生，调查他们平均每天的运动情况及成绩情况，得到如下数据：
成绩优秀 成绩一般
每天运动不少于60分钟 20 40
每天运动不足60分钟 5 35
（1）是否有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关？
（2）用频率近似概率，为了更进一步了解体育运动是否对学生成绩有影响，现从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取3人，记这3人中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
已知函数
（1）判断极值点的个数；
（2）当x0时，恒成立，求a的取值范围.
18.（17分）
已知数列的前项和为且
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和
19.（17分）
已知函数
（1）若求的图象在点处的切线方程；
（2）试讨论的单调性；
（3）证明：只有一个零点.
高二数学考试参考答案
1.C 函数从1到2的平均变化率为.
2.C 展开式中的系数为.
3.B 因为在上单调递减，所以.
4.B 设，点到焦点的距离为6，所以，解得，又因为，所以，即到轴的距离为.
5.A 因为，所以点到平面的距离为.
6.A 的周长为.因为所以，故的周长为.
7.B 由题意可知，每瓶液体材料的利润，所以，令，得.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故每瓶液体材料的利润最大时，.
8.C 在等式中，令，可得，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，则.
，解得.
9.ABD .
10.ACD 当时，，解得，A正确.
当时，，所以，即，则是以-3为首项，2为公比的等比数列，所以，当时，也满足上式，C正确.
由上知，B错误.
，D正确.
11.BC 由题意可知，，则所成角的大小等于水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小.因为，所以.因为，所以，
解得，所以水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为.
过点向水库底面作垂线，垂足为，连接（图略），则即为直线与水库底面所成角的平面角.
因为，所以，所以直线与水库底面所成角的正弦值为.
12.4 因为，所以，故.
13.10 .
14.816 不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法，再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法，即此时排法有种，而甲站最左边的排法有种，故符合条件的排法共有960-144=816种.
15.解：（1）设的首项为，公差为，
所以
解得.
故的通项公式为.
（2）因为，
所以
.
16.解：（1）由题意可得.
又因为，而且查表可得，由于，所以有的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关.
（2）从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取1人，此人成绩优秀的概率为
所以
.
的分布列为
0 1 2 3
所以.
17.解：（1）因为，所以.
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为，极小值点为1；
当时，无极值点；
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为1，极小值点为.
综上，当时，有2个极值点；当时，无极值点.
（2）因为，
所以对恒成立.
令，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以
由，得，即的取值范围是.
18.解：（1）当时，由，得.
当时，，
所以，所以，
所以是首项为4，公比为3的等比数列，故.
（2）由（1）知，
所以，所以.
令，则，
两式相减得
，
所以.
因为，所以.
19.（1）解：若，则.
.
故的图象在点处的切线方程为.
（2）解：因为，所以的定义域为.
.
令.令，得.
若，即，则，所以在上单调递增.
若，即，则方程的解为，且.
当时，；
当时，.
故在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.注：
当时，答案写成在和上单调递增，在上单调递减，不扣分.
（3）证明：当时，在上单调递增.因为，所以只有一个零点.
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
因为，所以在上有一个零点.
.
因为，所以，即，所以.
令，则.
当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上没有零点，即在上只有一个零点.
综上，只有一个零点.

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