资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题
1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．红 B．柳 C．烟 D．雨
5．某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．同样整齐
6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，． 若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，点在上，若，则 （ ）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④
二、填空题
11．分解因式： ．
12．十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ．
13．如图，将一个正多边形纸片剪去一个完整的角，测量剪下来的纸片，则这个正多边形的边数为 ．
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则b的值可以是 ．
15．如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是 ．
16．已知当物体的质量一定时，体积与密度是反比例函数关系，如图是一个可以通过活塞改变气体体积（单位：）的密闭容器，容器内装有一定质量的氢气，向下推动活塞，当活塞下压到刻度时，该气体的密度为，则当活塞下压到刻度时，该气体的密度为 （整个过程温度保持不变）．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接．
(1)由以上作图可知，四边形的形状是___________；
(2)若，求的大小．
20．我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
(3)学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
21．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数．
22．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同．
(1)求两种设备每台各多少万元？
(2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用．
23．如图，在中，，外接于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径，求的面积．
24．定义：如果和都是关于的函数，那么我们把叫做的均值函数．例如，如果，，那么我们把叫做的均值函数．
(1)已知的均值函数经过点，求的值；
(2)已知的均值函数的顶点坐标为，求的最大值；
(3)已知（且）．
①当时，的均值函数的最小值为，求的值；
②若的均值函数与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
25．我们在处理正方形的证明与计算问题时，经常运用旋转作图的方法来解决问题．如图，已知正方形中，是边上的一点（不与重合）．把绕点逆时针旋转得到，易知三点共线（不要求证明），的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)如图，连接，．
求证：；
直接写出的值；
(3)如图，已知，连接，过点作于点．把，，的面积分别记作，当时，求的长．
《湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D A B B B A D
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和10的指数的表示规律为关键，
绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，为整数位数减1．
【详解】解：4590万．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查整式的运算，掌握幂的运算，同底数幂的乘法，完全平方公式是解题的关键.
【详解】A.故A不符合题意；
B.故B符合题意；
C.故C不符合题意；
D.故D不符合题意；
故选：B
4．D
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．
【详解】解：由正方体的展开图可知，
与“桃”字所在面相对面上的汉字是“雨”，
故选：D．
5．A
【分析】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是关键．
如图所示，连接，根据直径所对圆周角为直角，直角三角形两锐角互余得到，根据圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵点在上，即四边形是内接四边形，
∴，
∴，即，
故选：B ．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意可列出方程组．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与函数的图象的交点为，，
由函数图象可知，不等式的解集是，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角的判定和性质，求正切值等知识，先推导④再推导③是解题的关键．推导得到，从而得到，从而判定①，设，则，证明得到，继而求出，再用正切的定义得到，从而判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，从而求出，从而判断④，再根据④正确得到，再用余角的性质和等量代换得到，从而判断③．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴
又∵E是中点，
∴，故①正确；
设，则
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴(舍去负值)，
∴，故②错误；
∵，
∴，
过点F作于点G，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴故③正确，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
12．
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率．
【详解】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的有2种，
∴小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是，
故答案为：．
13．12
【分析】本题考查正多边形的内角和、等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形内角的计算方法是解题的关键．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据正多边形内角的求解方法列方程求解即可．
【详解】解：如图：∵正多边形，
∴，
∴，
∴，
设这个正多边形为正n边形，则，
解得:，
经检验是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形．
故答案为：12．
14．0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故b的值可以是0．
故答案为：0（答案不唯一）．
15．
【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，
由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解根据，将时，．代入，可求的值，即可求求与的函数表达式，再将代入可求该气体的密度．
【详解】解：（1），且当时，．
，
当时，，
故答案是：．
17．
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，准确计算．
18．，．
【分析】括号内先通分，进行分式加减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后得到结果，再把x的值代入计算．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，
原式==．
考点：分式的化简求值．
19．(1)菱形
(2)
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键．
（1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
证明：由作图可得，
∴四边形是菱形，
（2）解：四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)400，见解析
(2)800名
(3)见解析，
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明；
（2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键，
22．(1)每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
(2)购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元
【分析】此题考查的是分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，然后根据题意列一元一次不等式组和一次函数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（万元）；
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，
根据题意得：，
解得：；
设总费用为w，则，
∵，
∴当时，；
答：购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键．
（1）连接，先证出，再设，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再设，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后利用平行四边形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，延长交于点，
由（1）已证：，
设，则，
由（1）已得：，
∴，
∴，
又∵，
∴（等腰三角形的三线合一），
设，
∵的半径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，求出函数解析式，待定系数法求出的值即可；
（2）根据新定义，求出函数解析式，进而求出顶点坐标，得到，二次函数求最值即可；
（3）①根据新定义，列出函数解析式，令，则：，，根据，以及，得到，进而得到，根据最小值，求出的值即可；②令，得到，根据的均值函数与轴有且只有一个交点，即只有一个正实数根，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
把代入，得：，
解得：；
（2）
，
∴，
∴当时，有最大值为；
（3）①，
令，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵均值函数的最小值为，
∴，
∴；
②由①知：，
当时，
则：，
∴，
∵的均值函数与轴有且只有一个交点，即只有一个正实数根，
∴当，解得：，此时满足题意；
当时，即：时，
则：，
∴，，
对于恒成立，
对于，，
∵，
∴；
综上：或．
25．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；，
(3)．
【分析】（）由四边形是正方形，则，由旋转可知，，所以，通过三角形内角和定理即可求证；
（）过点作于点，作于点，由正方形性质可得，，证明四边形是矩形，然后再证明，通过性质可得四边形是正方形，所以，然后代入即可求证；
由可知，同理可得，，然后代入即可求解；
（）由（）可知，则，所以，又，，故有，，作于，根据即平分，设到的距离为，所以，，故有，则，从而求解．
【详解】（1）证明:∵四边形是正方形，
∴，
由旋转可知，，
∴三点共线，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
，
理由：由可知，
同理可得，，
两式相加得，，
∴，
∴；
（3）解：如图，由（）可知，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
作于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分，设到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑