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江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（二）
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．9 B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（ ）
A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小
4．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（　　）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
5．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．的相反数是 ，36的算术平方根是 ．
8．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
9．纳秒（）是非常小的时间单位，，用科学记数法表示是 s．
10．计算的结果是 ．
11．分解因式：2a2﹣8b2= ．
12．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是 ．
14．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点在轴正半轴上．将绕原点顺时针旋转一定角度，使点落在反比例函数的图像上，且点落在反比例函数的图像上，则的值为 ．
16．在中，平分是射线上的动点，连接、，当取最大值时，则的长度为 ．
三、解答题
17．解不等式组并写出它的最大整数解.
18．先化简，再求值：，其中.
19．2019~2024年全国铁路、高铁营业里程情况如图所示.（说明：铁路营业里程=高铁营业里程十其他铁路营业里程）
(1)年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的百分比为_____.
(2)结合上述统计图，下列结论：
①年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增；
②年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；
③年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里.
其中所有正确结论的序号是_____.
(3)结合上图提供的信息，写出1个与全国铁路、高铁营业里程相关的新的结论.
20．一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____.
(2)搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率.
21．，两块试验田去年共收获小麦今年采用新技术实现了增产，共收获小麦已知试验田今年比去年增产，试验田今年比去年增产去年，两块试验田分别收获小麦多少？
22．如图，将沿翻折，点落在点处，与相交于点．连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是平行四边形．
23．如图，为了测量河流的宽度，一架水平飞行的无人机先在处测得河流两岸，两处的俯角分别为，，之后无人机水平向前飞行至处，此时测得河岸处的俯角为．点，，，在同一平面内，求河流的宽度的长．（结果精确到．参考数据：，）
24．同一直道上的，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲车行驶时间（单位：）的函数关系如图所示．
(1)甲车的速度是_____，_____．
(2)求乙车休息的时间．
(3)丙车与甲车同时出发，以的速度从地匀速驶往地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第时开始休息，直接写出的取值范围．
25．如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若是的切线．
①求证：．
②若，，是的中点，则的半径为_____．
26．已知二次函数（为常数，）．
(1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
(2)该函数的图象必过定点_____、_____．
(3)设，当时，．直接写出的取值范围．
27．（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点.
（I）求证：.
（II）求证：.
（2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为.
（I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____.
A．直线 B．弧 C．线段
（II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____.
《江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D C B B
1．A
【分析】本题考查算术平方根的概念．解题关键在于理解算术平方根的定义及性质，利用算术平方根与被开方数的平方关系来求解被开方数的值，要注意算术平方根是非负的，被开方数也是非负的．由，根据算术平方根的定义求出的值．
【详解】解：∵（），，
∴ ．
故选：A．
2．C
【分析】此题考查了合并同类项和积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是关键．先合并同类项，再计算积的乘方即可．
【详解】解：
故选：C
3．D
【分析】本题主要考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变，
设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
则，
，
，
，
若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小．
故选：D．
4．C
【分析】由于相同的间距0.2米用5根立柱加固，则米，以C坐标系的原点，所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过、、，据此求出解析式．把代入后求出y，再计算即可．
【详解】如图，以C坐标系的原点，所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为，
由题知，图象过，
代入得：，
∴，
∴．
∵F点横坐标为，
∴当时，，
∴米．
故选∶C．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可．
【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
设图2：设，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴
∴．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键．
根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解．
【详解】解：均是上的点，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
7． 6
【分析】本题考查相反数，算术平方根，熟练掌握会求一个数的相反数和算术平方根是解题的关键．
根据只有符号不同的两个数是互为相反数和一个正数正的平方根叫这个正数的算术平方根．求解即可．
【详解】解：的相反数是，
36的算术平方根是，
故答案为：；6．
8．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分母不等于 0 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据分式有意义的条件可得，求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
，
解得，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．/
【分析】先将分子中的二次根式化简，再把分子拆分为两项分别与分母进行除法运算，最后计算结果．本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：
11．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12．
【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高．
【详解】解：设侧面展开图的半径为r，
，
解得，
设圆锥的高为h，
则，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作于，证明，得出，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
如图：作于，
，
∵，垂足为．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是，
故答案为：．
14．/度
【分析】先根据切线的性质以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，证明，则，根据外角性质得，再结合圆周角定理，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵连接，且延长交于一点，
∵经过、、三点的与相切于点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．
【分析】将绕原点顺时针旋转一定角度，得到，点在反比例函数的图像上，点落在反比例函数的图像上，过点作轴于D，过点作轴于E，设，则，，设，，则，，，，再证明，得，即，求出k值即可．
【详解】解：如图，将绕原点顺时针旋转一定角度，得到点在反比例函数的图像上，点落在反比例函数的图像上，过点作轴于D，过点作轴于E，
∵正
∴
设，
∵在轴上，点在轴正半轴上．
∴
∴
∴
设，，
∴，，，，
由旋转可得：，，，
即
∵
∴
∴，即
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定民性质，反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
16．
【分析】如图，在中，平分，则，在截取，连接，则，证明，得出，即可得，将取最大值转化为取最大值，根据题意得当与圆相切时，最大，此时，（根据“切割线定理”即可求解．）或如图，取圆心，连接并延长交于点，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，再根据，得出，即可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，在中，平分，
在截取，连接，则，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
当取最大值时，即取最大值，
∵，
∴点在以为弦的圆上运动，
当与圆相切时，最大，
此时，（根据“切割线定理”即可求解．）
或如图，取圆心，连接并延长交于点，连接，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出图象，得出当取最大值时，即取最大值，当与圆相切时，最大．
17．，最大整数解为
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后即可得出最大整数解．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为，
原不等式组的最大整数解为．
18．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．(1)
(2)①②③
(3)见解析
【分析】本题考查了复式条形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．
（1）根据题意，计算，即可求解；
（2）根据统计图数据，结合选项逐项分析判断，即可求解；
（3）本题答案不唯一，根据统计图数据分析年的全国铁路营业新增里程数和高铁营业新增里程数，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确；
②,
年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确；
③，
年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确；
故答案为：①②③；
（3）本题答案不唯一，以下解答供参考
结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2021年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2022年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2023年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2024年全国铁路营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势；
2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里.
结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2021年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2022年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2023年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2024年全国高铁营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里.
结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加.
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列举法求解概率，概率公式，正确列出所有情况是解题的关键．
（1）由概率公式直接求解；
（2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：所有可能的结果有：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白）、（红2，红3）、（红2，白）、（红3，白），共6种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有3种，所以．
21．地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，得
解得
答：地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦3
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据折叠可得，根据全等三角形的性质得出，，进而证明；
（2）由（1）得，，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而得出，即可证明，结合，及可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
23．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键；过点作，垂足为．过点作，垂足为．设，则．在和，中，利用锐角三角函数，求得出的长，然后计算出的长．
【详解】解：过点作，垂足为．过点作，垂足为．
设，则．
在中，，
．
．
在中，，
，
，即．
在中，，
．
答：河流的宽度的长为．
24．(1)80，144
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象找出图上点，由待定系数法求出解析式是解题关键．
（1）由图象可知，甲走完320km需要8h，可求出甲车的速度，即可求出a；
（2）求出乙车的速度，即可求出乙车不休息时走完全程的时间，即可解答；
（3）根据题意，列出不等式组，解出不等式组，即可解答．
【详解】（1）解：（km/h），
（km），
故答案为80，144．
（2）由（1）及图，可知（km/h），
∴（h）
答：乙车休息的时间是h．
（3）由题意，得
，
解得．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②．
【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）①连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，则，利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似
三角形的判定定理解答即可；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)、
(3)，且
【分析】（1）先计算，证明即可；
（2）由，令，再进一步求解即可；
（3）如图，当时，可得，，，即，，当时，如图，求解的对称轴为直线，顶点坐标为：，的对称轴为直线，顶点坐标为：，当两个顶点重合时，则，再结合图象解答即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象过定点，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
27．（1）（I）见解析；（II）见解析；（2）（I）B；（II）
【分析】（1）（I）利用两对角对应相等，可证明；
（II）由，推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，再证明，推出，得到点的运动路线是以为直径的弧；
（II）将转化为，得到当最大时，的值最大，据此求解即可.
【详解】（1）证明：（I）∵，，
∴；
（II）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，
∵，
∴，即，
连接，
又∵，
∴，
∴，
∴点的运动路线是以为直径的弧，
故选：B；
（II）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是定值，
∴当最大时，的值最大，
此时经过圆心，的长为和圆的半径长，连接，
作于点，
由（I）得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴的值最大为.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
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