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第1讲 平面向量
考点一 平面向量基本概念的辨析
【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数
C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【例1-2】（24-25 甘肃甘南·期中）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足， 则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，则
D．空间中，，则
【变式】
1．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C．单位向量都是共线向量
D．零向量的长度为0，没有方向
2．（24-25湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若则
3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若为非零向量，则与同向
B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
C．若，则
D．已知，为实数，若，则与共线
考点二 平面向量的坐标运算
【例2-1】（2025·新疆）（多选）已知向量，，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则，的夹角为60°
C．若，则 D．若，共线，则
【例2-2】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【变式】
1．（2025·重庆）（多选）已知，，，则（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，
2（24-25高一下·安徽·阶段练习）（多选）若向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与平行
C．在上的投影向量为 D．
3．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）（多选）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
考点三 平面向量的基本定理
【例3-1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在矩形中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东汕头·期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）

A． B． C． D．0
考点四 共线定理
【例4-1】（2025四川资阳·期中）已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【例4-2】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【例4-4】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A． B． C． D．－1
【变式】
1．（24-25 福建宁德·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
6．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ．
考点五 数量积
【例5-1】（2024·浙江）（多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量为
【变式】
1．（2025江西南昌·阶段练习）（多选）若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在方向上的投影数量为1
2．（2025·甘肃白银）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（ ）
A． B．向量与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
考点六 取值范围
【例6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（多选）如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【例6-2】（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
【变式】
1.（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．0
3.（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（ ）
A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
4．（2025·浙江台州）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的最大值为30
C．的最小值为 D．的最小值为
考点七 平面向量的应用
【例7-1】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）（多选）设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的垂心
C．若，则的形状为等腰直角三角形
D．若，则和的面积之比为
【变式】
1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若O为的外心，， 则
B．若O为的垂心，，则
C．若，则与的面积之比为
D．若，的面积为8，则的面积为14
3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点是的外心
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为
单选题
1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知四边形满足条件，且，其形状是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知单位向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
4（24-25高一下·河南南阳·期中）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知向量，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
6．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）如图，正方形中，M是的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．1
7．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ）
A． B． C． D．
8（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
多选题
9．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为
10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，则（ ）
A．的充要条件是 B．的充要条件是
C．的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量夹角为锐角 B．若，则
C．若，则与的夹角是 D．若，则
填空题
12．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为 .
13．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为 .
14．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是 ．
解答题
15．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，分别是边的中点，，，．
(1)用表示；
(2)求证：三点共线．
16（2026湖南）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
17（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
(1)设，求实数的值；
(2)设是上一点，且，求的值．
18．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点．
(1)用和表示；
(2)设，实数，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
(1)当时，求的值；
(2)当时，与交于点，求的值；
(3)求的最小值.第1讲 平面向量
考点一 平面向量基本概念的辨析
【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数
C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【解析】向量既有大小又有方向，A不正确．
零向量的模是0， B不正确．
因为单位向量的方向不确定， C不正确．
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D
【例1-2】（24-25 甘肃甘南·期中）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足， 则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，则
D．空间中，，则
【答案】BC
【解析】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同；
对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同；
对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性；
对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误；
故选：BC.
【变式】
1．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C．单位向量都是共线向量
D．零向量的长度为0，没有方向
【答案】B
【解析】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，A错；
对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B正确；
对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错；
对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D错，
故选：B．
2．（24-25湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若则
【答案】BCD
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确.
故选：BCD.
3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若为非零向量，则与同向
B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
C．若，则
D．已知，为实数，若，则与共线
【答案】BCD
【解析】是与同方向的单位向量，故A正确；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误；
若，则不一定共线，故C错误；
当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线，故D错误.
故选：BCD.
考点二 平面向量的坐标运算
【例2-1】（2025·新疆）（多选）已知向量，，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则，的夹角为60°
C．若，则 D．若，共线，则
【答案】AC
【解析】A选项，当时，，，，故A正确；
B选项，当时，，则，故B错误；
C选项，因为，所以，解得，故C正确；
D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误.
故选：AC.
【例2-2】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】AB
【解析】A.∵，，∴，
∵，，∴，故，选项A正确.
B.∵，，∴，
∵，∴，解得，故，选项B正确.
C.由题意得，，，
∴在方向上的投影向量为，选项C错误.
D.由题意得，，，
∵向量与向量的夹角为锐角，
∴，解得，
当向量与向量共线时，由得，
此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意，
∴的取值范围是，选项D错误.
故选：AB.
【变式】
1．（2025·重庆）（多选）已知，，，则（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，
【答案】ABD
【解析】已知，，，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，，若，则，，所以不一定成立，故C错误；
对于D，，由，则，所以，，，故D正确.
故选：ABD.
2（24-25高一下·安徽·阶段练习）（多选）若向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与平行
C．在上的投影向量为 D．
【答案】ACD
【解析】A选项：，则，，则，所以，故A正确；
B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误；
C选项：，又，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
D选项：，又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
3．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）（多选）已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【解析】A，若，则，得，故A正确；
B，若，则，得，故B正确；
C，，则，
则当时，取最小值，故C错误；
D，若向量与向量的夹角为钝角，则且向量与向量不共线，
结合A项可得，且，故的取值范围为，故D错误.
故选：AB
考点三 平面向量的基本定理
【例3-1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，在中，在上且，所以.
则
.
又因为，所以.
故选：B
【例3-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，
则，
所以，
则，
解得，
故选：D.
【变式】
1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在矩形中，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在矩形中，为的中点，
故选：C．
2．（24-25高一下·广东汕头·期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，
则,
则，故A错误；
由，所以，
则
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）

A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】如图所示，

延长交于，由已知为的重心，则点为的中点，
可得，且，又由，
可得是的三等分点，则，
因为，所以，，所以．
故选：D.
考点四 共线定理
【例4-1】（2025四川资阳·期中）已知，，，则（ ）三点共线
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【解析】对于A，因为，
所以，所以A、B、D三点共线，故A正确；
对于B，因为，，
所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误；
对于C，因为，，
所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误；
对于D，因为，，
所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误.
故选：A.
【例4-2】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，共线，所以设，
又，是两个不共线的向量，所以，解得.
故选：B
【例4-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】对于①中，由和，可得，
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设，可得，解得
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
【例4-4】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A． B． C． D．－1
【答案】C
【解析】因为三点共线，且，所以，
又因为三点共线，且，所以，
可得，解得，所以.
故选：C
【变式】
1．（24-25 福建宁德·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，因为A，C，D三点共线，所以，即，解得．
故选：B.
2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，，
则，
又，，三点共线，
则与共线，，
即，解得，
故选：D.
3．（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】因为，为不共线向量，且，为共线向量，
所以，而，，
则，
故，解得，故D正确.
故选：D.
4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意；
对于B，因为，所以，
所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意；
对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即，
所以，无解，
所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意；
对于D，因为，所以，
所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意.
故选：C.
5．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
【答案】
【解析】在中，，即，
又，即，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得.
故答案为：
6．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ．
【答案】3
【解析】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点，
则.
又注意到三点共线，
则，
又，则，
则，由平面向量基本定理，
可得.
故答案为：
考点五 数量积
【例5-1】（2024·浙江）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量为
【答案】AB
【解析】，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
【变式】
1．（2025江西南昌·阶段练习）（多选）若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在方向上的投影数量为1
【答案】AC
【解析】由得：，即，所以；故A正确；
由得：，即，所以；故C正确；
设向量，的夹角为，则，所以，故B错误；
在方向上的投影数量为，故D错误；
故选：AC.
2．（2025·甘肃白银）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
又，，，，，
在向量上的投影向量为．故选：D.
3.（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（ ）
A． B．向量与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】对于A： ，则，故A正确；
对于C：，故C错误；
对于B：，则向量与的夹角为，故B错误；
对于D：在上的投影向量为，故D正确；
故选：AD
4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
考点六 取值范围
【例6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（多选）如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】在矩形中，以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，

则，设，由，得，
由，得，，
对于AB，，，A正确，B错误；
对于CD，，C错误，D正确.
故选：AD
【例6-2】（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为 D．取得最小值时，
【答案】ABD
【解析】由条件可得，，
则在方向上的投影向量的模为，故A正确；
因，
则在方向上的投影向量的模为，故B正确；
由，其为开口朝上的一元二次函数，
故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误；
由C选项可知，取得最小值时，
则，则，故D正确.
故选：ABD
【变式】
1.（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)，
所以，所以，
因为向量，为单位向量，且，
所以，
所以，所以的最小值为.
故选：A
2（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有
，，，设，则
，
当，时，上式最小值为.
故选：A.
3.．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（ ）
A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由，
若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示，
由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0，
所以，A对；
当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对；
如图，若轴，由，
显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而，
所以的取值范围是，C错；
如图，若是中点，则，则，
显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则，
所以，D对.
故选：ABD
4．（2025·浙江台州）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的最大值为30
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由向量模长的三角不等式，
当且仅当同向时，取得最大值9；
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
故的取值范围是[0，9]，故选项A正确.
对于选项B，
，
当同向时，，
的最大值为，B选项正确.
对于选项C，D， ，
设，则上式为①，
当与反向时，
，
所以代入①式得，
所以当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.
故选：ABC
考点七 平面向量的应用
【例7-1】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）（多选）设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的垂心
C．若，则的形状为等腰直角三角形
D．若，则和的面积之比为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又，，即，
所以点为的重心，故A正确；
对于B，由，可得，即，
同理，可得，，即点为的3条高的交点，所以点为的垂心，故B正确；
对于C，由，则，
，即，化简得，
即，所以为直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以与边上的高之比为，
所以与的面积之比为，故D正确.
故选：ABD.
【变式】
1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B
2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若O为的外心，， 则
B．若O为的垂心，，则
C．若，则与的面积之比为
D．若，的面积为8，则的面积为14
【答案】BD
【解析】对于A，由，，则，
，故A错误；
对于B，由，又，
所以，故B正确；
对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误；
对于D，由，则,
即，由奔驰定理可得，
又，则，故D正确.故选：BD.
3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点是的外心
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A，由，得点是的外心，A正确；
对于B，由正弦定理得，则，
于是，为边的中点，因此点在边的中线所在直线上，
动点的轨迹一定通过的重心，B正确；
对于C，由，得，则，
而点在内，则，即，因此平分角，
同理分别平分，从而点是的内心，C错误；
对于D，设中点为，由，得点的轨迹是以为直径的圆，
而G为AC的中点，则该圆的圆心为，半径为，又，于是点在圆上，
因此
，
当且仅当三点共线时取等号，因此的最大值为，D错误.
故选：AB
单选题
1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知四边形满足条件，且，其形状是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【解析】由，可知且，则四边形为平行四边形，
又由，可知四边形为矩形，故选:B.
2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由得，由三点共线，得，
又不共线，则，所以.
故选：A.
3．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知单位向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】由有，所以，
所以，所以，
故选：D.
4（24-25高一下·河南南阳·期中）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由向量在向量上的投影向量为，得，则，
由，
则，所以．
故选：A.
5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知向量，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
【答案】C
【解析】对于A，因为向量，所以，即，故A正确；
对于B，等价于，即，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，与共线的单位向量为，故C错误；
对于D，，
当，即时，取得最大值时，此时，故D正确．
故选：C
6．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）如图，正方形中，M是的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，

则，则.
故，，，
故由得，
解得，故，
故选：D.
7．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为、、三点共线，点是中点，所以,
又因为是上靠近点三等分点，所以,
且因为，则,
即,消可解得.
故选：.
8（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列命题：
①若都是非零向量，则；
②的充要条件是且；
③为实数，若，则与共线；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，向量的数量积不满足结合律，故①错；
对于②，且或，
所以，且是的必要不充分条件，故②错；
对于③，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线，故③错误；
对于④，若是不共线的四点，
当时，则且，
此时，四边形为平行四边形；
当四边形为平行四边形时，
由相等向量的定义可知，
所以，若是不共线的四点，
则是四边形为平行四边形的充要条件，故④对．
故选：A.
多选题
9．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确；
对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误.
故选：ABD
10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，则（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充要条件是
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于选项A，因为，，由，得到，解得，
又时，，则，所以的充要条件是，故选项A正确，
对于选项B，由，得到，解得，
又时，，所以，则的充要条件是，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以选项C错误，
对于选项D，因为，又，若与的夹角为锐角，
则，且与不共线，由选项B知时，，所以选项D错误，
故选：AB.
11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量夹角为锐角 B．若，则
C．若，则与的夹角是 D．若，则
【答案】BCD
【解析】向量是非零向量，
对于A，因为，即，
所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误；
对于B，因为，所以与方向相同，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，故B正确；
对于C，设，，由向量线性运算知：
，，如下图所示：

因为，
所以与均为等边三角形，，
又四边形为菱形，所以，
即与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，设，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
填空题
12．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为 .
【答案】
【解析】由题设，
，不共线，，
，，三点共线，与共线，存在实数，使，
，，解得.故答案为：
13．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为 .
【答案】
【解析】设， ，
故
，
又，
故,
由于三点共线，故，则，
又，故，
所以，
故答案为：
14．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】因为在上不存在（不包含端点），
不妨设，其中， ，
所以．
又因为，
则，，其中，均为正数，且有，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立．
故的最小值是2．
故答案为：2
解答题
15．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，分别是边的中点，，，．
(1)用表示；
(2)求证：三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形，
则，，
；
（2）由（1）知，，
，
，
所以，
所以共线，
又因为有公共点，
所以三点共线.
16（2026湖南）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)k不存在
(3)
【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°，
可得
因为，故；
又，所以可得；
（2）因为，且，
所以
化简得，显然不成立，
故k不存在；
（3）因为，故，
所以，
.
所以的值为.
17（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
(1)设，求实数的值；
(2)设是上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，，因为，
故，整理得，
又，即，则①，
设，，又是的中点，
所以②，
联立①②，据平面向量其本定理得，解得，，
所以实数的值为.
（2）因为，
又，则，得到，
由（1）知，又，
则.
18．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点．
(1)用和表示；
(2)设，实数，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因，所以，又因为的中点，所以，
所以．
（2）因，所以，
又因，所以，
又因三点共线，所以，即．
（3）设，由（1）（2）可知，
即．
因，
，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，所以，
所以化简得，
令，因，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
因此，
又因为，所以，
所以．
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
(1)当时，求的值；
(2)当时，与交于点，求的值；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由已知当时，，
所以，，
所以，
因为，所以，
.
（2）当时，，即为的中点，
因为三点共线，
设，则
，
因为三点共线，
设，则，
又不共线，
根据平面向量基本定理得解得
所以，又，则
所以.
（3）因为，，
所以
，
由（1），又，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.

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