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第4讲 空间几何体的体积与表面积
考点一 空间几何体的侧面积与表面积
【例1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【例1-2】（2025·河北）在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ）
A．36 B．40 C．52 D．56
3．（2024河南）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
考点二 空间几何体的体积
【例2-1】（24-25浙江）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】．（2025·宁夏银川）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（24-25浙江）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·内蒙古）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25河南）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
考点三 实际应用中的体积与表面积
【例3-1】（2025·河北秦皇岛）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·广东广州）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
【变式】
1．（24-25上海）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ）
A． B． C． D．
考点四 距离最值
【例4-1】（2025陕西）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（ ）

A． B． C．3 D．
【例4-3】．（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式】
1．（24-25贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ）
A．12 cm B． cm
C．18 cm D．cm
2．（24-25湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ）
A． B．16 C． D．12
3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）

A． B．3 C．4 D．
考点五 外接球与内切球
【例5-1】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2025·陕西商洛）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2025·辽宁）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25 ·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南开封）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽黄山）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是
考点六 截面
【例6-1】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【例6-2】．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】．（2025湖南）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 .
4．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．

5．（23-24四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．

单选题
1．（2025·辽宁沈阳）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆台的侧面积为.故选：B．
2．（24-25河南焦作）已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，
所以，则该圆锥的侧面积.
故选：D
3．（2025·广东深圳）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，，
由于，所以，
所以，
所以原圆台的侧面积为，
故选：A.
4．（2025·安徽滁州）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，
则，
所以，
所以，
所以圆台的高为
故选：
5．（2025四川内江·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开圆柱的侧面如图所示，

展开后，在矩形中，，，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.
故选：B.
6．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为．
故选：B．
7．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，
将绕旋转至同一平面，如图所示，
可知：当且仅当三点共线时，取到最小值，
取的中点，可知，
可得，，
则，
在中，由余弦定理可得，
即，所以的最小值为.
故选：A.
8．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，
如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，
设内切球半径为，内切球球心为I，连接.
三角形是边长为的等边三角形，
由等面积法有，，即，解得，
故所求为.
故选：C.
多选题
9．（23-24河南南阳·期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解析】由题意，在正方体中，
对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.

10．（24-25河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（ ）
A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为
C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆
【答案】ABD
【解析】设圆锥底面半径为，
则底面面积，底面周长，
∴侧面面积，
由题意得，即，即，
设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确；
则该圆锥的体积，B选项正确；
侧面面积，C选项错误；
侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确.
故选：ABD.
11．（24-25贵州遵义·期中）已知球的半径为，则（ ）
A．球的内接正方体的内切球表面积为
B．球的内接正方体的内切球体积为
C．球的内接正四面体的内切球半径为
D．球的内接正四面体的内切球半径为
【答案】BC
【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为，
则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，
所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确；
对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图，
可知，，，
由可得，解得，
因为球的内接正四面体的体积，
球的内接正四面体的表面积，
又因为，
所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确．
故选：BC.
填空题
12．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为 .
【答案】
【解析】在正方体中，，
所以
，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：
13．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 .
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，则外接球的半径，
所以外接球的表面积，解得，
所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积.
故答案为：
14．（23-24山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
如图，两种方式展开三棱柱的侧面：
故图1中，
图2中，
因为，所以最短路线长为.
故答案为：.
15．（2025辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．

【答案】/
【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点，
连接交与点，连接交于点，分别连接，
则过点的平面截正方体所得的截面为五边形，
因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点，
可得，所以,
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的周长为.
故答案为：.

解答题
16．（24-25高一下·新疆喀什·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.
(1)求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；
(2)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）在正方体中，因为棱长为，可得，
所以截去的三棱锥的表面积为：
.
在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，
又因为平面，即为三棱锥的高，
可得，
所以几何体的体积为.
（2）由（1）可得：四棱锥的体积.
17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高.
(1)求四棱台的体积；
(2)求四棱台的表面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知：四棱台的体积
，
（2）分别取、中点、，连接、、，
过点在平面内作，垂足为点，
由正四棱台的几何性质可知，平面，因为平面，则，
易知，因为，，则四边形为矩形，
因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
则，，，，
可得，
所以四棱台的表面积
.
18．（2025黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．
【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五．
【解析】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形，
由截面作法可知，所以截面四边形的周长为.
（2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五.
19．（2025河南）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
【答案】(1)
(2)体积为，表面积为．
【解析】（1）在直观图中设交于点，则，
，
平面四边形如图所示，
则，，
所以．
（2）在中，，，
所以，
所以，所以，
如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，．
矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；
绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；
绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥．
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体．
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
所以旋转形成的几何体的体积．
旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以．
20．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，．
(1)求证：平面BMN；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在四棱锥中，连接、、，
由、分别为、的中点，得，，
而，则，四边形是平行四边形，
于是，又平面，平面，则平面，
由、分别为、的中点，得，而平面，平面，
因此平面，又，、平面，
则平面平面，又平面，所以平面.
（2）令，由，得，则，
即，于是，由（1）知，平面，
则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的，
则，，
由平面，平面，得，
由，，得，而，平面，
因此平面，即为三棱锥的高，
则，所以.
21．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长.
【答案】(1)侧面积为；体积为
(2)；
【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，
∵母线长，∴圆柱的高，
∴圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）如图，延长线段至，使得，
作，垂足为，交与，
因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线，
所以，
则，∴，
所以，
此时，取得最小值，
因为，，所以，
所以在中，，
所以，
所以的最小值为.
又在中，，
所以，
则在中， .第4讲 空间几何体的体积与表面积
考点一 空间几何体的侧面积与表面积
【例1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】四面体的棱长都等于2，那么它的表面积为.故选：D.
【例1-2】（2025·河北）在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，则，过作于，
则，由正四棱台的性质可得平面，
故即侧棱和底面所成角，
所以，在中，可得，
过作于，连接，因为平面，
所以，而平面，
故平面，而平面，故，
而，则，
所以该正四棱台的侧面积为，
故选：B．
【变式】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是，
正四面体的棱长为，它的表面积是，
因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．
故选：D．
2（24-25广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ）
A．36 B．40 C．52 D．56
【答案】D
【解析】过点作，垂足为H，则.
因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以，
则梯形的高，
故该正四棱台的表面积是.
故选： D.
3．（2024河南）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，，
则可知正六棱柱的侧面积为．
设正六棱锥侧棱长为，则．
又，所以，解得，
所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为.
故选：B．
考点二 空间几何体的体积
【例2-1】（24-25浙江）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得，
则该圆锥的高，故该圆锥的体积为，故选：A.
【例2-2】．（2025·宁夏银川）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上 下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，，则，
，解得，
在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高，
且，因此，
该正四棱台的体积为.
故选：D
【变式】
1．（24-25浙江）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正三棱台的上底面积，下底面积，
所以此三棱台的体积.
故选：B
2．（2025·内蒙古）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得，
所以圆锥的体积为.故选：B.
3．（24-25河南）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心，
延长交于点，则为的中点，连接，
因为正的边长为，为的中点，则，
因为，则，则，，
由题意可知，正三棱锥的侧面积为，则，
即，故，
因为为正的中心，则，
因为平面，平面，则，所以，，
因此，该三棱锥的体积为.故选：D.
4．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台，
设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为，
原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为，
因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为；
又上下两个几何体的侧面积之比为，所以，由相似比可得，
即可得，即，所以小圆锥和原圆锥的体积比为；
因此小圆锥和圆台的体积比为.故选：D
考点三 实际应用中的体积与表面积
【例3-1】（2025·河北秦皇岛）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，圆台的侧面积为，母线长
圆台的高
则圆台上下底面面积为
由圆台的体积计算公式可得：
故选：C.
【例3-2】（2025·广东广州）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
【答案】C
【解析】作圆台的轴截面如图：
梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接，
则中，因为，所以，，所以.
所以.
所以灯罩的侧面积为：.
所以100个灯罩的外表面面积为：.
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.
故选：C
【变式】
1．（24-25上海）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，

该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成.
记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为，
则，
由于是两个相同的直三棱柱，所以
.
所以
.
故选：D.
2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
3．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由球的半径为R，则圆柱体的高为R
此鼎主体部分的容积约为：
此鼎主体部分外表面积约为：
所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：
故选：D
考点四 距离最值
【例4-1】（2025陕西）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为，
设圆柱的底面半径为，则，底面周长为，
将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示，
则从到的最短路径长即线段的长，
∵，，
∴，
即从到的圆柱侧面上的最短距离为.
故选：B.
【例4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】若从到经过棱则沿棱展开如图，
过作于，则，，
故.

若从到经过棱，则沿棱展开如图，，，
则.

若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，，
所以，
，，则.

若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形，
四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形.
又，，故.

故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为.
故选：C
【例4-3】．（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】连接，则，点、、在平面中，

且，，，
在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，

则，，，；
设点关于直线的对称点为，
的方程为，①
，直线的方程为，②
由①②组成方程组，解得，，
直线与的交点,．
对称点，
．
则的最小值为2．
故选：C．
【变式】
1．（24-25贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ）
A．12 cm B． cm
C．18 cm D．cm
【答案】D
【解析】如图所示，在圆柱的侧面展开图中，
的长为底面圆周长的一半，即cm，
蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程
cm.
故选：D.
2．（24-25湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图，
令扇形圆心角大小为，则，解得，
在中，，则，
所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为.
故选：C
3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面，
连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，
设，则，
又由得，则，
则有，
故，
则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是.
故选：C.
4．（2025河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）

A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，
连接，交AB于点，此时最小，如图所示：

因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，
解得，即的最小值为．
故选：A．
考点五 外接球与内切球
【例5-1】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】长方体的外接球的半径.则接球表面积为.
故选：B.
【例5-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，
则的外接圆的半径，
因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为，
则，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故选：B．
【例5-3】（2025·陕西商洛）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：
取线段的中点，连接，则，
因为正三棱锥的侧面积为，则，可得，
所以，，，
设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，
，
设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，
设球的半径为，则，
由勾股定理可得，即，解得，
因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
【例5-4】（2025·辽宁）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，

则该几何体的轴截面如下：

所以，，
∵与圆相切，点为切点，
∴，
过点作与点，
∴，∴，则，
即球的半径，∴这个球的表面积，
故选：D.
【变式】
1．（24-25 ·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则，
即，
设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则，
由，解得，
则此圆锥的表面积为.
故选：B
2．（24-25 浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，，
设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知，
又侧棱长为，则，又易知，
设，则，，
故，解得：，
故，所以球的表面积为，
故选：B.
3．（2025·河南开封）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的边长为，
则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得，
所以正方体的体对角线等于，
所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于，
故选:B.
4．（2025·安徽黄山）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为，
易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
则，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
5（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是
【答案】A
【解析】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，
所以正四面体的表面积．故D选项正确；
如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，
正四面体各棱长为，则，，，
四面体的体积为，故A选项错误；
正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，
则有，即，解可得，C选项正确；
将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为，
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，
所以正方体的对角线为，，．故B选项正确．
故选：A．
考点六 截面
【例6-1】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【答案】A
【解析】B选项，当点与重合时，

取中点，因为是中点，则，且，
连接，则四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项；
C选项，当点与重合时，

取中点，因为是的中点，所以，
连接，截面四边形为梯形，故排除C选项；
D选项，当点为中点时，

因为是中点，所以且，
连接，则四边形是平行四边形，
又因为，，
因为是正方体，所以，所以，
所以平行四边形是菱形，故排除D选项；
不管点在什么位置，都不可能是三角形.
故选：A.
【例6-2】．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，分别取的中点，连接，
在正方体中，可得，
所以经过点的截面为正六边形，
又因为正方体的棱长为，
在直角中，可得，
所以截面正六边形的面积为.
故选：D.
【例6-3】．（2025湖南）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点，
连接,
因为,
所以,四边形是平行四边形，即四点共面，
设中点为,易得,故，所以五点共面，
则平面即为平面，如图，
在中，,可得,
所以，，，
在等腰三角形中，，，所以高为，
故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，．
故选：A
【变式】
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】如图1，在正方体中，
易知为正三角形，于是答案都有可能，
如图2，
若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设，
由正方体的性质可知：，，所以平面，
而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误.
故选：D.
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BCD
【解析】在正方体中，由分别为的中点，
得截面与正方体的3个面必有交线，而点在线段上，
截面与正方形或正方形有交线，即截面至少与正方体4个面有交线，
因此截面不可能是三角形，即A不可能；
取与重合，此时截面为四边形，如图，B可能；
当截面与棱的交点在线段（不含点）上时，截面与正方体
除正方形外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能；
当点为棱的中点时，截面为六边形，如图，D可能.
故选：BCD
3．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 .
【答案】
【解析】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于，
延长交的延长线于，连接，交于点，
连接，则五边形即为所求截面.
易知分别是的三等分点，
则，，
所以该五边形的周长为.
故答案为：
4．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．

【答案】
【解析】在正方体中，直线与直线分别交于，
连接分别与交于点，连接，
则五边形是过M、N、的正方体的截面，

由M为AB中点，N为BC中点，得，
，即，同理，，，
，等腰中，，
则，，
，
所以截面的面积.
故答案为：
5．（23-24四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．

【答案】
【解析】取中点，连接，,

∵中点为，E是侧棱的中点，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方体中，
∴四边形为平行四边形,
∴
∴,
四点共面，即为正方体的截面.
在直角三角形中,
同理,则截面周长为.
故答案为:.
单选题
1．（2025·辽宁沈阳）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆台的侧面积为.故选：B．
2．（24-25河南焦作）已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，
所以，则该圆锥的侧面积.
故选：D
3．（2025·广东深圳）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，，
由于，所以，
所以，
所以原圆台的侧面积为，
故选：A.
4．（2025·安徽滁州）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，
则，
所以，
所以，
所以圆台的高为
故选：
5．（2025四川内江·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开圆柱的侧面如图所示，

展开后，在矩形中，，，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.
故选：B.
6．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为．
故选：B．
7．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，
将绕旋转至同一平面，如图所示，
可知：当且仅当三点共线时，取到最小值，
取的中点，可知，
可得，，
则，
在中，由余弦定理可得，
即，所以的最小值为.
故选：A.
8．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，
如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，
设内切球半径为，内切球球心为I，连接.
三角形是边长为的等边三角形，
由等面积法有，，即，解得，
故所求为.
故选：C.
多选题
9．（23-24河南南阳·期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解析】由题意，在正方体中，
对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.

10．（24-25河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（ ）
A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为
C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆
【答案】ABD
【解析】设圆锥底面半径为，
则底面面积，底面周长，
∴侧面面积，
由题意得，即，即，
设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确；
则该圆锥的体积，B选项正确；
侧面面积，C选项错误；
侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确.
故选：ABD.
11．（24-25贵州遵义·期中）已知球的半径为，则（ ）
A．球的内接正方体的内切球表面积为
B．球的内接正方体的内切球体积为
C．球的内接正四面体的内切球半径为
D．球的内接正四面体的内切球半径为
【答案】BC
【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为，
则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，
所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确；
对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图，
可知，，，
由可得，解得，
因为球的内接正四面体的体积，
球的内接正四面体的表面积，
又因为，
所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确．
故选：BC.
填空题
12．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为 .
【答案】
【解析】在正方体中，，
所以
，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：
13．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 .
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，则外接球的半径，
所以外接球的表面积，解得，
所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积.
故答案为：
14．（23-24山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
如图，两种方式展开三棱柱的侧面：
故图1中，
图2中，
因为，所以最短路线长为.
故答案为：.
15．（2025辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．

【答案】/
【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点，
连接交与点，连接交于点，分别连接，
则过点的平面截正方体所得的截面为五边形，
因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点，
可得，所以,
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的周长为.
故答案为：.

解答题
16．（24-25高一下·新疆喀什·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.
(1)求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；
(2)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）在正方体中，因为棱长为，可得，
所以截去的三棱锥的表面积为：
.
在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，
又因为平面，即为三棱锥的高，
可得，
所以几何体的体积为.
（2）由（1）可得：四棱锥的体积.
17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高.
(1)求四棱台的体积；
(2)求四棱台的表面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知：四棱台的体积
，
（2）分别取、中点、，连接、、，
过点在平面内作，垂足为点，
由正四棱台的几何性质可知，平面，因为平面，则，
易知，因为，，则四边形为矩形，
因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
则，，，，
可得，
所以四棱台的表面积
.
18．（2025黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；
（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．
【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五．
【解析】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形，
由截面作法可知，所以截面四边形的周长为.
（2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五.
19．（2025河南）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中．
(1)求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
【答案】(1)
(2)体积为，表面积为．
【解析】（1）在直观图中设交于点，则，
，
平面四边形如图所示，
则，，
所以．
（2）在中，，，
所以，
所以，所以，
如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，．
矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；
绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；
绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥．
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体．
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
所以旋转形成的几何体的体积．
旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以．
20．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，．
(1)求证：平面BMN；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在四棱锥中，连接、、，
由、分别为、的中点，得，，
而，则，四边形是平行四边形，
于是，又平面，平面，则平面，
由、分别为、的中点，得，而平面，平面，
因此平面，又，、平面，
则平面平面，又平面，所以平面.
（2）令，由，得，则，
即，于是，由（1）知，平面，
则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的，
则，，
由平面，平面，得，
由，，得，而，平面，
因此平面，即为三棱锥的高，
则，所以.
21．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长.
【答案】(1)侧面积为；体积为
(2)；
【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，
∵母线长，∴圆柱的高，
∴圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）如图，延长线段至，使得，
作，垂足为，交与，
因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线，
所以，
则，∴，
所以，
此时，取得最小值，
因为，，所以，
所以在中，，
所以，
所以的最小值为.
又在中，，
所以，
则在中， .

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