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期末专项训练：平行四边形的判定与性质-2024-2025学年数学八年级下册人教版
1．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
2．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，且，，求的长．
3．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
4．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
(1)若的面积为4，则四边形的面积为 ．
(2)求证：四边形是平行四边形．
(3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
5．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形．
6．在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
7．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
8．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：．
9．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．

(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
10．已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明．
11．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，请直接写出四边形的周长．
12．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，请求出的周长．
13．在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，为的中点，求的度数．
14．如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
15．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点，若，，求的长．
16．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接．
(1)如图1，若，当M是中点时，求的度数；
(2)如图2，若．
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段之间的数量关系并证明．
《期末专项训练：平行四边形的判定与性质-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
1．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论．
【详解】证明：连接，与交于点O，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
，
即，
∴四边形是平行四边形．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明．
（2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，且，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：．
3．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
（2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是中点，
，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
4．(1)8
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质，中位线判定定理及性质定理等．
（1）由三角形面积公式即可得出，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案；
（2）延长交于点，证明，后得到为的中位线，继而得到本题答案；
（3）由平行四边形性质得，后得，再由全等三角形性质可得，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：过点作，
，
∵点D是边的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
（2）解：延长交于点，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：判断：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键．
（1）先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得，，
．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可知，再由可知，进而可证四边形是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质推出，，进而有．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
8．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由折叠知，
由折叠知，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
10．①或②，证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先添加：①，如图，连接，交于，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；添加：②；证明，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；添加：③，不能证明，从而不能证明四边形是平行四边形．
【详解】解：添加：①，理由如下：
如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：②；理由：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：③，
由②得，，
不能证明，
∴不能证明四边形是平行四边形．
11．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证；
（2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证；
（3）结合勾股定理求出、的长即可得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，，
∴，，
∴，又，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，
∴,，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
12．(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解；
（2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的周长为．
13．(1)见解析
(2)的度数为
【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键；
（1）首先推导出，进而利用证得，进而得证；
首先推导出，进而推导出，，由折
叠的性质得出，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵是沿折叠得到，
∴，
∴；
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识；
（1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证；
（2）先证明为等边三角形，可得，再利用平行四边形性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，．

∵点E，F分别为、的中点，
∴， ．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴与互相平分．
（2）解：在中，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
（1）证明，得，则，得，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
16．(1)
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；
②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题．
【详解】（1）如图1，
取的中点P，连接，
则，
∵M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的度数为；
（2）
①依题意补全图形如图2，
②，证明如下：
如图3，
如图 3，过点作于点，过作于点，
则，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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