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期末专项训练：一次函数与方程、不等式-2024-2025学年数学八年级下册人教版
1．如图，已知直线分别与，轴交于点，，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
2．已知一次函数，其中．
(1)若点在的图象上，求的值；
(2)当时，若函数有最大值，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围．
3．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E．
(1)直接写出A、C的坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)若与的面积相等，求点E的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)观察图象，不等式组的解集是_______．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围．
6．在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上．
(1)若，求的值．
(2)若，求的取值范围．
(3)设函数，若，当时，求的取值范围．
7．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点B，C，且与的图象交于点）．
(1)求m，b的值；
(2)若，则x的取值范围是 ．
(3)求四边形的面积．
8．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点．
(1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解；
(2)求的面积；
(3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值．
9．【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数，它的“友好函数”为；
【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
已知一次函数，请回答下列问题：
(1)该一次函数的“友好函数”为 ；
(2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值；
(3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
(4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围．
10．如图，直线：（）与x轴、y轴分别交于点A，B，直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，直线与直线交于点．
(1)求k，b的值；
(2)求四边形的面积；
(3)若当时，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，请直接写出m的取值范围____________．
11．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
(1)求一次函数表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集：___________．
12．在平面直角坐标系中，直线与直线交于，直线交轴于点，直线分别交轴、轴于点，．
(1)分别写出直线和的表达式为 ， ；（直接写答案）
(2)点到直线的距离为 ；（直接写答案）
(3)点为直线上一动点，若，求点的坐标；
(4)在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，求点的坐标．
13．如图，直线过点，
(1)求直线的解析式．
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
(3)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
14．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点．
(1)求直线与交点的坐标．
(2)请直接写出当时，的取值范围．
(3)求四边形的面积．
15．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
16．材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立．
材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立．
应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以．
解决问题：
(1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行．
(2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标．
《期末专项训练：一次函数与方程、不等式-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
1．(1)，
(2)
【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式．
（1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可；
（2）根据函数图象及交点坐标即可解答．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得：，
，
将点的坐标代入，得，
解得：；
（2）解：由图象可知，当时，，
不等式的解集为．
2．(1)
(2)一次函数解析式为或
(3)，或且，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）把代入中可求出的值；
（2）讨论：当时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；当时，利用一次函数的性质得到时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式；
（3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可．
【详解】（1）解：把代入得，
∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
3．(1)、
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键．
（1）根据，求解即可；
（2）用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵点E在线段上，
∴点E在第一象限，且，
∴
∴
把代入直线的解析式得：
∴
∴．
4．(1)，
(2)或；
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式；
（2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可；
（3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
，
，
即点坐标为，
∵一次函数经过、点，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：当，则，
∴，
设，且的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：由图象可得不等式组的解集为：．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
（1）先求出，再根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
的图象经过点和，
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
（1）代入点的坐标即可求得；
（2）把点代入直线，求出，根据的取值范围，求出的取值范围；
（3）证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断．
【详解】（1）解：把点代入直线，
可得，
解得：．
（2）解：把点代入直线，
可得，，即，
因为，所以，
所以．
（3）解：因为，
所以直线图象过点，
因为当时，，
所以点也在图象上，
所以与图象的交点是，
因为，随的增大而减小，，随的增大而增大，
所以当时，．
7．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求函数的解析式；利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键．
（1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可；
（2）利用图象法解不等式即可；
（3）连接，利用分割法求面积即可．
【详解】（1）解：由题意，得：点在的图象上，
∴，
∴；
∴，
∵，在直线上，
∴，
∴；
（2）由图象，得：当，直线在直线的上方，
∴时，；
故答案为：；
（3）∵，当时，，
∴，
，
∵，
当时，，
∴，
，
连接，
，
点D到x轴的距离为，到y轴的距离为，
∴四边形的面积．
8．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解；
（2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积；
（3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
，
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
方程组的解为；
（2）解：对于直线，
令，则，
解得：，
，
对于直线，
令，则，
解得：，
，
，
；
（3）解：由题意得：
直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，
，
，
即：，
解得：或．
【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
(4)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解；
（2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解；
（3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可；
（4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解．
【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）解：由题意，当时，
点在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，符合题意；
当时，
点在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，不符合题意；
综上，；
（3）解：当时，，随的增大而减小，
当时，有最大值为，当时，临近最小值为；
当时，，随的增大而增大，
当时，有最小值为，当时，有最大值为；
综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为；
（4）解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下：
直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点，
．
10．(1)，；
(2)四边形的面积；
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）先求得，，，根据四边形的面积，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，画出临界状态图像分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）直线：，直线：，
当时，或，
解得或，
当时，，
∴，，，
∴四边形的面积；
（3）解：∵两个一次函数的解析式分别为，，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方，则画出图像为：
由图像得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图像在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
故答案为：．
11．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：过点，
，
∴，
，
一次函数过点，，
，
解得，
一次函数表达式．
（2）解：把代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数与轴的交点为，
，
，
又，
．
（3）解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
12．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或；
(4)．
【分析】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）把，点代入得，解方程组得到直线：；把代入解方程得到直线的表达式为；
（2）过C作于H，求得，，求得，推出是等腰直角三角形，据此求解即可；
（3）根据，得到点P在过原点且平行于的直线上，解方程组得到点P的坐标为；②把直线，向上平移1个单位长度得，解方程组得到；
（4）如图，连接交于一点Q，则点Q到四个顶点的距离之和最小，联立，解方程组，于是得到结论．
【详解】（1）解：把，点代入得，
，
解得，
∴直线：；
把代入得，
∴，
∴直线的表达式为；
故答案为：，；
（2）解：过C作于H，
在中，令，则，令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴点C到直线的距离为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴①点P在过原点且平行于的直线上，
∴直线的解析式为，
解得，
∴；
②把直线，向上平移1个单位长度得，
解得，
∴，
综上所述，若，点P的坐标为或；
（4）解：如图，连接交于一点Q，
则点Q到四个顶点的距离之和最小，
∵，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴直线的解析式为，
解得，
∴．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小：
利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C左边的部分的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
14．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标等知识点，
（1）先求出直线的解析式，与构成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据点的坐标和函数的图象即可得解；
（3）求出点、的坐标，再求出和的面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵直线：过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式是，
解方程组，
得：，
∴点的坐标是；
（2）由图象可知：当时，的图象在的图象的上方，
∴不等式的解集；
（3）对于直线，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，点到轴的距离为，
∴，
∴四边形的面积为．
15．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，正确根据待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（3）得出点、的坐标，进而根据四边形的面积解答即可．
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点．
∴，
解得；
∴，
把点，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，解得，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形的面积．
16．(1)（答案不唯一）
(2)线段的长度最小时，点的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置．
（1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论；
（2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标．
【详解】（1）解：∵两直线平行，
，
∴该直线可以为
故答案为： （答案不唯一）；
（2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示．
∵直线与直线垂直，
∴设直线的解析式为，
∵点)在直线上，
，解得：，
∴直线的解析式为
联立两直线解析式成方程组，得：，
解得；
∴当线段的长度最小时，点的坐标为．
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