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江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题
1．在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
4．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（）
A．全天加工的零件数，甲比乙多
B．全天的工作时间，甲比乙短
C．上午的工作效率，甲比乙高
D．全天的工作效率，甲比乙低
二、填空题
7．太阳中最丰富的元素是氢，氢原子的半径约为．将0.00000000005用科学记数法表示为 ．
8．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
9．计算的结果是 .
10．计算的结果是 ．
11．若关于的方程的两个根分别为1和，则 ， .
12．设甲组数据，，，，的方差为，乙组数据，，，，的方差为.若，则的值可以是 （写出一个满足条件的的值即可）
13．在直径为的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽，则油的最大深度为 ．
14．已知反比例函数和函数的图象交于，两点．若，则的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，若等边的顶点，的坐标分别为，，则点的坐标为 .
16．如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为 ．
三、解答题
17．解不等式组．
18．已知，求代数式的值．
19．某商场统计了两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
品牌 16 31 29 24 24 24 20
品牌 17 22 23 24 26 26 30
(1)填写下表：
平均数 中位数 众数 方差
品牌 24 24 ① ②
品牌 24 ③ 26 14
(2)由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由．
20．现有甲、乙、丙、丁四人随机分成A、B两组，每组两人，求下列事件的概率．
(1)甲在A组；
(2)甲、乙都在A组．
21．珠海某企业接到加工“无人船”某零件5000个的任务．在加工完500个后，改进了技术，每天加工的零件数量是原来的1.5倍，整个加工过程共用了35天完成．求技术改进后每天加工零件的数量．
22．如图，矩形的对角线与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交于点G，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
23．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
24．A、B两地相距，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离A地的距离分别为、，图中线段表示与x的函数关系．

(1)甲车的速度为___________；
(2)若两车同时到达目的地，在图中画出与x的函数图像，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；
(3)若甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，直接写出m的范围．
25．如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，线段交直径于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
26．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）．
(1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
(2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：．
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．
27．D，E分别是的边，上的两点，，为上一点，且．
(1)基本模型：如图①，若，求证：；
(2)模型推广：如图②，若，求证：；
(3)模型运用：如图③，中，，若，则______．
《江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D C B D D
1．B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义．
先求出选项中各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，再根据绝对值的几何意义进行判断即可．
【详解】解：∵
∴数1对应的点与原点距离最近，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了通敌画面乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为，
故选：C．
4．B
【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；
B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；
C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；
D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，不能有两个侧面在两三角形的同一侧．
5．D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，
又∵，
∴，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，即，该选项结论错误，不合题意；
、∵，
∴，
又∵，
∴，该选项结论正确，符合题意；
故选：．
6．D
【分析】本题考查了利用函数图象中横纵坐标表示的意义分析实际问题，解题关键是理解图象横纵坐标含义，通过连线确定工作效率，结合总量、时间关系判断选项。
根据工作效率工作总量工作时间，结合图象中横、纵坐标的含义，分别分析各选项即可．
【详解】解：如图：
A．甲全天加工零件数为纵坐标纵坐标；乙全天加工零件数为纵坐标纵坐标．从图中直观来看，，所以，，所以甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，故本选项说法错误，不符合题意；
B．甲全天工作时间为横坐标横坐标；乙全天工作时间为横坐标横坐标．从图中可知，，，所以所以，甲全天工作时间长大于乙全天工作时间，故本选项说法错误，不符合题意；
C．从图中可知，在相同时间D处时，纵坐标高于纵坐标，即乙上午工作效率比甲高，故本选项说法错误，不符合题意；
D．因为全天工作时间长大于乙全天工作时间，甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，所以全天的工作效率，甲比乙低，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，0.00000000005用科学记数法表示为
故答案为：
8．x-1
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：根据分式有意义的条件可知，
x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不等于0时，分式有意义．
9．
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案.
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据幂的乘方和积的乘方等知识点计算解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意已知两个根，利用根与系数的关系，进行分析求解．
【详解】解：∵的两个根分别为1和，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义；观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个的值计算出前一组数据的方差求解．
【详解】解：数据，，，，中，每2个数相差1，一组数据，，，，前4个数据也是相差1，
若或时，两组数据方差相等，
而，则或
∴（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是准确地将实际问题中的已知条件和所求的结论转化为数学图形，再由数学方法分析和解决问题．
过点O作于点C，交于点D，连接，由垂径定理即可求得的长，然后由勾股定理，求得的长，继而求得油的最大深度．
【详解】解：过点O作于点C，交于点D，连接，
由垂径定理得：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
答：油的最大深度是．
故答案为：200．
14．4
【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，两点间的距离公式．根据题意得到点和的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可．
【详解】解：联立与，
即，
解得，对应，
，，
两点间的距离为，
，
故答案为：4．
15．或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、中点坐标公式，等边三角形的性质（三边相等、三线合一 ）以及勾股定理．解题的关键在于利用等边三角形的性质确定点的可能位置，结合相关公式计算坐标，同时要注意根据图形的对称性全面考虑点的不同情况本题需要根据等边三角形的性质，结合平面直角坐标系中两点间距离公式来求解点的坐标．已知，，可先求出的长度，再根据等边三角形三边相等以及其对称性确定点的可能位置并计算坐标．
【详解】解：∵，，
∴
∵是等边三角形，
∴．
设点的坐标为．
情况一： 当点在第一象限时，过点作于点，
∵等边三角形三线合一，为中点．
∴的坐标为，即． ，
在中，根据勾股定理．
∴，，，
∴，，
∴点坐标为．
情况二： 当点在第三象限时，此时与关于原点对称（根据等边三角形的对称性 ），
∴点坐标为．
故答案为：或．
16．
【分析】如图所示，过点A作交于点F，设，则，勾股定理求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作交于点F
∵，，
设，则
∴
∴
解得
∴
∵将绕着点旋转得到
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∴，即
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
17．
【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，找到解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
原不等式组的解集为.
18．
【分析】本题考查了代数式求值，先求出，再计算即可.
【详解】解：
∴
19．(1)24，22，24
(2)建议商场采购B品牌洗衣机．理由见解析
【分析】本题考查了方差，求方差时一定要牢记方差的公式，难度不大．
（1）分别利用平均数的计算公式求得平均数，再利用方差公式求得方差即可；
（2）根据方差的大小确定哪种洗衣机的销售情况即可．
【详解】（1）解：由题意可得，品牌的销售中，24出现次数最多，共出现3次，故众数为24，
，
；
由题意可知，品牌B的销量的中位数为24，
故答案为：24，22，24
（2）由，可知A、B两种品牌平均销量相当，由，可知B品牌销量的离散程度较小，
由表格可知，B品牌一月到七月的销量呈上升趋势，
故建议商场采购B品牌洗衣机．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意可得所有等可能的结果，以及甲在A组的结果，再利用概率公式可得答案．
（2）由题意可得所有等可能的结果，以及甲、乙都在A组的结果，再利用概率公式可得答案；
【详解】（1）解：所有可能出现的结果如下：
A组 B组 结果
甲乙 丙丁 (甲乙，丙丁)
甲丙 乙丁 (甲丙，乙丁)
甲丁 乙丙 (甲丁，乙丙)
乙丙 甲丁 (乙丙，甲丁)
乙丁 甲丙 (乙丁，甲丙)
丙丁 甲乙 (丙丁，甲乙)
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
所有结果中，满足甲在A组的有3种，所以甲在A组的概率是．
（2）所有结果中，满足甲、乙都在A组的有1种，所以甲、乙都在A组的概率是．
21．技术改进后每天加工150个零件．
【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解题的关键，最后我们还必须要对方程的解进行检验．
设技术改进前每天加工x个零件，则改进后每天加工1.5x个，根据题意列出分式方程，从而得出方程的解并进行检验得出答案．
【详解】解：设技术改进前每天加工x个零件，则改进后每天加工个，
根据题意可得，
解得，
经检验是原方程的解，则改进后每天加工150．
答：技术改进后每天加工150个零件．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的性质、菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握相关图形的判定和性质是解决本题的关键．
根据四边形是矩形、，可得出，再推导出其它条件，即可证明，从而得证．
（2）易证是等边三角形，四边形是菱形，得到，，再根据解直角三角形，可求出，，继而求出的长．
【详解】（1）解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵E为的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）在矩形中，
，
∴．
又∵，四边形是平行四边形，
∴是等边三角形．四边形是菱形
∴，，，
在和中，
∵，
∴，．
∴．
∴．
23．(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．

24．(1)60
(2)图象见解析，甲车出发后与乙车相遇；
(3)
【分析】（1）根据路程除以时间即可得到甲车的速度；
（2）求出乙车比甲车晚出发，即可画出图象，再求出，，联立解析式解方程组即可得到答案；
（3）求得，，联立解方程组可得，根据甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，可列，即可解得答案．
【详解】（1）解：由图可得，甲车的速度为，
故答案为：60；
（2）解：∵乙车从B地以的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，
∴乙车行驶时间为，
∵，
∴乙车比甲车晚出发，
画出与x的函数图象如下：

图象即为与x的函数图象，
由题意得，
设的函数表达式为，将，代入，得
，
解得，
∴，
由，解得，
∴甲车出发后与乙车相遇，
答：甲车出发后与乙车相遇；
（3）解：根据题意得，，
由得：，
当时，，
∵甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，
∴，
解得，
∴m的范围是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合的应用．
25．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明，进而可得，即可求证；
（）连接，先证明，由，设，，则，得，进而可得，据此即可求解；
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数，余角性质，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
即的半径为．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键．
（1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明；
（3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题．
【详解】（1）解：，函数图象经过点和，
，
解得，
二次函数解析式为，
整理得，
函数图象的顶点坐标为：．
（2）证明：，
二次函数开口向下，
函数图象与x轴有两个交点，，且，
当时，函数值大于，
即，
；
（3）解：函数图象经过点，
①，
当时，；当时，，
函数图象在时取得最小值，即②，
，
在的左侧，
当时，，即③，
由①②③解得．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证出，证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）过点E作，作，证明，由相似三角形的性质得出，证出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）过点D作于点G，设，，求出，证明，得出，求出，证出，由比例线段求出，则可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：过点E作，作，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作于点G，
∵， ，
∴，
∵，
设，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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