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第06讲 有理数的加法与减法（8种题型）
1．理解有理数加减法的意义；
2．初步掌握有理数加法与减法法则；
3．能准确地进行有理数的加法与减法运算，并能运用其解决简单的实际问题．　
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
四、有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
题型一：有理数的加法法则
例1.计算：
(1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)；
(3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0.
【变式1】计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
【变式2】设表示不超过的最大整数，计算：______．
【变式3】计算：
(1) (2)．
【变式4】探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
题型二：有理数加法在实际生活中的应用
例2.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
星　期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 －1 －2.5 －6
(1)星期三收盘时，每股多少元？
(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？
【变式】2022年11月20日18：00（北京时间），卡塔尔世界杯开幕式在豪尔市的海湾球场举行．小明为 方便各国球迷准时观看比赛，列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）．
城市 纽约 东京 豪尔市
时差/时
假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00．
(1)现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？
(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几点？
题型三：与有理数性质有关的计算问题
例3.已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________．
【变式】若，且，那么的值是（ ）
A．5或1 B．1或 C．5或 D．或
题型四：加法运算律及其应用
例4.计算：
(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．
【变式1】绝对值小于14的所有整数的和为_________．
【变式2】某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L
【变式3】）阅读下面文字：
对于()＋()＋17＋()，
可以按如下方法计算：
原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]
＝0＋()
＝－1.
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.
题型五：有理数减法法则的直接运用
例5、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【变式】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
题型六：加减混合运算统一成加法运算
例6.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
题型七：有理数的加减混合运算
例7.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)； (3)－－(－)＋(－)．
【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.
（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
(3)
(4)
（5） （6）
【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；
（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）
（4）
（5）； （6）
题型八：利用有理数加减运算解决实际问题
例9.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.
（1）问收工时距A地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋 如皋市期中）如图是某市去年十二月份某一天的天气预报，该天的温差是（　　）
A．9℃ B．7℃ C．5℃ D．2℃
2．（2022秋 东海县月考）若＝a+b﹣c﹣d，则的值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．10 D．﹣10
3．（2022秋 工业园区校级月考）计算﹣1﹣3的结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
4．（2022秋 东台市校级月考）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（　　）
A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n
5．（2022秋 如皋市校级月考）将6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改写成省略加号的和的形式是（　　）
A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2
二．填空题（共6小题）
6．（2023 泗洪县一模）计算2+（﹣3）＝　 　．
7．（2022秋 盐城期中）某地一天早晨的气温是﹣2℃，中午温度上升了9℃，则中午的气温是 　 　℃．
8．（2022秋 海安市期末）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为2，则2022+a﹣b的值为 　 　．
9．（2022秋 南通期末）若两个有理数m，n满足m+n＝66，则称m，n互为顺利数．已知7x的顺利数是﹣18，则x的值是 　 　．
10．（2022秋 江阴市期末）比﹣3大而比2小的所有整数的和为　 　．
11．（2017秋 仪征市校级月考）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝　 　．
三．解答题（共10小题）
12．（2022秋 盐都区期中）计算：
（1）（﹣7）+（﹣5）； （2）﹣2.8+3.2； （3）．
13．（2022秋 鼓楼区校级月考）在横线上填写每一步的运算依据：
22+（﹣4）+（﹣2）+4；
解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）　 　．
＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]　 　．
＝26+（﹣6）　 　．
＝20
14．（2022秋 江阴市校级月考）已知：|a|＝4，|b|＝7，若a＞b，求a﹣b的值．
15．（2022秋 宿豫区期中）计算：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）．
16．（2022秋 镇江期中）如图是三个三角形，每个三角形的顶点处都有一个“〇”，在每个“〇”中填入一个数，满足这三个三角形的3个顶点处的“〇”中的数的和都等于2．
（1）将﹣8、﹣7、﹣6、﹣4、1、3、5、9、13这9个数填入恰当的位置，使得这三个三角形的3个顶点处的“〇”中的数的和都等于2；
（2）如果将（1）中的这9个数改为﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，还能满足要求吗？如果满足，请填在“〇”中；如果不满足，请说明理由．
17．（2022秋 兴化市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．
18．（2022秋 海安市校级月考）（1）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a﹣b+c的值．
（2）已知有理数a，b，c满足|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，求a+b﹣c的值．
19．（2022秋 梁溪区校级期中）应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km
记作 +5.5km ﹣3.2km +1km ﹣1.5km ﹣0.8km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
（3）若某架飞机从地面起飞后先上升5km，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是0.6km和1.8km，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度．
20．（2022秋 江阴市校级月考）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 　 　．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　 　．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 　 　．
③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝　 　．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 　 　．
⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 　 　．
21．（2022秋 江都区校级月考）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，）都有“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 　 　；
（2）若（4，b）是“共生有理数对”，则b＝　 　．
（3）小丁说：“若（a，b）是‘共生有理数对’，则（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’．”小丁说的正确吗？如果正确，请验证他的说法；如果不正确，请举出反例．
一、单选题
1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）计算所得的正确结果是（　 　）
A． B． C．1 D．3
2．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
3．（2022秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）把写成省略加号和括号的形式后的式子（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列说法正确的有（ ）个
①在数轴上0和之间没有负数 ②有理数分为正有理数和负有理数
①绝对值是它本身的数只有0 ④两数之和一定大于每个加数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两数相加，其和大于任何一个加数
B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
6．（2023·江苏·七年级假期作业）2022世界杯足球比赛在卡塔尔举行，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔．已知中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区，卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，则揭幕战是北京时间（ ）
A．11月20日14时 B．11月20日19时 C．11月21日19时 D．11月21日0时
7．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）若两数的和为负数，则这两个数一定（ ）
A．两数同正 B．两数同负 C．两数一正一负 D．两数中一个为负数
二、填空题
8．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）设，，且，用“”号把、、、连接起来为_______．
9．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果正午（中午12∶00）记作0小时，午后2点钟记作+2小时，那么上午8点钟可表示为_______小时．
10．（2021秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）比小5的数是__________．
11．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）滨海某冬日的最高气温是，最低气温是，则该日的日温差是___________．
12．（2023·江苏·七年级假期作业）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，则从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差______．
13．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）在数轴上与表示的点的距离等于5的点所表示的数是_____.
14．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）一跳蚤在一条数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落到数轴上的点表示的数为__________．
15．（2021秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为 __．
三、解答题
16．（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
17．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）（1）已知，，，且，求的值．
（2）已知有理数a，b，c满足，求的值．
18．（2022秋·江苏苏州·七年级阶段练习）有一种能得到数a符号的运算，当时，；当时，；当时，．例如，．
(1)计算：______________；
(2)如图，数轴上点A，B表示的数分别为，3，点P在数轴上移动，点P表示的数为x，求的值．
19．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：
，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？
(3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？
20．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求的值；
(2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值；
(3)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
21．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，+8，，13，，+10，，
(1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？
(2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 有理数的加法与减法（8种题型）
1．理解有理数加减法的意义；
2．初步掌握有理数加法与减法法则；
3．能准确地进行有理数的加法与减法运算，并能运用其解决简单的实际问题．　
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
四、有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
题型一：有理数的加法法则
例1.计算：
(1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)；
(3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0.
解析：利用有理数加法法则，首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加，然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值．
解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；
(2)(＋4)＋(－3)＝1；
(3)(－5.25)＋5＝0；
(4)(－89)＋0＝－89.
方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值．
【变式1】计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；
(2)
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
【变式2】设表示不超过的最大整数，计算：______．
【答案】3
【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．
【详解】解：∵表示不超过的最大整数，
∴，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．
【变式3】计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的加法运算法则及求一个数的绝对值进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算及求一个数的绝对值；解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【变式4】探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
(2)
(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析
【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则；
（2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序；
（3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（2）解：，
，
，
故答案为：；
（3）解：，．
加法交换律适用；
，
，
而，
加法结合律不适用．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法．
题型二：有理数加法在实际生活中的应用
例2.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
星　期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 －1 －2.5 －6
(1)星期三收盘时，每股多少元？
(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？
解析：(1)用买进的价格加上周一、周二、周三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格，然后即可得解．
解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；
(2)周一：67＋4＝71元，周二：71＋4.5＝75.5元，周三：75.5＋(－1)＝74.5元，周四：74.5＋(－2.5)＝72元，周五：72＋(－6)＝66元，
∴本周内每股最高价为75.5元，最低价66元．
方法总结：股票每天的涨跌都是在前一天的基础上进行的，不要理解为每天都是在67元的基础上涨跌．另外熟记运算法则并根据题意准确列出算式也是解题的关键．
【变式】2022年11月20日18：00（北京时间），卡塔尔世界杯开幕式在豪尔市的海湾球场举行．小明为 方便各国球迷准时观看比赛，列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）．
城市 纽约 东京 豪尔市
时差/时
假设现在北京时间是2020年11月22日上午9：00．
(1)现在纽约的时间是几点？东京时间是几点？
(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飞行约9小时到达豪尔市，那么达到豪尔市的时间是几点？
【答案】(1)纽约时间是2020年11月21日晚上20：00，东京时间是2020年11月22日上午10：00
(2)11月19日下午14：00
【分析】（1）（2）根据正负数的意义结合有理数加法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：，，
∴纽约时间是2020年11月21日晚上20：00，东京时间是2020年11月22日上午10：00；
（2）解，
∴在北京坐11月19日上午10：00的航班，是豪尔市11月19日凌晨5：00，
，
∴到达豪尔的时间是11月19日下午14：00．
【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
题型三：与有理数性质有关的计算问题
例3.已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________．
解析：因为|a|＝5，所以a＝－5或5，因为b的相反数为4，所以b＝－4，则a＋b＝－9或1.
解：－9或1
方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解．
【变式】若，且，那么的值是（ ）
A．5或1 B．1或 C．5或 D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义和,求出a、b的值，再代入a+b求值即可．
【详解】解：∵|a|=3,|b|=2,
∴a=±3，b=±2，
∵，
∴a=-3，b=2或a=-3，b=-2，
∴a+b=-3+2=-1或a+b=-3+（-2）=-5．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，解题时先根据绝对值的意义，求出a、b的值，然后根据a、b的关系分类讨论求解即可．
题型四：加法运算律及其应用
例4.计算：
(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．
解析：(1)把互为相反数的两数相加；(2)可把符号相同的数相加；(3)可把相加得到整数的数相加．
解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；
(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；
(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)＝(6＋4)＋(－5)＋(2)＝11＋(－3)＝8.
方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．
【变式1】绝对值小于14的所有整数的和为_________．
【答案】0
【分析】找出绝对值小于14的所有整数，求和即可．
【详解】解：绝对值小于14的所有整数有：0，，，，，，之和为0．
故答案为：0．
【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义，确定绝对值小于14的所有整数是解本题的关键，熟练掌握互为相反数的两个数为0．
【变式2】某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L
解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解．
解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)
故B地在A地正北，相距1千米；
(2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．
答：该天耗油75aL.
方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答．
【变式3】）阅读下面文字：
对于()＋()＋17＋()，
可以按如下方法计算：
原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]
＝0＋()
＝－1.
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.
【答案】-2.
【分析】读懂例题，根据例题拆项计算即可.
【详解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036
＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]
＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]
＝－2.
【点睛】本题主要考查实数的计算，必须熟练掌握，并且掌握此方法.
题型五：有理数减法法则的直接运用
例5、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
【变式】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
题型六：加减混合运算统一成加法运算
例6.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．
解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.
方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．
题型七：有理数的加减混合运算
例7.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－)．
解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)－14＝－2＋0－14＝－16；
(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.
方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．
【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.
（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
(3)
(4)
（5） （6）
【答案与解析】
（1） 26－18+5－16
=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法
=(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加
= 31+(－34)=－3
（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
=0
（3）
→同分母的数先加
（4）
→统一成加法
→整数、小数、分数分别加
（5）
→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起
（6）
→整数，分数分别加
【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换．
【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；
（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）
（4）
（5）； （6）
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72
＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23
＝0+0－1.23＝－1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11－12+13－15+16－18+17
＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)
＝57+(－45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
题型八：利用有理数加减运算解决实际问题
例9.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．
解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；
(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；则本周末河流的水位是上升了0.7米．
方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.
【答案与解析】
解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)
=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0
0表示最后小虫又回到了出发点O
答：小虫最后回到了出发地O.
（2） (+5)+(－3)＝+2；
(+5)+(－3)+(+10)＝+12；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.
因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
(3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，
由 （粒）
答：小虫一共可以得到54粒芝麻.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.
（1）问收工时距A地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？
【答案与解析】（1）求收工时距A地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A地前面，若和为负数，则在A地后面；距A地的路程均为和的绝对值.
解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)
=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)
=0+0+44+(－3)=41（千米）；
（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.
(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.
答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋 如皋市期中）如图是某市去年十二月份某一天的天气预报，该天的温差是（　　）
A．9℃ B．7℃ C．5℃ D．2℃
【分析】根据题意求出最高温度与最低温度的差即可．
【解答】解：∵最高温度是﹣2℃，最高温度是7℃，
∴7℃﹣（﹣2℃）＝9℃．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的加减法，熟知有理数的加减法则是解题的关键．
2．（2022秋 东海县月考）若＝a+b﹣c﹣d，则的值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．10 D．﹣10
【分析】根据“新定义”的运算进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
＝1+2﹣3﹣4＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加减法，掌握有理数加减法的计算方法是正确解答的前提，理解“新定义”的运算是解决问题的关键．
3．（2022秋 工业园区校级月考）计算﹣1﹣3的结果是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：﹣1﹣3
＝﹣1+（﹣3）
＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
4．（2022秋 东台市校级月考）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（　　）
A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n
【分析】根据已知条件，列出所有情况，并求出A的值，即可求得所有A的和．
【解答】解：根据题意，得m＜n，m，n的相反数为﹣m，﹣n，
则有如下三种情况：
①m，n为一组，﹣m，﹣n为另一组，此时有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；
②m，﹣m为一组，n，﹣n为另一组，此时有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；
③m，﹣n为一组，n，﹣m为另一组，此时有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．
∴所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算、绝对值和相反数．数轴上一个数所对应的点与原点的距离就叫该数的绝对值．正数的绝对值大于0，负数的绝对值是它的相反数．
5．（2022秋 如皋市校级月考）将6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改写成省略加号的和的形式是（　　）
A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2
【分析】先把有理数的减法转化为加法，然后再写成省略加号的和的形式，即可解答．
【解答】解：6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）
＝6+（﹣3）+7+（﹣2）
＝6﹣3+7﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，把有理数的减法转化为加法是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
6．（2023 泗洪县一模）计算2+（﹣3）＝　﹣1　．
【分析】根据异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．
【解答】解：原式＝﹣（3﹣1）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的加法，先确定符号，再进行绝对值的减法运算．
7．（2022秋 盐城期中）某地一天早晨的气温是﹣2℃，中午温度上升了9℃，则中午的气温是 　7　℃．
【分析】根据有理数的加法列式计算即可．
【解答】解：﹣2+9
＝7（℃），
故答案为：7．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
8．（2022秋 海安市期末）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为2，则2022+a﹣b的值为 　2024　．
【分析】由数轴上|x﹣a|+|x﹣b|表示的几何意义，求出a﹣b的值，即可得到答案．
【解答】解：∵|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为2，且a＞b，
∴a﹣b＝2，
∴2022+a﹣b
＝2022+2
＝2024，
∴2022+a﹣b的值为 2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查绝对值，有理数的减法，关键是掌握：在数轴上绝对值的几何意义．
9．（2022秋 南通期末）若两个有理数m，n满足m+n＝66，则称m，n互为顺利数．已知7x的顺利数是﹣18，则x的值是 　12　．
【分析】根据顺利数的定义列方程求解即可．
【解答】解：由顺利数的定义可知，
7x﹣18＝66，
解得x＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查有理数的加法，理解顺利数的定义是正确解答的前提．
10．（2022秋 江阴市期末）比﹣3大而比2小的所有整数的和为　﹣3　．
【分析】首先找出比﹣3大而比2小的所有整数，在进行加法计算即可．
【解答】解：比﹣3大而比2小的所有整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是找出符合条件的整数，掌握计算法则．
11．（2017秋 仪征市校级月考）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝　﹣6　．
【分析】先计算绝对值，再根据有理数减法法则计算即可．
【解答】解：23﹣|﹣6|﹣（+23）
＝23﹣6﹣23
＝﹣6．
【点评】本题考查了有理数的减法运算法则及运算顺序．注意先计算绝对值．
三．解答题（共10小题）
12．（2022秋 盐都区期中）计算：
（1）（﹣7）+（﹣5）；
（2）﹣2.8+3.2；
（3）．
【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据有理数的加法法则计算即可；
（3）根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：（1）（﹣7）+（﹣5）
＝﹣（7+5）
＝﹣12；
（2）﹣2.8+3.2
＝+（3.2﹣2.8）
＝0.4；
（3）
＝
＝﹣（）
＝．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
13．（2022秋 鼓楼区校级月考）在横线上填写每一步的运算依据：
22+（﹣4）+（﹣2）+4；
解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）　加法交换律　．
＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]　同号结合法　．
＝26+（﹣6）　有理数加法法则　．
＝20
【分析】应用有理数加法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交换律．
＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同号结合法．
＝26+（﹣6）有理数加法法则．
＝20．
故答案为：加法交换律，同号结合法，有理数加法法则．
【点评】本题主要考查了有理数加法，熟练掌握有理数的加法法则进行求解是解决本题的关键．
14．（2022秋 江阴市校级月考）已知：|a|＝4，|b|＝7，若a＞b，求a﹣b的值．
【分析】根绝绝对值的意义，a＞b确定a、b的值，再计算a﹣b．
【解答】解：因为|a|＝4，|b|＝7，得a＝±4，b＝±7．
由a＞b，所以a＝±4，b＝﹣7，
当a＝﹣4，b＝﹣7时，a﹣b＝3，
当a＝4，b＝﹣7时，a﹣b＝11．
所以a﹣b的值为3或11．
【点评】本题考查了绝对值的化简和有理数的减法．根据绝对值的意义及a＜b确定a、b的值是解决本题的关键．
15．（2022秋 宿豫区期中）计算：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）．
【分析】根据有理数的加减进行计算即可求解．
【解答】解：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）
＝﹣24+14﹣15+23
＝﹣24+23+14﹣15
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的运算法则是关键．
16．（2022秋 镇江期中）如图是三个三角形，每个三角形的顶点处都有一个“〇”，在每个“〇”中填入一个数，满足这三个三角形的3个顶点处的“〇”中的数的和都等于2．
（1）将﹣8、﹣7、﹣6、﹣4、1、3、5、9、13这9个数填入恰当的位置，使得这三个三角形的3个顶点处的“〇”中的数的和都等于2；
（2）如果将（1）中的这9个数改为﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，还能满足要求吗？如果满足，请填在“〇”中；如果不满足，请说明理由．
【分析】（1）根据有理数的加法法则解答即可；
（2）根据有理数的加法法则解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）不能，理由如下：
∵（﹣13）+（﹣9）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）+4+6+7+8
＝﹣31+25
＝﹣6，
∴如果将（1）中的这9个数改为﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，不能满足要求．
【点评】此题主要考查了数字的规律，注意观察数据之间的规律，得出三角形顶点和的规律，比较新颖．
17．（2022秋 兴化市校级月考）已知|a|＝3，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．
【分析】先确定a，b的值，再计算求解．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝7，
∴a＝±3，b＝±7，
∵a＜b，
∴a＝﹣3，b＝7或a＝3，b＝7，
当a＝﹣3，b＝7时，
a+b＝﹣3+7＝4；
当a＝3，b＝7时，
a+b＝3+7＝10，
即a+b的值是4或7．
【点评】此题考查了运用绝对值的知识解决计算问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
18．（2022秋 海安市校级月考）（1）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a﹣b+c的值．
（2）已知有理数a，b，c满足|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，求a+b﹣c的值．
【分析】（1）根据绝对值的性质先求出a＝±1，b＝±2，c＝±3，再根据a＞b＞c，分情况求出a﹣b+c的值；
（2）根据非负数的性质求出a、b、c的值．
【解答】解：（1）∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，
∵a＞b＞c，
∴①a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝0，
②a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝﹣2，
∴a+b﹣c的值是0或﹣2；
（2）∵|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，3c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝3，c＝，
∴a+b﹣c＝3．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算、非负数的性质，掌握把有理数加减法统一成加法，读懂题意是解题关键．
19．（2022秋 梁溪区校级期中）应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km
记作 +5.5km ﹣3.2km +1km ﹣1.5km ﹣0.8km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
（3）若某架飞机从地面起飞后先上升5km，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是0.6km和1.8km，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度．
【分析】（1）
【解答】解：（1）5.5﹣3.2+1﹣1.5﹣0.8＝1（km）；
答：此时这架飞机比起飞点高了1千米．
（2）（5.5+1）×4+（3.2+1.5+0.8）×2
＝6.5×4+5.5×2
＝26+11
＝37（升），
答：一共消耗37升燃油．
（3）5+0.6+1.8＝7.4km；
5+0.6﹣1.8＝3.8km；
5﹣0.6﹣1.8＝2.6km；
5﹣0.6+1.8＝6.2km；
答：飞机离地面的高度为7.4km或3.8km或2.6km或6.2km．
【点评】本题考查了有理数加减运算，正负数的应用，解题的关键是熟练掌握正负数的意义．
20．（2022秋 江阴市校级月考）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 　6　．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　|x+2|　．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 　|x﹣7|　．
③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝　6　．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 　9　．
⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 　5和﹣3　．
【分析】①利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
②利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
③利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；
④利用数形结合思想和题干中的结论将满足条件的所有整数一一列举，并把它们相加即可得出结论；
⑤利用数形结合思想和题干中的结论结合绝对值的意义解答即可．
【解答】解：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是|1﹣（﹣5）|＝6，
故答案为：6；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|，
数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为|a﹣7|，
故答案为：|x+2|；|x﹣7|；
③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的点到表示2，﹣4两点的距离之和，
∴当x在2和﹣4之间时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为|2﹣（﹣4）|＝6，
故答案为：6；
④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的点到表示﹣1，4两点的距离之和为5，
又表示﹣1，4两点的距离之和为5，
∴数x在﹣1和4之间，
∵x为整数，
∴满足条件的所有整数x的值为：﹣1，0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，
故答案为：9；
⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的点到表示﹣1，3两点的距离之和为8，
又∵3﹣（﹣1）＝4，
∴表示x的点可能在3的右侧或在﹣1的左侧，
即x＞3或x＜﹣1．
当x＞3时，
∵|x﹣3|+|x+1|＝8，
∴x﹣3+x+1＝8，
解得：x＝5；
当x＜﹣1时，
∵|x﹣3|+|x+1|＝8．
∴3﹣x﹣x﹣1＝8，
解得：x＝﹣3，
综上，满足条件的x的所有值是5和﹣3．
故答案为：5和﹣3．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值，数轴，利用数形结合的方法解答是解题的关键．
21．（2022秋 江都区校级月考）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，）都有“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 　（3，）　；
（2）若（4，b）是“共生有理数对”，则b＝　　．
（3）小丁说：“若（a，b）是‘共生有理数对’，则（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’．”小丁说的正确吗？如果正确，请验证他的说法；如果不正确，请举出反例．
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义对两个数对进行判断即可得出结论；
（2）利用“共生有理数对”的定义列出关于b的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用“共生有理数对”的定义进行验证即可．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝1，
∴2﹣1≠（﹣2）×1+1，
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
∵3﹣＝，3×+1＝，
∴3﹣＝3×+1，
∴数对（3，）是“共生有理数对”，
故答案为：（3，）；
（2）∵（4，b）是“共生有理数对”，
∴4﹣b＝4b+1，
解得：b＝，
故答案为：；
（3）小丁说的正确，理由：
∵（a，b）是‘共生有理数对’，
∴a﹣b＝ab+1．
∵﹣b﹣（﹣a）＝﹣b+a＝a﹣b＝ab+1，
∴﹣b﹣（﹣a）＝（﹣b）（﹣a）+1，
∴（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’，
∴小丁说的正确．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答是解题的关键．
一、单选题
1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）计算所得的正确结果是（　 　）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据有理数的减法即可解答．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法运算法则是求解的关键．
2．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：A
【点睛】本题考查有理数的加法，属于基础题，掌握加法法则是关键．
3．（2022秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）把写成省略加号和括号的形式后的式子（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先把运算式统一为加法运算，再省略加号与括号即可．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，省略加号和的形式的理解，解答本题的关键是省略前一定要统一为加法运算．
4．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列说法正确的有（ ）个
①在数轴上0和之间没有负数 ②有理数分为正有理数和负有理数
①绝对值是它本身的数只有0 ④两数之和一定大于每个加数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据数轴上的点与有理数的关系，有理数的分类，求一个数的绝对值，有理数的加法运算，即可一一判定
【详解】解：①在数轴上0和之间有无数个负数，故该说法错误；
②有理数分为正有理数、零和负有理数，故该说法错误；
③非负数的绝对值都是它本身，故该说法错误；
④两数之和不一定大于每个加数，如，，故该说法错误；
故正确的有0个，
故选：A
【点睛】本题考查了轴上的点与有理数的关系，有理数的分类，求一个数的绝对值，有理数的加法运算，熟练掌握和运用各概论和运算是解决本题的关键．
5．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两数相加，其和大于任何一个加数
B．异号两数相加，其和小于任何一个加数
C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零
D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号
【答案】C
【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可．
【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意；
B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意；
C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意；
D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键．
6．（2023·江苏·七年级假期作业）2022世界杯足球比赛在卡塔尔举行，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔．已知中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区，卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，则揭幕战是北京时间（ ）
A．11月20日14时 B．11月20日19时 C．11月21日19时 D．11月21日0时
【答案】A
【分析】根据有理数的加减进行计算即可求解．
【详解】解：∵卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，
，
∴揭幕战是北京时间11月20日14时
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
7．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）若两数的和为负数，则这两个数一定（ ）
A．两数同正 B．两数同负 C．两数一正一负 D．两数中一个为负数
【答案】D
【分析】根据有理数的加法运算，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．当两数同正时， 这两数的和一定为正数，故本选项不符合题意；
B．当两个数一正一负，但是负数绝对值较大时，和也可以为负数，故本选项不符合题意；
C．当两数一正一负时，这两数的和可能为正数或负数或0，故本选项不符合题意；
D．只有当两数中至少有一个为负数时，这两数的和才可能为负数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．
二、填空题
8．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）设，，且，用“”号把、、、连接起来为_______．
【答案】
【分析】根据相反数的定义和有理数加法计算法则得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，相反数的定义，有理数加法计算，正确得到是解题的关键．
9．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果正午（中午12∶00）记作0小时，午后2点钟记作+2小时，那么上午8点钟可表示为_______小时．
【答案】
【分析】因为正午记作0小时，可以理解为小时；午后2点钟记作小时，可以理解为，由此即可得答案．
【详解】解：由题意得：上午8点钟可表示为小时，即小时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
10．（2021秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）比小5的数是__________．
【答案】
【分析】用减5即可求解．
【详解】解：，
即比小5的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的减法，根据题意列出算式是解题的关键．
11．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）滨海某冬日的最高气温是，最低气温是，则该日的日温差是___________．
【答案】
【分析】根据日温差等于最高气温减去最低气温即可得．
【详解】解：该日的日温差为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．
12．（2023·江苏·七年级假期作业）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，则从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差______．
【答案】
【分析】由的含义可得每袋大米最多不超过，最少可不足，从而可得答案．
【详解】解：某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，
则从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正负数的应用，有理数的减法的实际应用，理解题意，再列式计算是解本题的关键．
13．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）在数轴上与表示的点的距离等于5的点所表示的数是_____.
【答案】或4/4或
【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案．
【详解】解：表示左边的点，比小5的数时，这个数是；
表示右边的点，比大5的数时，这个数是
故答案为或4．
【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论．
14．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）一跳蚤在一条数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落到数轴上的点表示的数为__________．
【答案】
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，
所以，当它跳第次落下时，落到数轴上的点表示的数为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的加减混合运算，理解数轴上点的移动规律是“左减右加”是解决本题的关键．
15．（2021秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为 __．
【答案】82分
【分析】求出每个数与标准的差的平均数，再加上80分，就是这五名同学的平均成绩.
【详解】这五名同学的平均成绩应为
故答案为：82分．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算.多个有理数求平均值，可以采用新数据法.掌握这种计算方法是解题的关键.
三、解答题
16．（2022秋·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据有理数的减法进行计算；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（5）根据有理数的加减混合运算进行计算；
（6）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题考查了有理数数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
17．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）（1）已知，，，且，求的值．
（2）已知有理数a，b，c满足，求的值．
【答案】（1）0或；（2）
【分析】（1）根据绝对值的意义和，求出a，b，c的值，再代值计算即可；
（2）根据绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再代值计算即可．
【详解】解：（1），，，
∴，
∵，
∴或，
∴或；
（2）∵因为，
∴．
∴．
【点睛】本题考查绝对值的意义和非负性，熟练掌握绝对值的意义和非负性是解题的关键．
18．（2022秋·江苏苏州·七年级阶段练习）有一种能得到数a符号的运算，当时，；当时，；当时，．例如，．
(1)计算：______________；
(2)如图，数轴上点A，B表示的数分别为，3，点P在数轴上移动，点P表示的数为x，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）分当时；当时；当时，；当时；当时；五种情况结合题目所给定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，有理数的加法计算，用数轴表示有理数，正确理解题意是解题的关键．
19．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：
，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？
(3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？
【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上
(2)守门员离开球门线的最远距离达19米
(3)对方球员有三次挑射破门的机会
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据有理数的加法，可得每次与球门线的距离，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据有理数的大小比较，可得答案．
【详解】（1）解：，
答：守门员最后正好回到球门线上；
（2）解：第一次10；
第二次；
第三次；
第四次；
第五次；
第六次；
第七次；
第八次；
，
答：守门员离开球门线的最远距离达19米；
（3）解：第一次；
第二次；
第三次；
第四次；
第五次；
第六次；
第七次；
第八次；
综上所述，有第三次、第五次和第七次挑射破门的机会，
答：对方球员有三次挑射破门的机会．
【点睛】本题考查了正数和负数，（1）利用了有理数的加法运算，（2）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较，（3）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较．
20．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求的值；
(2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值；
(3)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
【答案】(1)2或
(2)3或
(3)
【分析】（1）根据题意，分类讨论：①，，②，，进行计算即可得；
（2）根据题意可得：① a，b，c两负一正，②a，b，c均为正数，进行计算即可得；
（3）根据题意可得，，，则a，b，c两正一负，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴①，，
，
②，，
，
即的值为2或；
（2）解：∵，
∴①，，，
，
②a，b，c两负一正，
，
即的值为3或；
（3）解：∵，，
∴，，，
则a，b，c两正一负，
．
【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质，并分类讨论．
21．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，+8，，13，，+10，，
(1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？
(2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？
【答案】(1)B地在A地东18千米处；
(2)23千米；
(3)7升．
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据有理数的加法运算，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与原有油量的差，可得答案．
【详解】（1）解：（千米），
答：B地在A地东18千米处；
（2）第一次14千米，
第二次（千米），
第三次（千米），
第四次（千米），
第五次（千米），
第六次（千米），
第七次（千米），
第八次（千米），
，
答：最远处离出发点A有23千米；
（3）耗油量：
（升），
（升），
答：求途中还需补充7升油．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
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