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第2讲 正余弦定理
考点一 边角互换
【例1】（1）（2025·江西）记的内角的对边分别为，已知，则=
（2）（2025·江西）在中，已知角的对边分别是，且，则=
（3）（2025·贵州）已知的内角的对边分别为，且，则=
（4）（2025·福建）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则=
（5）（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且，则B= 。
（6）（2025·云南）的内角的对边分别为，且，则=
【变式】
1.（24-25广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为，则B= 。
2.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.则=
（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且，则=
4.（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且，=
5.（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，，则A=
6.（2024广东揭阳）在中，角的对边分别为a，b，c，且．
则B=
7.（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
则B=
8.（2025·四川）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,=
考点二 三角形形状的判断
【例2-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（ ）.
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【例2-2】（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式】
1．（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（ ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（24-25 上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形
5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．
考点三 三角形的周长与面积
【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 .
【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知．
(1)求角B的大小：
(2)若的面积为，求的周长．
【变式】
1．（2025·江西）已知的内角的对边分别为．已知．
(1)求角：
(2)若，求的面积．
2．（24-25甘肃临夏·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．
(1)求角A；
(2)若的面积为，，求的周长.
3．（24-25高一下·河南·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求的面积．
考点四 三角形个数的判断
【例4-1】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）．
A．，，，无解 B．，，，有一解
C．，，，有两解 D．，，，有两解
2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025河南洛阳·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
考点五 正余弦定理在几何中的应用
【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，，
(1)求；
(2)求BC的长．
【变式】
1．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
2．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
3．（2025·广东湛江·阶段练习）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
考点六 三角形中的中线、角平分和高
【例6-1】（2025北京）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
【例6-2】（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，.
(1)求B；
(2)若，点D是AC的中点，且，求的面积.
【变式】
1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知.
(1)求；
(2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长.
2．（24-25 湖南·期中）在中，分别为角的对边，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，，的面积为，求的周长.
3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
考点七 三角形的最值（取值范围）
【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，.
(1)若，的面积为，求；
(2)若，
①求的值：
②求面积的最大值；
③求周长的取值范围.
【例7-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【例7-3】．（2025河南）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
(1)求证：；
(2)若，求周长的取值范围．
【变式】
1．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c．
(1)求角A：
(2)若 求周长的取值范围．
2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围.
3．（24-25 广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围.
4．（2025·河北沧州 ）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
单选题
1．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·湖南·期中）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（ ）
A．8 B． C． D．4
5．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定
7．（24-25福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2025·辽宁）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（ ）
A．是钝角三角形 B．
C． D．
10．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．的面积为
C．的周长为 D．外接圆半径为
11．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一解 B．若，则无解
C．若，则有一解 D．若，则有两解
12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值
填空题
13．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ．
14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是
15.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 .
16．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解答题
17．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
18．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

(1)求的值；
(2)若为边上一点，且，求的长．
19．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知
(1)求角的大小；
(2)若，试判断的形状并给出证明.
20（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
21．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周长.
22．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为．
(1)求；
(2)若，，是的平分线，且交于点，求．
23．（2025·湖南）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
24．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
25．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若的平分线交于点D，求．
26．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围.
27．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．
(1)求的大小；
(2)设的中点为，且，求的取值范围．
28．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且.
(1)求；
(2)求三角形周长的取值范围；
(3)求三角形面积的最大值.
29．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．第2讲 正余弦定理
考点一 边角互换
【例1】（1）（2025·江西）记的内角的对边分别为，已知，则=
（2）（2025·江西）在中，已知角的对边分别是，且，则=
（3）（2025·贵州）已知的内角的对边分别为，且，则=
（4）（2025·福建）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则=
（5）（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且，则B= 。
（6）（2025·云南）的内角的对边分别为，且，则=
【答案】(1)（2）（3）(4)（5）（6）
【解析】（1）由及余弦定理，得
又
（2）由题设及余弦定理知，整理得，
所以，，则；
（3）因为，所以，
即，得到，
又，则，所以，解得.
（4）在中，由及正弦定理得，
即，即，
而，即，则，又，所以.
（5）解：，，
则，即，
，则，，即有，
可得，，则，，解得.
（6）因为，可得，所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，所以，
因为，所以，可得，所以.
【变式】
1.（24-25广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为，则B= 。
【答案】
【解析】由正弦定理得，
因为，所以，
因为，，所以，，又，解得；
2.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.则=
【答案】
【解析】因为，由正弦定理，得.
因为在中，，所以.所以.因为，所以.
（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且，则=
【答案】
【解析】由b及正弦定理得所以
因为化简得
因为，所以，所以所以.
4.（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且，=
【答案】
【解析】由题，
因为，所以．
5.（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，，则A=
【答案】
【解析】由题意，，即，
化简得，
即，故或，
又，解得或（舍去），故．
6.（2024广东揭阳）在中，角的对边分别为a，b，c，且．
则B=
【答案】
【解析】因为，即，
即，即，
因为，所以，且，所以等式可化为，即，即，因为，所以；
7.（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
则B=
【答案
【解析】因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以，所以，
因为，所以，所以.
8.（2025·四川）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,=
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，应用正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，所以.
考点二 三角形形状的判断
【例2-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（ ）.
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得
又因为，所以，
即，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故选：B.
【例2-2】（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形.
故选：A
【变式】
1．（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为，
所以由余弦定理，整理化简得.
所以即，或即，
所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形.
故选：D
2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由，可得，，
所以，
，故，
因为，所以，，
即是直角三角形.
故选：B.
3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（ ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由.
所以，又，所以.
由，
所以,
又为三角形内角，所以，故，即.
综上可知：为等边三角形.
故选：C
4．（24-25 上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由可得，
又，所以，
由和正弦定理可得，即，
所以，所以，所以的形状为等边三角形，
故选：D.
5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．
【答案】B
【解析】对于A，在中，由，得，
整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确；
对于B：由及正弦定理得，
即，则或，即或，
因此是等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于C，由及正弦定理，得，
即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确；
对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确.
故选：B
考点三 三角形的周长与面积
【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 .
【答案】
【解析】由及正弦定理得，
因为，所以，所以，故，
又因为，所以，
由，得，
由余弦定理得，
所以的面积.
故答案为：
【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知．
(1)求角B的大小：
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，
所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
【变式】
1．（2025·江西）已知的内角的对边分别为．已知．
(1)求角：
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】1）因为，由正弦定理得
在中，，则，即，
故．
（2）由余弦定值知：，
即，则，
所以．
2．（24-25甘肃临夏·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．
(1)求角A；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，，
由正弦定理，有，
也即，即，
，因此有，
从而，解得．
（2）由余弦定理，得，
又，所以，
所以，
所以的周长为．
3．（24-25高一下·河南·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）由，及正弦定理得，
因为为三角形内角，故，故得，
又为三角形内角，所以或.
（2）由，
得，
又，所以，所以.
由（1）得，故，所以，
而为三角形内角，所以，，
结合，可得.
由正弦定理，得，
故的面积.
考点四 三角形个数的判断
【例4-1】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，由，，可得，所以三角形只有一解；
对于B，由，可得，所以，此时三角形有唯一的解；
对于C，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解；
对于D，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故选：C．
【例4-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，则，
因为，且满足条件的有两个，
所以，且（当时，三角形只有一解），
此时，则.故选：B
【变式】
1．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（ ）．
A．，，，无解 B．，，，有一解
C．，，，有两解 D．，，，有两解
【答案】A
【解析】对于A，由正弦定理，可得，
三角形无解，故A正确；
对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在，
故三角形无解，故B错误；
对于C，由正弦定理可得，此时，
三角形有一解，故C错误；
对于D，由正弦定理可得，三角形无解，
故D错误；
故选：A
2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为且，有两解，
所以，得．
故选：C
3．（2025河南洛阳·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，
∴，∴，故三角形有唯一解．
若B成立，，，，有，∴，又，
故，故三角形无解．
若C成立，，，，有 ，∴，又，
故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．
若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．
故选：C．
考点五 正余弦定理在几何中的应用
【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，，
(1)求；
(2)求BC的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，，，则、均为锐角，
则，，
.
（2）在中，由正弦定理得，，
由，得，在中，由余弦定理得：，
所以.
【变式】
1．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
2．（24-25江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
3．（2025广东湛江·阶段练习）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．

考点六 三角形中的中线、角平分和高
【例6-1】（2025北京）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【解析】
因为的面积为，，，
所以，得．
由余弦定理，得．
因为平分，所以．
又因为的面积为，所以的面积为．
所以，得．
故选：A．
【例6-2】（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，.
(1)求B；
(2)若，点D是AC的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得，
因为，所以，所以，所以，
所以.因为，所以.
所以，即；
（2）因为点D是AC的中点，所以，即，
故．
又，，所以.
因为，所以，即，
则，.
所以的面积为:.
【变式】
1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知.
(1)求；
(2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理可知，
所以，即，则，
因为，所以，则，
所以；
（2）因为，所以，
则，解得.
2．（24-25 湖南·期中）在中，分别为角的对边，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，即；
（2）因为的面积为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，
由余弦定理可得，解得，
所以，所以的周长为.
3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
在中，：
结合正弦定理可得：
由得，
，
，
，又，所以．
（2）若选①：由平分得：，
，即．
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，解得，
；
若选②：由题设，则，
所以，
在中，由余弦定理得，则，
联立，得，
．
（3）由正弦定理得，
故
,
由于为锐角三角形，故,故，因此，
故当，即时，此时取到最大值，
当或，即或时，此时，
因此 ，
故三角形的面积为，
故边上的高为，
考点七 三角形的最值（取值范围）
【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，.
(1)若，的面积为，求；
(2)若，
①求的值：
②求面积的最大值；
③求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①；②；③.
【解析】（1）由题设及余弦边角关系有，
所以，则，且，
在三角形中有，又，可得，
结合，则；
（2）①由（1）有，则，所以；
②由，当且仅当时取等号，
所以，即面积最大值为；
③由，则，
当且仅当时取等号，所以周长.
【例7-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以．
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，
故周长范围为．
【例7-3】．（2025河南）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
(1)求证：；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由，得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，所以．
所以，即．
所以或，
即或．
因为，，所以．
（2）因为为锐角三角形，所以即解得．
因为，由正弦定理得，所以，
由正弦定理得
，
故的周长．
令，由（1）知，所以．
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为．
【变式】
1．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c．
(1)求角A：
(2)若 求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理有，即，
所以，
因为，所以．
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以的周长
，
因为，所以，
所以周长的取值范围是．
2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【解析】（1）由，
可得，
又为锐角三角形，则，
所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理知，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，
故的面积，
所以面积的最大值为.
（3）由正弦定理知，
所以，，则的周长为.
因为，
所以.
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
故周长的取值范围为.
3．（24-25 广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得
因为，则，所以，
又因为，
所以，则，
因为，则，即，所以.
（2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得，
由正弦定理，得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
即，
所以面积的取值范围是.
4．（2025·河北沧州 ）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在锐角三角形中，因为，
所以由正弦定理得，
故，即，即，即，
所以，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）因为，由正弦定理，
所以，，
设的周长为，
则
，
因为在锐角三角形中，所以，，
所以，解得，
所以，所以，
故，则，即，
故周长的取值范围为．
单选题
1．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由，又，
所以或，为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知及余弦定理得，
解得（负值舍去），
所以的面积为.
故选：A.
3．（24-25高二下·湖南·期中）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
由余弦定理得，所以，
所以的面积为，
故选：C.
4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】D
【解析】因为，，
所以，得，
因为，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，所以，
因为，所以.
故选：D
5．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，，即，解得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得：
，
故选：C.
6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定
【答案】C
【解析】中，则，而，，
所以，显然满足的三角形恰有两个.
故选：C
7．（24-25福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为向量，共线，
则，由正弦定理可得：，
则，
因为，则，可知，，，均不为，
可得，则，即；
同理由向量，共线可得：；
综上所述：.
所以的形状为等边三角形.
故选：A
8．（2025·辽宁）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，则，
设，则，，
在中，，，故，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，故.
故选：C.
多选题
9．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（ ）
A．是钝角三角形 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意可知边长最大，即B是最大角，
由余弦定理知，
则，是锐角三角形，故A错误；
由余弦定理知，则，故B正确；
由上可知，作出三角形图形如上，
由平分，可知，即，故C正确；
作，易得均为等腰直角三角形，
且，所以，故D正确.
故选：BCD
10．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．的面积为
C．的周长为
D．外接圆半径为
【答案】BC
【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误；
因为，
所以，
所以，
所以，
当时，即，所以，，可得；
当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立；
当时，此时，，，所以，，
所以的周长为：，的面积为：；
当时，，，，解得，，
所以的周长为：，的面积为：；
故BC一定成立.
故选：BC.
11．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一解
B．若，则无解
C．若，则有一解
D．若，则有两解
【答案】ABD
【解析】A选项，因为，所以，故，
则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；
B选项，若，由正弦定理得，即，
解得，无解，故B正确；
C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角，
不可能，则无解，故C错误；
D选项，若，由正弦定理得，
即，解得，因为，所以或，
所以有两解，D正确.
故选：ABD.
12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值
【答案】ACD
【解析】对A：由正弦定理，所以，
解得，故A正确；
对B：由余弦定理，所以，解得或，
又，所以，故B错误；
对C：由余弦定理，所以，
所以，
又，所以，所以.
所以，则（当且仅当时取“”）.
此时周长的最大值为，故C正确；
对D：由余弦定理，所以，
所以，则（当且仅当时取“”），
此时，故D正确.
故选：ACD
填空题
13．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因，则，
若为钝角三角形，则，得，
又，则，得，故.
故答案为：
14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是
【答案】
【解析】在中，，由正弦定理可得，
设，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，则，
所以，
15.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 .
【答案】
【解析】由，可得，
由正弦定理可得，，而，
整理得，
即，，
，所以上式变为，
又，，
因为，所以，解得，
又由余弦定理可得，，解得，
，.
故答案为：.
16．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
则有，
即，
所以，因为，所以，
整理可得，，即，因为，
所以或，则或（舍去）.
又因为，由正弦定理可得，
因为，所以，
则，化简整理可得，，
所以，又因为，所以为等边三角形，故选：C.
解答题
17．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得．
因为，所以，
因为中，，所以．
（2）由，及余弦定理．
得，解得或（舍），
所以
18．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

(1)求的值；
(2)若为边上一点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理得：
∴ ,
由正弦定理：得.
（2）如图所示：

过作于，在中， ，，
∴，，在中，.
∴
∴
∴
19．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知
(1)求角的大小；
(2)若，试判断的形状并给出证明.
【答案】(1)
(2)为等边三角形，证明见解析
【解析】（1）由，可得，
因为，所以.
（2）解法一：为等边三角形，证明如下：
由三角形内角和定理得，，
故，由已知条件，可得，
整理得，所以，
因为、，则，所以，
又由（1）知，所以为等边三角形；
解法二：为等边三角形，证明如下：
因为，由正弦定理和余弦定理，得，
整理得，即.
又由（1）知，所以为等边三角形.
20（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
【答案】(1)；
(2)周长、外接圆面积分别为、.
【解析】（1）由，由正弦定理得，
从而有，，则，
由；
（2）因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以周长为，
设外接圆半径为R，由，得，
所以外接圆面积.
21．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2），由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
22．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为．
(1)求；
(2)若，，是的平分线，且交于点，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为的周长为，可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得．
因为，所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，可得，，
所以，解得．
23．（2025·湖南）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
24．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，则，
则，又，所以．
（2）由（1）知，又因为，
由余弦定理，得①，
由题意知，即②，
联立①②得，所以，故，
则的周长为.
25．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若的平分线交于点D，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理可得，
即，
，
即，且，
则，，则.
（2）由可得，
由正弦定理可得，
即，解得，则，
且为角的角平分线，
，即，
化简可得，解得.
26．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，
可得，，即，
由余弦定理得：，
因为，所以.
（2）由，则，，，
所以均为锐角，
在锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
27．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．
(1)求的大小；
(2)设的中点为，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据题意可得，
即，
则．
因为，所以，
即，
故，又，解得；
（2）
设，则，，
根据正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
故的取值范围为．
28．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且.
(1)求；
(2)求三角形周长的取值范围；
(3)求三角形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【解析】（1）由正弦定理：，
则，
所以，根据得：.
（2）由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
（3）余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.
29．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由正弦定理知，而，
∴，
即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由正弦定理知，
所以，
因为，从而，所以，
从而的取值范围为.
30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为，
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，且，可得，
则，可得，则，
所以，即，
所以的取值范围.
（3）设长度为，
由，可得，
因为，可得，
所以，可得，
又由余弦定理得，所以，
则，
设
，
由，可得，
所以长度的最大值为．

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