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第3讲 空间几何体中的平行与垂直
考点一 线面平行的证明
【例1-1】（24-25山西）如图，多面体中，，底面是矩形，为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接交于点，连接．因为是矩形，故为的中点．
又因为为的中点，故．又平面，平面，
所以平面．
【例1-2】（2025·四川达州）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，，
在三棱柱中，，，
因为为的中点，所以，，
故，，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面.
【例1-3】（24-25邢台）如图，在正四棱锥中，，是的中点，点在线段上，且，点在线段上（不与点重合），与交于点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形是正方形，所以，且，
因为为的中点，则，
又因为，则，所以，，
因为平面，平面，因此，平面.
【例1-4】（2025湖南）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】因底面为平行四边形，故，
因平面，平面，故平面，
又因平面平面，平面，故，
因平面，平面，
故平面．
【例1-5】（2025江苏）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面；
【答案】证明见解析
【解析】如图，取的中点，连接.
∵分别是棱的中点，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
【变式】
1．（24-25山东威海）如图，在以为顶点的多面体中，M为的中点，证明：平面

【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面平面，所以平面.
2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，，求证：平面BMN
【答案】证明见解析
【解析】在四棱锥中，连接、、，
由、分别为、的中点，得，，
而，则，四边形是平行四边形，
于是，又平面，平面，则平面，
由、分别为、的中点，得，而平面，平面，
因此平面，又，、平面，
则平面平面，又平面，所以平面.
3（2025·安徽黄山）如图，四棱锥中，，，，点在棱上，当时，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
由 知，，∴，
∵，∴，∴，
又平面，平面，∴平面．
考点二 面面平行的证明
【例2】（2025·河南）如图，在四棱锥中，，，，，若，，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因为，，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面.
因为，，所以，，
由余弦定理可得，
因为，所以，，故，
在中，，，，
所以，，
因为为锐角，所以，，故，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面.
【变式】
1．（24-25安徽）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因为平面，平面，所以.
又平面，不在平面内，所以平面.
因为，平面，不在平面内，所以平面.
又，平面,所以平面平面；
2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】，F分别是和的中点，且．
四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
是的中位线，．
又平面，平面，平面．
又，平面平面．
3．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，．
由题意知，．平面，平面，
平面．又，，．
又E，F分别是AD，AB的中点，，则，
．．
又，．四边形为平行四边形．．
平面，平面，平面．
，，平面，平面平面．
考点三 线与平面平行的性质定理的应用
【例3-1】（2025·北京延庆）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F，求证：
【答案】证明见解析
【解析】在矩形中，，
又平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面，所以.
【例3-2】（2025·新疆）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点，若平面，证明是的中点
【答案】证明见解析
【解析】过点作交于点，连接，
则，即、、、四点共面，
∵平面，平面,
平面平面，
∴，又∵，
∴四边形是平行四边形， ∴，∴是的中点
【例3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度．
【答案】
【解析】平面，平面平面，平面ADC，．是AD的中点，
是的中点，．
【变式】
1（2025·山东淄博）如图，在四棱锥中，，，点在上，且，点在线段上，且平面，证明：为线段的中点
【答案】见解析
【解析】连接，过点作交于点，连接，
又因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以为线段的中点；
2.（24-25江西）如图所示的几何体是由直三棱柱（侧棱垂直于底面）被一个不平行于底面的平面所截得的，已知，，是线段上的一点，平面，求的长
【答案】
【解析】过点作交于点，连接，延长交的延长线于点．
因为，所以四点共面．
又平面，平面，平面平面，所以，
则四边形是平行四边形，从而．
又，，，，
所以由，可得．
由，可得．所以．
3.．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面，求证：为线段中点
【答案】证明见解析
【解析】依题意平面平面，
由于平面平面，平面平面，
所以，由于底面是平行四边形，点为的中点，
所以为线段中点.
4（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面平面，平面，且平面，
所以．
考点四 线面垂直的证明
【例4】（2025江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为，，平面，平面．
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
又，平面，平面．
所以平面．
又平面，所以．
【变式】
1．（24-25上海）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，是棱的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
2．（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且，求证：平面

【答案】证明见解析；
【解析】因为所以，
所以，所以，
由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
3．（24-25河南焦作）如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为平面，平面，所以平面平面，
因为，点D为中点，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，故，
因为．所以，所以，
因为，，平面，所以平面.
考点五 线线垂直
【例5】（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且，证明：
【答案】证明见解析
【解析】取中点，连接，
由已知条件是边长为的正三角形，得.
平面，所以平面 ，
又平面 ，所以.
【变式】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点．
(1)判断与的关系；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），理由如下：
平面平面，于点，
平面平面，平面，
平面．又平面，．
（2）证明：平面，平面，
．，，平面,
平面．又平面，．
2．（2025·山西太原）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形，求证：

【答案】证明见解析
【解析】证明：设是的中点，连结，，
∵平面，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵平面平面，∴平面，

∴，∴，，，共面，
∵四边形边长为2的菱形，，，
在中，，
∴，∴，
∵四边形为菱形，∴，∴，
∵，∴平面，∴．
3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证：
(1)平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为四边形是菱形且，
所以是正三角形，因为G为的中点，所以，
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
所以平面，
（2）因为侧面为正三角形，为边的中点，
所以，又由（1）可知，
又，BG，平面，
所以平面，又平面，所以，
考点六 面面垂直
【例6】（2025·河北衡水）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合，证明：平面平面

【答案】证明过程见解析
【解析】因为是底面圆上的一条直径，所以⊥，
因为⊥底面圆，，所以⊥底面圆，
因为底面圆，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以平面⊥平面；
【变式】
1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为平面平面，且平面平面，
又，则，且为中点，所以，
又平面，所以平面；
（2）在直角梯形中， ，，
则，
又，则，
又，所以，
在折后的几何体中，，
因平面平面，平面平面，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又，即，则，
又，平面，平面，
则平面，
又平面，
所以平面平面.
2．（24-25上海虹口）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，求证：平面平面
【答案】证明见详解
【解析】
取的中点，连接，
，，
，，且 ，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，,
，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面；
3.．（2025·上海长宁）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点，求证：平面平面
【答案】证明见详解
【解析】
连接，取的中点，连接，，
，，
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
分别为，的中点，且，
点D是棱的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，平面，
平面，平面平面；
4．（2025·河北保定）在四棱锥中，底面是菱形，，若，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，
所以，所以，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
考点七 平行垂直中的动点问题
【例7-1】（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且．
(1)求正四棱锥的体积；
(2)若为的中点，证明：平面；
(3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【解析】（1）连接，设，连接，则平面．
中，，，，
所以．
（2）由正方形可得为的中点，而，，
又平面，平面，
平面．
（3）存在，．理由如下：作中点，连结，，．
，，
又平面MBD，平面，
平面，
，，
又平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面，而平面，
平面．
【例7-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由
【答案】存在，
【解析】作于点，如下图所示：
因为底面为正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以此时满足平面；
又因为，因此，
因为，所以，所以；
可得
【变式】
1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，点是棱上一点不包括端点，点是棱的中点．
(1)当为棱的中点时，判断四边形是什么图形？
(2)是否存在一点，使得面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)梯形．
(2)不存在点，理由见解析
【解析】（1）因为，分别为，边的中点，所以，且，
因为底面为正方形，所以，，
所以，且，所以四边形是梯形．
（2）假设在棱上一点存在一点，使得面，
因为底面为正方形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又，平面PAB，所以平面平面，
与“平面与平面相交”相矛盾，
所以不存在点，使得面．
2．（2025北京）如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面．
(1)证明：共面；
(2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点为上靠近的三等分点，理由见详解
【解析】（1）延长，相交于点，
因为，为的中点，
故，又，所以，
又，所以，
因为平面，平面，
所以，
而，，
所以，故，
故共线，且，
又，所以，
所以共面.
（2）由，又平面，平面，
所以平面，
因为，又平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，
由，取上靠近的三等分点，
则，又，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面.
3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)平面与平面垂直，证明见解析
【解析】（1）连接，如图，

因为分别是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面与平面垂直，证明如下：
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为为的中点，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
4．（2025湖北）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，
则，
又平面，平面，
则有，
而，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）在平面内过点作交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则点即为所要找的点，
如下图所示，因为，，
所以与相似，
因此，
即有，于是，，所以.
考点八 平行、垂直判断于性质定理的辨析
【例8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，由，与可能平行或相交，故B错误；
对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确；
对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误.
故选：C.
【例8-2】（2024·山东济南·二模）已知正方体分别是的中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
【答案】C
【解析】由已知面，面，
则，又，，面，
所以面，又面，所以，排除AB，
明显分别为的中点，所以，
又面，面，
所以平面，C正确；
若平面，则必有，又，
所以，明显不成立，D错误.
故选：C.
【变式】
1．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若m，n是异面直线，，，，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误；
对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥；
又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确.
故选：D.
2．（24-25高一下·重庆·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，若则由面面平行的性质可得A正确；
对于B，若则或者异面，故B错误；
对于C，若则或，故C错误；
对于D，若则或异面，故D错误.故选：A
3.（2025·天津）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；
对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.
故选：C
4.（2025·甘肃兰州）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】若，则或或或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，在内作，所以，又，所以，
又，所以，所以，故C正确；

若，则或或为异面直线，故D错误.
故选：C.
单选题
1．（2025·四川达州）相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由相交直线都在平面内，且，得，而直线在平面内，
因此，故充分性成立；
反之，若，直线在平面内，则直线在平面内，或平行于平面，或与平面相交，
所以直线与平面也不一定垂直，即直线不一定垂直平面的所有直线，
所以直线l不一定都与相交直线垂直，故必要性不成立.
故选：A
2.（2025·天津河北）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】A：若，，则或，而，故，对；
B：若，将视作的法向量所在直线，又，易知，对；
C：若，，则，而，故，对；
D：若，，则平行、异面、相交都有可能，错.
故选：D
3．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
延长，连接，
由四边形为平行四边形可知，
则，即，
又平面平面，且平面平面，
平面平面，则，
又，所以，
由四棱柱可知，，
即，，
又，，
故选：A.
4．（2025·福建厦门）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为的中点，连接，
∵为的中点，为的中点，∴，
又∵，∴，
∴四点共面，
∴平面与平面的交线为，则即为所在直线，
∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误；
∵，而在直角中，，则与不垂直，
故与不垂直，即与不垂直，故B错误；
∵平面，平面，∴，
又，，平面，
∴平面，又，
∴平面，即平面，
∵平面，∴，故C错误，D正确，
故选：D.
5．（24-25上海浦东新·阶段练习）如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于第1个图，如图（1）由正方体性质得，
所以四边形是平行四边形，所以，且与不垂直，
所以与不垂直；
对于第2个图，如图（2），令为所在棱中点，则由中位线性质得，
令正方体边长为1，则，即，
因为，所以，所以；

对于第3个图，如图（3），令为所在棱中点，与P重合，
连接，，由正方体结构性质可得，
令正方体边长为1，则，，，
因为，所以，所以；
对于第4个图，如图（3），令为所在棱中点，与P重合，
连接，，由正方体结构性质可得，
令正方体边长为1，则，，，
因为，所以，则与不垂直，
所以与不垂直.
所以满足的共有2个.
故选：B
多选题
6．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
【答案】ACD
【解析】对于A，连接，连接，由且，为中点，
得，则是中点，而是中点，于是，
而平面，平面，因此平面，A正确；
对于B，，由是中点，得到平面的距离是到此平面距离的2倍，
而，因此，B错误；
对于C，平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，于是，而平面，
平面，因此直线平面，C正确；
对于D，延长交于点，连接，直线直线，由且，
得为中点，而是中点，则平面，平面，
因此直线平面，D正确.
故选：ACD
7．（2025·浙江温州 ）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】BD
【解析】如图，过点作交于点，连接，即有平面，
由于，所以，
若，则，又平面，平面，
所以平面，由平面，
得平面平面，又平面，所以平面，故B正确；
若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确；
假设平面，设平面，则，
若平面，平面平面，所以，
反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误；
若，可能，也可能与相交．
若与相交，由知延长必与、交于同一点，
由几何关系知与不平行，故A、C错误．
故选：BD
8．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
【答案】ACD
【解析】对于A，连接，连接，由且，为中点，
得，则是中点，而是中点，于是，
而平面，平面，因此平面，A正确；
对于B，，由是中点，得到平面的距离是到此平面距离的2倍，
而，因此，B错误；
对于C，平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，于是，而平面，
平面，因此直线平面，C正确；
对于D，延长交于点，连接，直线直线，由且，
得为中点，而是中点，则平面，平面，
因此直线平面，D正确.
故选：ACD
9．（2025·浙江温州）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】BD
【解析】如图，过点作交于点，连接，即有平面，
由于，所以，
若，则，又平面，平面，
所以平面，由平面，
得平面平面，又平面，所以平面，故B正确；
若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确；
假设平面，设平面，则，
若平面，平面平面，所以，
反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误；
若，可能，也可能与相交．
若与相交，由知延长必与、交于同一点，
由几何关系知与不平行，故A、C错误．
故选：BD
解答题
10．（2025·贵州毕节）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，求证：平面ACE
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接BD交AC于点F，连接EF，底面ABCD是菱形，是BD的中点，
又E是PD的中点，，平面ACE，平面ACE，所以平面ACE；
11．（24-25安徽）四棱锥中，，，，为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接,
因为均为中点，所以，且；
因为，，所以，即;
又，所以,所以四边形是平行四边形，所以,
因为平面，平面，所以平面.
12．（24-25河南洛阳）如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点，证明：平面

【答案】证明见解析；
【解析】由平面，平面，则，
又，，易得四边形是矩形.
连接，则为的中点，为的中点，
所以为的中位线，即.
因为平面，平面，所以平面.
13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点为，连接，如图所示：
M为棱的中点，的中点为，可得且；
又易知，且，所以，；
又，所以；
由三棱柱性质可得，因此，
所以，可知四边形为平行四边形；
可得，又平面，平面；
所以平面.
14．（24-25上海·阶段练习）如图所示，在平行六面体中， ，分别是上的一点，且，，求证: 平面

【答案】证明见解析
【解析】连接，因为，所以，所以共面，
又，分别是上的一点，且，，即，
所以，
又平面，平面，
所以平面．

15．（24-25 河南·阶段练习）在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为，证明：直线平面
【答案】证明见解析；
【解析】在等腰梯形中，由，得，而为的中点，
则，四边形为平行四边形，于是，又平面平面，
因此平面，而平面，平面平面，则，
又平面，所以直线平面.
16．（2025·浙江）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，M，N为别为棱PB，CD的中点，证明：平面

【答案】证明见解析；
【解析】取AB中点E，连接ME、NE，

因为底面为矩形，N为CD的中点，所以，
平面PAD，平面，则平面，
因为M为PB中点，所以，
平面，平面，则平面，
因为且都在平面内，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
17．（2025·上海松江）已知梯形中，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接、，
因为点为棱的中点，且，所以且，
，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
因为平面，平面，且，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【解析】（1）连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，又平面，平面，
平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且均在平面中，
平面平面.
（3）由（1）知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，．

19．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
证明：；
【答案】证明见解析
【解析】连接，由四边形为菱形，得，由，得，
又平面平面，平面平面，面ABC，
则平面，又平面，于是，而，则，
又，平面，因此平面，又平面，
所以
20．（24-25 黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，取的中点，连接，因分别为、的中点，

则 又故
即四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，故平面；
（2）因为，，，所以，可得，
在直三棱柱中，因平面，平面，则，
又平面，故平面，
因平面，故；
21．（24-25 上海·阶段练习）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点．
(1)若平面，求长度；
(2)证明：平面；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为平面，即平面，
又平面，所以,
设，则，
又，解得；
（2）如图所示：
取线段AB的中点F，连接EF，FD，
因为E，D为中点，
所以，，
又平面，平面，
所以平面，
又，所以，同理平面，
又，
所以平面平面，
又平面，
所以平面.
22．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，
由已知，则，，
又，
由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
23．（2025湖南）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
(1)设分别为的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，
连接，易知，，
∴点为的中点，∵为为的中点，
在中，，，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）由题意证明如下，
取棱的中点，连接，
在等边三角形中，，
∵平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，故，
又已知，，平面,所以平面．
24．（24-25 河南许昌·期中）如图，棱长1的正方体．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由正方体的棱长为1，可得 的面积为 ，
所以；
（2）连接，如图所示：
，
由平面 ，又平面，∴，
又正方形中，， 且，
且平面，平面，∴平面，
又平面，
所以，平面平面.
25．（2025河北）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，.
因为底面为菱形，是边长为2的等边三角形，
则，，，
所以为等边三角形，
因为为的中点，
所以，.
因为是边长为2的等边三角形，
所以，
又，则，
所以.
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
26．（2025·上海）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为、分别为线段、上的点，且，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，所以，
所以，，连接，又，
所以，所以，又，
所以，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面.
27．（2026四川 ）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【解析】（1）
取的中点，连接，
因为三棱柱的底面是正三角形，是的中点，
所以，，
为的中心，
在上，且
又，，
又与交于点，，
，
四边形是平行四边形，，
又平面，
平面．
（2）由（1）知平面即为平面，
三棱柱的底面是正三角形，，
所以，则，
又分别是的中点，
所以，则，
又，平面，
所以平面，
又，所以平面，
又平面，
所以平面平面．
27（24-25 宁夏·期中）如图，直四棱柱中，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，平面平面，判断的形状并证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)直角三角形，证明见解析
【解析】（1）由已知为直四棱柱，
可知，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面，
，且，平面，
平面平面；
（2）连接，，四边形是正方形，
．
平面平面，平面平面，
平面，平面，
又底面，平面，
，
，，平面，
平面，， 所以是直角三角形.
28．（24-25 四川内江·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且．
(1)证明：：
(2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）令交于点，连接，在正方形中，，，
又，则，而，平面，
因此平面，而平面，所以.
（2）在正方形中，，在线段上取一点，使得，
由，得，连接，则，
而平面，平面，则平面，
由，得，则，
而平面，平面，则平面，
又，平面，于是平面平面，而平面，
所以平面.
29．（2025苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点，
∴．又在圆柱中，底面，底面，
∴，又，平面，
∴平面．
（2）取的中点，连接，，
∵为的中点，∴在中，，且，
又在圆柱中，，且，
∴，，∴四边形为平行四边形，
∴．而平面，平面，
∴平面.
30．（2024 全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．求证：平面平面；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在底面中，因为，，则，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
则平面平面，即平面平面.
31．（2025江西）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；

【答案】证明见解析
【解析】如图，连接并延长，交于点.

因为为外接圆的圆心，为正三角形，所以，即，
在圆锥中，易知平面，因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，所以，
因为，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面.
32．（24-25 江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为侧棱底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为，所以确定唯一平面，
设平面，连接，
因为平面，所以，
又因为，底面，底面，所以底面，
又平面，平面底面，
所以，所以，所以，
又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以.
33．（2025安徽）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，等边所在的平面垂直于底面，.求证：平面.

【答案】证明见解析
【解析】如图所示，取中点，连接，
是正三角形，为中点，.
又平面平面，且平面平面，平面.
平面.
又平面，.
，且，平面，
平面.

34．（24-25 四川广元·期中）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．

(1)证明：直线平面；
(2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【解析】（1）如图：

因为，，所以平面就是平面.
在正方体中，平面，平面，所以，
又四边形为正方形，所以，
又平面，平面，，所以平面.
（2）取中点，连接，，因为，所以平面就是平面.
当为中点时，，平面，平面，
所以平面.
此时.
故存在点，使直线平面，且.
35．（24-25 海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱分别为的中点.
(1)求证：平面平面;
(2)求证：在棱上存在一点，使得平面平面；
【答案】(1)证明见解析.
(2)为的中点，证明见解析.
【解析】（1）在直三棱柱中，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面,，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（2）为的中点，证明如下：
取的中点，连接,
因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面,,
所以平面平面.
即存在的中点使得平面平面.
36．（2025全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【解析】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，而E是BC的中点，
所以，又，
所以，又，
所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形，从而，
沿着AE翻折成后，有，
又平面，
所以平面，
由题意，易知，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面.
（2）假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，如图所示：
所以，则四点共面，
又平面，面面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，所以是的中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.第3讲 空间几何体中的平行与垂直
考点一 线面平行的证明
【例1-1】（24-25山西）如图，多面体中，，底面是矩形，为的中点，证明：平面
【例1-2】（2025·四川达州）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，求证：平面
【例1-3】（24-25邢台）如图，在正四棱锥中，，是的中点，点在线段上，且，点在线段上（不与点重合），与交于点，证明：平面
【例1-4】（2025湖南）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面．
【例1-5】（2025江苏）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形. 若分别是棱的中点，证明：平面；
【变式】
1．（24-25山东威海）如图，在以为顶点的多面体中，M为的中点，证明：平面

2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，，求证：平面BMN
3（2025·安徽黄山）如图，四棱锥中，，，，点在棱上，当时，求证：平面
考点二 面面平行的证明
【例2】（2025·河南）如图，在四棱锥中，，，，，若，，求证：平面平面
【变式】
1．（24-25安徽）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，，证明：平面平面
2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证：平面平面
3．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．
考点三 线与平面平行的性质定理的应用
【例3-1】（2025·北京延庆）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F，求证：
【例3-2】（2025·新疆）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点，若平面，证明是的中点
【例3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度．
【变式】
1（2025·山东淄博）如图，在四棱锥中，，，点在上，且，点在线段上，且平面，证明：为线段的中点
2.（24-25江西）如图所示的几何体是由直三棱柱（侧棱垂直于底面）被一个不平行于底面的平面所截得的，已知，，是线段上的一点，平面，求的长
3.．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面，求证：为线段中点
4（2025高三·全国·专题练习）已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：．
考点四 线面垂直的证明
【例4】（2025江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【变式】
1．（24-25上海）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，证明：平面
2．（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且，求证：平面

3．（24-25河南焦作）如图，在三棱台中，平面，，，，点D为中点，点E在上，且，证明：平面
考点五 线线垂直
【例5】（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且，证明：
【变式】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知平面平面，平面，于点．
(1)判断与的关系；
(2)求证：．
2．（2025·山西太原）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形，求证：

3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证：
(1)平面；
(2).
考点六 面面垂直
【例6】（2025·河北衡水）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合，证明：平面平面

【变式】
1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
2．（24-25上海虹口）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，求证：平面平面
3.．（2025·上海长宁）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点，求证：平面平面
4．（2025·河北保定）在四棱锥中，底面是菱形，，若，证明：平面平面
考点七 平行垂直中的动点问题
【例7-1】（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且．
(1)求正四棱锥的体积；
(2)若为的中点，证明：平面；
(3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【例7-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由
【变式】
1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，点是棱上一点不包括端点，点是棱的中点．
(1)当为棱的中点时，判断四边形是什么图形？
(2)是否存在一点，使得面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
2．（2025北京）如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面．
(1)证明：共面；
(2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理由.
4．（2025湖北）如图，正三棱柱中，，点为的中点.
(1)证明：平面平面
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
考点八 平行、垂直判断于性质定理的辨析
【例8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例8-2】（2024·山东济南·二模）已知正方体分别是的中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
【变式】
1．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若m，n是异面直线，，，，，则
2．（24-25高一下·重庆·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.（2025·天津）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4.（2025·甘肃兰州）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
单选题
1．（2025·四川达州）相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2025·天津河北）若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
3．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建厦门）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25上海浦东新·阶段练习）如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
多选题
6．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
7．（2025·浙江温州 ）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
8．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
9．（2025·浙江温州）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
解答题
10．（2025·贵州毕节）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，求证：平面ACE
11．（24-25安徽）四棱锥中，，，，为的中点，证明：平面
12．（24-25河南洛阳）如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点，证明：平面

13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点，求证：平面
14．（24-25上海·阶段练习）如图所示，在平行六面体中， ，分别是上的一点，且，，求证: 平面

15．（24-25 河南·阶段练习）在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为，证明：直线平面
16．（2025·浙江）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，M，N为别为棱PB，CD的中点，证明：平面

17．（2025·上海松江）已知梯形中，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点，求证：平面
18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
19．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
证明：；
20．（24-25 黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：；
21．（24-25 上海·阶段练习）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点．
(1)若平面，求长度；
(2)证明：平面；
22．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．证明：平面平面.
23．（2025湖南）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
(1)设分别为的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
24．（24-25 河南许昌·期中）如图，棱长1的正方体．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面平面．
25．（2025河北）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.
证明：平面平面.
26．（2025·上海）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
27．（2026四川 ）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
27（24-25 宁夏·期中）如图，直四棱柱中，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，平面平面，判断的形状并证明.
28．（24-25 四川内江·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且．
(1)证明：：
(2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面．
29．（2025苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面．
30．（2024 全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．求证：平面平面；
31．（2025江西）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；

32．（24-25 江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求．
33．（2025安徽）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，等边所在的平面垂直于底面，.求证：平面.

34．（24-25 四川广元·期中）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．

(1)证明：直线平面；
(2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
35．（24-25 海南省直辖县级单位·期中）如图，在直三棱柱分别为的中点.
(1)求证：平面平面;
(2)求证：在棱上存在一点，使得平面平面；
36．（2025全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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