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四川省内江市2025年中考数学试题
本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至4页，满分100分；B卷5至6页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回．
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（ ）
A. B. C. D.
2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/
销售量/双
这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ）
A. 安 B. 全 C. 校 D. 园
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
9. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
10. 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
12. 对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 分解因式：=____．
14. 在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是______．
15. 如图，是弦．半径于点D，且．则的长是______．
16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
18. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19. 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
24
14
10
根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______度．
（2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？
（3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
20. 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22. 已知实数a，b满足，则______．
23. 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______．
24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______．
25. 如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
27. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
（3）连接，若，求的值．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
内江市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷
数学
本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至4页，满分100分；B卷5至6页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项．
2．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回．
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】D
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
【13题答案】
【答案】．
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】2
【16题答案】
【答案】5
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
【17题答案】
【答案】（1）7；（2）3
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）11
【19题答案】
【答案】（1）12，60
（2）600 （3）
【20题答案】
【答案】
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）
（3）
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
【22题答案】
【答案】
【23题答案】
【答案】
【24题答案】
【答案】##
【25题答案】
【答案】
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
【26题答案】
【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）至少需要购进B款纪念品200个
（3），W的最大值为4500
【27题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【28题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或或或

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