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湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷（二）
一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是( )
A． B． C． D．
2．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列事件中，不属于随机事件的有（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为360° B．投一枚骰子得到的点数是奇数
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．从日历本上任选一天为星期天
6．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是上的两点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
9．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则的周长的最小值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
二、填空题
11．函数中，自变量的取值范围是 .
12．一个圆锥的侧面积是，它的底面半径是3，则它的母线长等于 ．
13．若是抛物线上的点，则代数式的值为 ．
14．如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
15．某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为 ．
16．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图①，沩山千手观音像位于长沙市宁乡市沩山之巅，是中国传统文化与自然景观完美融合的杰作．某数学兴趣小组把测量“沩山千手观音像高度”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量沩山千手观音像高度
测量示意图及方案 如图②，千手观音像垂直于地面，在地面两处分别测得和的度数在同一直线上，所有点均在同一平面内）
测量数据 的长度为
请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求为山千手观音像的高度．（结果保留整数，参考数据：）
20．随着教育改革的不断深入，新课标中强调了学生在阅读过程中的主体地位，鼓励学生自主选择阅读材料、自主安排阅读时间，并在阅读中积极思考、主动探究．同时，学校和家庭也应为学生提供良好的阅读环境和条件，共同促进学生课外阅读习惯的养成和阅读能力的提升．某校为了解本校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
某校部分学生每天课外阅读时间频数分布直方图
等级 每天课外阅读时间 频率
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中___________，___________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校有学生名，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
21．如图，在和中，点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有，两款无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解架款无人机和架款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，架款无人机和架款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒．
(1)求，两款无人机每小时各可为多少亩土地进行农药喷洒？
(2)当地高标准农田建设项目总占地面积为亩，计划使用，两款无人机共架同时进行农药喷洒服务小时，为了在小时内将这些土地全部喷洒上农药，那么最少使用多少架款无人机？
23．如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连接交于点为上一点，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求的度数及的长．
24．如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求切线的长；
(3)记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：；
(4)设，求关于的函数解析式．
25．定义：对于关于的二次函数与，若满足且，则称是的“协同函数”．
(1)已知二次函数与，其中是的“协同函数”，求的值；
(2)已知二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，且满足不等式．二次函数是的“协同函数”，当时，的最小值为，判断二次函数的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由．
(3)若开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，且满足，它的“协同函数”的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点，当是直角三角形时，求出外接圆面积的取值范围．
《湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C A B D A A C
1．A
【详解】A选项：是无限不循环小数，故是无理数；
B选项：是有理数；
C选项：＝3，故是有理数；
D选项：＝2，故是有理数；
故选A.
2．B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可．
【详解】解：，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了幂的运算，二次根式的加法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用同底数幂的除法、幂的乘方运算法则，二次根式的加法法则和完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、，写法正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】结合题意，根据立体图形视图的性质分析，即可得到答案．
【详解】几何体的主视图是：
故选：C．
【点睛】本题考查了立体图形的知识；解题的关键是熟练掌握视图的性质，从而完成求解．
5．A
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件的定义分析得出答案．
【详解】A．任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件；
B．投一枚骰子得到的点数是奇数，是随机事件；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
D．从日历本上任选一天为星期天，是随机事件．
故选A．
【点睛】本题考查了随机事件，正确把握相关定义是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，根据圆周角定理得，再利用等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
，
，
，
∴，
，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
9．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，
故选：．
10．C
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，即此时的周长最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接．
，是等边三角形，
，，，
，
，
．
平分，
，，
，
点在射线上运动，且．
作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有，
．
当三点共线时，有最小值
此时的值最小，最小为，
即周长有最小值，最小值为．
根据对称性可知，
．
，
是等边三角形，
．
，
，
，
周长的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹．
11．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．4
【分析】本题考查了圆锥的相关知识，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键；
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长建立方程求解即可．
【详解】解：设母线长为R，底面半径是3，
∴，
解得．
故答案为4．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入，得出，即，整体代入即可求解．
【详解】解：将点代入，
得，即
∴
故答案为：．
14．30
【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．
【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
15．13
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：由题意可得
∵且经过点O，
∴，
∵，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
解得，
故答案为：．
16．258
【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果．
【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列：
密码由2、5、8组成，共有6种排列：
258，285，528，582，825，852
根据婷婷的条件：2不在末位；
排除末位为2的排列：
∴剩余候选：258，285，528，825，
应用乐乐的条件：5和8相邻，
∴剩余候选：258，285
应用香香的条件：中间位不是8，
最终剩余：258；
故答案为：258．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18．，1
【分析】本题主要考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项．掌握乘法公式和整式混合运算法则是关键．
利用平方差公式以及单项式乘多项式法则展开，再合并，最后将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．观音像的高度 约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设米，分别解和，得到米，米，根据米，得到方程，解方程即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵米，
∴，
即，
解得，
∴米，
答：观音像的高度 约为米．
20．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了数据的收集与整理，统计图的运用，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）由的频数与频率可得总人数，再用乘以总人数可得的值，进而求得的值；
（2）总人数乘以得出第3组频数，总人数乘以得出第4组频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想可得．
【详解】（1）总人数为：，
∴，
故答案为：，；
（2）的人数为：，
的人数为：，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为：(人)．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据，得出，代入数据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，即
又∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴
22．(1)款无人机每小时喷洒 亩，款无人机每小时喷洒 亩
(2)最少需使用 架 款无人机
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的意义应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式；
（1）设款无人机亩每小时，款无人机亩每小时，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）使用 架 款无人机，则使用架 款无人机，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设款无人机亩每小时，款无人机亩每小时，根据题意得，
解得：
答： 款无人机每小时喷洒 亩，款无人机每小时喷洒 亩；
（2）解：设使用 架 款无人机，则使用架 款无人机，根据题意得，
解得：，
∴最小整数解为，
答：最少需使用 架 款无人机．
23．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据轴对称的性质可得，，进而证明四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证；
（2）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质即可得出的度数，进而根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点与点关于直线对称
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）∵
∴
∴
∵四边形为菱形；
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
∴
∴
24．(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）连接，根据，可得，证明，得出，即可得证
（2）设，，则，进而根据完全平方公式变形，勾股定理，求得，进而即可求解；
（3）过点作于,记的面积为，的面积为，的面积为的面积为，四边形的面积为，根据已知等式变形，得出，进而证明，证明得出，结合，即可得证；
（4）证明满足，进而根据，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线；
∴，即
∵，，
∴
∴,即
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴
又∵，
∴
设，，则
∴
∵，则
∴，
又∵
∴（负值舍去）
又,
解得：（舍去）或，
∴；
（3）如图，过点作于,
记的面积为，的面积为，的面积为的面积为，四边形的面积为，
∴
∴
由得，
∴
∴
∴
即,
∴
∴，
∴，即
∴到的距离和到的距离相等，
∴
又∵
∴
∵是的切线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
（4）解：∵是的切线，
∴
又∵
∴
∴
∴，即，
如图，连接并延长交于点，连接，
∴
∴
又∵是切线，
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴，
又∵
∴，
又∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
∴
即
∴，
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)，
(2)定点和
(3)
【分析】（1）根据协同函数的定义得到，或，由此代入计算即可求解；
（2）先确定对称轴为直线，则，由二次函数是的“协同函数”，得到，可知开口向下，可得对称轴为直线，由，得到，那么当时，的最小值为，可得当时，取最小值，代入得到，则的解析式为，即可求解定点；
（3）可得二次函数的“协同函数”为，设，则，由为直角三角形，且，且抛物线看开口向上，则，点在轴负半轴，点在轴正半轴，由相似得到，则，则，而，那么，由开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，得到，那么，则．
【详解】（1）解：已知且，
∴，
∴，
∵二次函数与，其中是的“协同函数”，
∴，；
（2）解：∵二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数是的“协同函数”，
∴，即，
∵，
∴开口向下，可得对称轴为直线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵当时，的最小值为，
∴当时，取最小值，
故，
化简得：，
∴的解析式为：，
∴当，即或，
∴经过定点和；
（3）解：∵，
∴二次函数的“协同函数”为，
设，
当时，
则，
∵为直角三角形，且，且抛物线开口向上，
∴，点在轴负半轴，点在轴正半轴，
如图：
此时只能，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，难度大，涉及二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，外接圆的概念，一元二次方程根与系数的关系等知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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