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第07讲 有理数的乘法与除法（3种题型）
1．理解有理数的乘法与除法法则；
2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)
3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)
一．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
一．倒数（共7小题）
1．（2023 泗洪县三模）﹣2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．
2．（2021秋 启东市校级期中）若a的相反数等于2，则a的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
3．（2022秋 大丰区期末）若m，n互为倒数，则|mn﹣2|＝　 　．
4．（2023春 邗江区月考）2023的____是﹣2023，则横线上可填写的数学概念名词是（　　）
A．倒数 B．平方 C．绝对值 D．相反数
5．（2023 南京模拟）的相反数是 　 　，的倒数是 　 　．
6．（2022秋 邗江区期末）若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝　 　．
7．（2020秋 射阳县校级月考）|﹣3|的倒数是　 　．
二．有理数的乘法（共15小题）
8．（2015 苏州模拟）计算（﹣2）×5的结果是（　　）
A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10
9．（2022秋 邗江区校级月考）计算﹣×＝　 　．
10．（2022秋 泰州月考）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
11．（2022秋 铜山区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝6．若xy＜0，求x+y的值．
12．（2022秋 泰州月考）用简便方法计算：
（1）； （2）（﹣99）×999．
13．（2023春 无锡月考）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的a值是 　 　．
14．（2022秋 宿豫区期中）用简便方法计算：．
15．（2022秋 姜堰区期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索．
（1）如果你想的那个数是﹣2，请列式并计算结果；
（2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由．
16．（2022秋 徐州月考）已知|x|＝3，|b|＝7．若xy＜0，求x﹣y的值．
17．（2022秋 江宁区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！
（1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　 　0；
（2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　 　0；
（3）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程）
18．（2022秋 靖江市校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5．
（1）若ab＜0，求a﹣b的值；
（2）若|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值．
19．（2022秋 港闸区校级月考）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
20．（2022秋 鼓楼区期末）在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 　 　．
21．（2022秋 崇川区校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝　 　
22．（2022秋 启东市校级月考）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
三．有理数的除法（共6小题）
23．（2023 如东县一模）计算（﹣6）÷3＝（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
24．（2023 姑苏区三模）计算（﹣12）÷3的结果等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣9 D．9
25．（2023 苏州一模）化简的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
26．（2022秋 亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由；
（2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由．
27．（2022秋 玄武区期中）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则＝1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2022秋 盐都区期中）计算：
（1）； （2）；
（3）．
一、单选题
1．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）下列四个算式中运算结果为2022的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江苏·七年级统考期末）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则与的（ ）
A．和为正数 B．差为正数 C．积为正数 D．商为正数
5．（2022秋·江苏南京·七年级统考期末）如图，数轴上点所表示的数分别是，若，，则原点的位置在（ ）
A．的左边 B．线段上
C．线段上 D．线段上
6．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校联考期中）如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是（ ）
A．87 464 B．87 500 C．87 536 D．87 572
8．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）下列算式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）下列说法①若，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则；③若，则a、b均大于0；④若，则a一定为正数，其中正确的个数为（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
二、填空题
10．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）规定符号的意义为：，那么______．
11．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．
12．（2020秋·江苏常州·七年级校考期中）的相反数是______，的倒数是______．
13．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）从数，1，，任取两个数相乘，所得的结果最小的是______．
14．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考期中）今年国庆长假期间，我市新区“诚信专业修脚店”推出酬宾优惠：充500元送100元，顾客可获得价值600元的贵宾卡一张，进店消费时凭借此卡还可以享受标价折的优惠，这样两次优惠相加，持此贵宾卡的顾客消费时的实际支付款只相当于标价的__________折．
15．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________．
16．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款___________元．
三、解答题
17．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）计算：
18．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）计算：
(1)； (2)．
19．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）计算：
(1)； (2)； (3)．
20．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）先计算，再阅读材料，解决问题：
(1)计算：．
(2)认真阅读材料，解决问题：计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
21．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表为，即．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．若，，且数x、y在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______．
(2)若表示一个有理数，且，则______．
(3)当时，的最大值是______．
一、单选题
1．下列各组的两个数中，互为倒数的是（　　）
A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和
2．两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（　　　　 ）
A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数
3．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
4．在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（ ）
A． B． C．4 D．6
5．已知，试求的值不可能为（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．-1
6．一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（　　　）
A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤
7．有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
8．计算：=______．
9．直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．
10．绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．
11．________×（﹣）＝﹣1．
三、解答题
12．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．
13．学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．
14．计算
（1） （2）
15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．
（解决问题）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，
则：
所以：的值为3或-1．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；
（2）已知，，且，求的值．
16．学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：
小强：原式
小莉：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？
（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？
17．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
18．小军在计算时，使用运算律解题过程如下：
解：．
他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第07讲 有理数的乘法与除法（3种题型）
1．理解有理数的乘法与除法法则；
2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)
3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)
一．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
一．倒数（共7小题）
1．（2023 泗洪县三模）﹣2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．（2021秋 启东市校级期中）若a的相反数等于2，则a的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可．倒数：乘积是1的两数互为倒数；相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：∵a的相反数等于2，
∴a＝﹣2，
∴a的倒数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握相关的定义是解题的关键．
3．（2022秋 大丰区期末）若m，n互为倒数，则|mn﹣2|＝　1　．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数结合有理数减法以及绝对值进行求解即可．
【解答】解：∵m，n互为倒数，
∴mn＝1，
∴|mn﹣2|＝|1﹣2|＝|﹣1|＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了倒数的定义，有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
4．（2023春 邗江区月考）2023的____是﹣2023，则横线上可填写的数学概念名词是（　　）
A．倒数 B．平方 C．绝对值 D．相反数
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
5．（2023 南京模拟）的相反数是 　　，的倒数是 　﹣2　．
【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣相反数是，的倒数是﹣2．
故答案为：，﹣2．
【点评】本题考查倒数，相反数，关键是掌握倒数、相反数的定义．
6．（2022秋 邗江区期末）若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝　﹣3　．
【分析】互为倒数的两数之积为1，从而代入运算即可．
【解答】解：∵a、b是互为倒数，
∴ab＝1，
∴2ab﹣5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意互为倒数的两数之积为1．
7．（2020秋 射阳县校级月考）|﹣3|的倒数是　　．
【分析】先计算|﹣3|，再求|﹣3|的倒数．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，
∴|﹣3|的倒数是．
故答案为．
【点评】本题是基础题，考查了倒数、绝对值的概念，要熟练掌握．
二．有理数的乘法（共15小题）
8．（2015 苏州模拟）计算（﹣2）×5的结果是（　　）
A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10
【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．
【解答】解：（﹣2）×5＝﹣10．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．
9．（2022秋 邗江区校级月考）计算﹣×＝　﹣　．
【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．
【解答】解：﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
10．（2022秋 泰州月考）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．
【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，
（﹣2）×（﹣3）＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
11．（2022秋 铜山区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝6．若xy＜0，求x+y的值．
【分析】先根据绝对值的定义可求出x＝±3，y＝±6，再根据xy＜0进行分类讨论即可求解．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝6，
∴x＝±3，y＝±6，
∵xy＜0，
①x＝3，y＝﹣6，
x+y＝3+（﹣6）＝﹣3，
②x＝﹣3，y＝6，
x+y＝﹣3+6＝3，
∴x+y＝﹣3或3．
【点评】本题主要考查了绝对值和有理数的加法，掌握绝对值的定义及有理数的加法法则是解题的关键．
12．（2022秋 泰州月考）用简便方法计算：
（1）；
（2）（﹣99）×999．
【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（1）原式＝（20﹣）×（﹣8）
＝20×（﹣8）﹣×（﹣8）
＝﹣160+
＝﹣159；
（2）原式＝（1﹣100）×999
＝999﹣100×999
＝999﹣99900
＝﹣98901．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2023春 无锡月考）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的a值是 　3　．
【分析】认真仔细理解题意，根据题意可得出10（a﹣2）+（﹣a+5）＝4a，计算出a值．
【解答】解：根据题意可得，如图所示，且设方格相应的位置为x，y，
则有0+a+x＝2a﹣2，y+0+1＝﹣a+6，那么x＝a﹣2，y＝﹣a+5，再将其都代入中，
得到10（a﹣2）+（﹣a+5）＝4a，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，以及新概念的快速理解运用能力，解答的关键是根据题意列出相应的方程．
14．（2022秋 宿豫区期中）用简便方法计算：．
【分析】先把所求的算式变形为，再利用乘法分配律计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算顺序和运算法则是关键．
15．（2022秋 姜堰区期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索．
（1）如果你想的那个数是﹣2，请列式并计算结果；
（2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据给定的运算规则可得（﹣2×3+12）÷6﹣，求解即可；
（2）设这个数是x，根据题意，得，进一步化简即可．
【解答】解：（1）根据题意，
得（﹣2×3+12）÷6﹣
＝6÷6+1
＝1+1
＝2；
（2）小明说的话可信，理由如下：
设这个数是x，
根据题意，得
＝
＝2，
∴结果和x无关，是个定值，
∴小明说的话可信．
【点评】本题考查了有理数的乘法，列代数式求值，能根据题意列出代数式是解题的关键．
16．（2022秋 徐州月考）已知|x|＝3，|b|＝7．若xy＜0，求x﹣y的值．
【分析】根据条件，分别求出符合条件的x，y的值，再进行计算．
【解答】解：∵|x|＝3，|b|＝7，
∴x＝±3，b＝±7，
∵xy＜0，
∴x与y异号，
①当x＝3时，y＝﹣7，
x﹣y＝3﹣（﹣7）＝10；
②当x＝﹣3，y＝7，
x﹣y＝﹣3﹣7＝﹣10．
综上所述，x﹣y的值为10或﹣10．
【点评】本题考查了有理数的减法运算以及绝对值知识点，综合性较强，难度适中．
17．（2022秋 江宁区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！
（1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　＞　0；
（2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　＜　0；
（3）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程）
【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定；
（2）根据有理数的乘法法则即可确定；
（3）a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，②a＝0，b＝1，③a＝﹣1，b＝0，④a＝0，b＝﹣1，分别计算a+b的值即可．
【解答】解：（1）∵ab＜0，b＞0，
∴a＜0，
∵|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
故答案为：＞；
（2）∵abc＜0，ab＞0，
∴c＜0，
故答案为：＜；
（3）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，
分情况讨论：
①a＝1，b＝0，此时a+b＝1；
②a＝0，b＝1，此时a+b＝1；
③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1；
④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1，
∴a+b的值为±1．
【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论．
18．（2022秋 靖江市校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5．
（1）若ab＜0，求a﹣b的值；
（2）若|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值．
【分析】根据绝对值的定义可得a＝±2，b＝±5；
（1）根据ab＜0，分情况讨论：①a＝2，b＝﹣5，②a＝﹣2，b＝5，分别求解即可；
（2）根据|a﹣b|＝a﹣b，可得a﹣b≥0，分两种情况：①a＝2，b＝﹣5，②a＝﹣2，b＝﹣5，分别求解即可．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，
∴a＝±2，b＝±5，
（1）∵ab＜0，
①a＝2，b＝﹣5，此时a﹣b＝7，
②a＝﹣2，b＝5，此时a﹣b＝﹣7，
∴a﹣b的值为±7；
（2）∵|a﹣b|＝a﹣b，
∴a﹣b≥0，
①a＝2，b＝﹣5，此时ab＝﹣10，
②a＝﹣2，b＝﹣5，此时ab＝10，
∴ab的值为±10．
【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
19．（2022秋 港闸区校级月考）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘法法则分情况讨论即可．
【解答】解：根据题意，
当a＞0，b＞0，c＞0时，
＝2+2+2﹣1＝5；
当a＞0，b＞0，c＜0时，
＝2+2﹣2+1＝3；
当a＞0，b＜0，c＞0时，
＝2﹣2+2+1＝3；
当a＜0，b＞0，c＞0时，
＝﹣2+2+2+1＝3；
当a＜0，b＜0，c＞0时，
＝﹣2﹣2+2﹣1＝﹣3；
当a＞0，b＜0，c＜0时，
＝2﹣2﹣2﹣1＝﹣3；
当a＜0，b＞0，c＜0时，
＝﹣2+2﹣2﹣1＝﹣3；
当a＜0，b＜0，c＜0时，
＝﹣2﹣2﹣2+1＝﹣5；
综上所述，式子的所有可能的值为±3或±5．
【点评】本题考查了有理数的乘法和绝对值，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的乘法法则是解题的关键．
20．（2022秋 鼓楼区期末）在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 　4或3　．
【分析】设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，
①当x+x﹣2+x﹣6＝x时，
解得：x＝4，
∴a＝4，b＝2，c＝﹣2，
∴abc＜0，符合题意；
故a的值为：4．
②当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣2时，
解得：x＝3，
∴a＝3，b＝1，c＝﹣3，
∴abc＜0，符合题意；
故a的值为：3．
③当x+x﹣2+x﹣6＝x﹣6时，
解得：x＝1，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5；
∴abc＞0，不符合题意；
综上所述：a的值为4或3．
故答案为：4或3．
【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．
21．（2022秋 崇川区校级月考）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝　±10　
【分析】根据绝对值的意义先确定a、b的值，再计算a与b的积．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，
∴a＝±2，b＝±5．
∵|a﹣b|≥0，
∴a﹣b≥0，
∴a＝±2，b＝﹣5．
∴ab＝±2×（﹣5）＝±10．
故答案为：±10．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决本题的关键．
22．（2022秋 启东市校级月考）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
三．有理数的除法（共6小题）
23．（2023 如东县一模）计算（﹣6）÷3＝（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据有理数除法运算法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”计算即可．
【解答】解：原式＝﹣（6÷3）＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查有理数除法法则的运用，熟悉有理数除法法则是解题的关键．
24．（2023 姑苏区三模）计算（﹣12）÷3的结果等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣9 D．9
【分析】利用有理数的除法法则解答即可．
【解答】解：原式＝﹣12÷3
＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．
25．（2023 苏州一模）化简的结果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算．
【解答】解：
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则．
26．（2022秋 亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由；
（2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由．
【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，取绝对值最大且同号的2张卡片；
（2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，则取绝对值相差越大且异号的两数相除即可得到答案．
【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，可抽取﹣7和﹣3，﹣7×（﹣3）＝21；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，可抽取﹣7和1，﹣7÷1＝﹣7．
【点评】本题考查有理数的乘、除法运算，同时考查数学运算素质，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
27．（2022秋 玄武区期中）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则＝1；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故①不符合题意；
②若a、b互为倒数，则ab＝1，故②不符合题意；
③若|a|＝a，则a一定为正数或0，故③不符合题意；
④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故④符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
28．（2022秋 盐都区期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可；
（2）从左到右依次计算即可；
（3）从左到右依次计算即可．
【解答】解：（1）原式＝+（×）＝；
（2）原式＝（﹣8）×
＝﹣2；
（3）原式＝（﹣12）×（﹣）
＝10．
【点评】本题考查的是有理数的乘法与除法，熟知有理数的乘除法则是解题的关键．
一、单选题
1．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）下列四个算式中运算结果为2022的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数运算的法则逐项判断即可．
【详解】解：，故A符号题意，
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的运算，正确计算是解题的关键．
2．（2023秋·江苏·七年级统考期末）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，即可得解．
【详解】解：的倒数是2；
故选A．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积是1的两个数互为倒数，是解题的关键．
3．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数加减乘除和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：，，，
∵
∴要使算式的运算结果最小，则“”内应填入的运算符号为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，有理数比较大小，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则与的（ ）
A．和为正数 B．差为正数 C．积为正数 D．商为正数
【答案】B
【分析】根据点在数轴上的位置，判断出数的大小，进而判断出式子的符号即可．
【详解】解：由图可知：，，
A、与的和为负数，选项错误，不符合题意；
B、与的差为正数，选项正确，符合题意；
C、与的积为负数，选项错误，不符合题意；
D、与的商为负数，选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号．熟练掌握数轴上的点表示的数从左到右依次增大，是解题的关键．
5．（2022秋·江苏南京·七年级统考期末）如图，数轴上点所表示的数分别是，若，，则原点的位置在（ ）
A．的左边 B．线段上
C．线段上 D．线段上
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置得出，结合，得出或，再结合可得出原点的位置在线段上．
【详解】因为，，
所以要么，要么，
又因为，
所以，
所以原点的位置在线段上．
故选∶D．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上点的特点及有理数的乘法法则是解题的关键．
6．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
，，，，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．
7．（2023春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校联考期中）如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是（ ）
A．87 464 B．87 500 C．87 536 D．87 572
【答案】B
【分析】根据题意，列式计算即可．
【详解】解：∵每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，
∴16个阴影空格中填入的数之和是：
；
故选B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）下列算式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘、除、加、减运算法则逐一计算即可．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）下列说法①若，则a、b互为相反数；②若a、b互为倒数，则；③若，则a、b均大于0；④若，则a一定为正数，其中正确的个数为（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘法运算，绝对值的性质分别分析得出答案．
【详解】解：①若，则、互为相反数，是正确的；
②若、互为倒数，则，是正确的；
③若，则、均大于0或均小于0，题干的说法是错误的；
④若，则一定为正数或0，题干的说法是错误的．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数、倒数的定义、有理数的加法，乘法运算，绝对值的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
二、填空题
10．（2022秋·江苏盐城·七年级校考期中）规定符号的意义为：，那么______．
【答案】8
【分析】根据新定义代入计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
11．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．
【答案】 15 75
【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最小积的问题．
【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，
任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，
故答案为：15，，75，．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘法法则．
12．（2020秋·江苏常州·七年级校考期中）的相反数是______，的倒数是______．
【答案】
【分析】①先计算的值，再根据相反数的定义求解即可.
②先计算的值，再根据倒数的定义求解即可.
【详解】①∵，的相反数是
∴的相反数是.
故答案为：
②∵，的倒数是
∴的倒数是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数和倒数，掌握绝对值、相反数和倒数的定义是解题的关键.
13．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）从数，1，，任取两个数相乘，所得的结果最小的是______．
【答案】
【分析】根据异号两数相乘得负，取与相乘可得结果最小的是．
【详解】解：∵，，
，
∴任取两个数相乘，所得的结果最小的是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考期中）今年国庆长假期间，我市新区“诚信专业修脚店”推出酬宾优惠：充500元送100元，顾客可获得价值600元的贵宾卡一张，进店消费时凭借此卡还可以享受标价折的优惠，这样两次优惠相加，持此贵宾卡的顾客消费时的实际支付款只相当于标价的__________折．
【答案】
【分析】直接用除以再乘以折即可得到答案．
【详解】解：折，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
15．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________．
【答案】
【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2022秋·江苏淮安·七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款___________元．
【答案】996或1080/1080或996
【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元，分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可．
【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560×=700（元），
付款640元，实际标价为（元），
如果一次购买标价（元）的商品应付款：
（元）；
如果一次购买标价（元）的商品应付款：
（元）．
故答案是：996或1080．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性．
三、解答题
17．（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）计算：
【答案】2
【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握分配律是解题的关键．
18．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用乘法分配律计算；
（2）先算括号内的，再算括号外的．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算律和相关运算法则．
19．（2022秋·江苏盐城·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；
（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．
20．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）先计算，再阅读材料，解决问题：
(1)计算：．
(2)认真阅读材料，解决问题：计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据题目中的例子的解题方法，可以求出所求式子的值．
【详解】（1）原式
；
（2）原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法运算律，解答本题的关键是明确有理数混合运算法则．
21．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表为，即．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．若，，且数x、y在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______．
(2)若表示一个有理数，且，则______．
(3)当时，的最大值是______．
【答案】(1)14，2
(2)4
(3)8
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示的是数x到3的距离为6，则x表示的数为9或，同理可得y表示的数为或1，由此求解即可；
（2）直接去绝对值即可得到答案；
（3）先讨论去绝对值得到当，取得最小值为3，当时，取值最小值为7，再由得到，则，，由此根据有理数乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为，
∴表示的是数x到3的距离为6，
∴x表示的数为9或，
同理可得y表示的数为或1，
∵数x、y在数轴上表示的数分别是点A、点B，
∴A、B两点间的最大距离是，最小距离是，
故答案为：14，2；
（2）解：∵表示一个有理数，且，
∴，
故答案为：4；
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴当，取得最小值为3，
同理可得：当时，取值最小值为7，
∵，，，
∴，
∴，，
∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，绝对值的几何意义，去绝对值，有理数的乘法计算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
一、单选题
1．下列各组的两个数中，互为倒数的是（　　）
A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和
【答案】B
【分析】根据倒数的意义，两个数的积等于1，这两个数互为倒数，分别把每组的两个数相乘，看其积是否等于1；据此解答．
【详解】解：A、3×=-9，不是互为倒数；
B、，是互为倒数；
C、，不是互为倒数；
D、，不是互为倒数；
故选：B．
【点睛】本题是考查倒数的意义及特征，判断两个数是否是互为倒数，可以根据倒数的意义，也可看两个数的分子、分母的位置是否相反（整数看作分母为1的分数）．
2．两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（　　　　 ）
A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数
【答案】D
【分析】设这两个数分别为a，b，根据题意可得，从而可得，从而判断出a和b的关系.
【详解】设这两个数分别为a，b
依题意可得：
化简得：
∴a=b或a=-b
故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
3．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
【答案】C
【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．
【详解】解：40÷（1-80%）
=40÷20%
=200（元）
200-40=160（元）
答：他购买这件商品花了160元．
故选：C．
【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．
4．在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法以及有理数的大小比较，列出乘积最大的算式计算即可得解．
【详解】解：所得的积最大的是：．
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．已知，试求的值不可能为（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】根据可分情况，然后根据绝对值的性质进行计算．
【详解】解：∵，
∴当a＞0，b＞0时，=1+1+1=3，
当a＞0，b＜0时，=1-1-1=-1，
当a＜0，b＞0时，=-1+1-1=-1，
当a＜0，b＜0时，=-1-1-1=-3，
∴的值不可能为0，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
6．一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（　　　）
A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤
【答案】B
【分析】先根据倒数、相反数的定义可得，再根据有理数的大小比较法则即可得．
【详解】因为，且为正整数，
所以，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的大小比较法则，熟练掌握倒数与相反数的定义是解题关键．
7．有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】先根据题意确定m、n的范围，然后用列举法即可解答．
【详解】解：∵整数在内，整数在内
∴5≤m≤15，-30≤n≤-20
∴，即
∴的一切值中属于整数有-2、-3、-4、-5、-6．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，根据题意确定m、n的取值范围是解答本题的关键．
二、填空题
8．计算：=______．
【答案】-28
【分析】根据有理数的乘法法则计算．
【详解】解：
=-28，
故答案为：-28．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
9．直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．
【答案】﹣2020
【分析】根据乘法的交换和结合律，进行简便计算，即可求解．
【详解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）
＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）
＝1×（﹣2020）
＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握乘法交换律和结合律，是解题的关键．
10．绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．
【答案】0 0
【分析】根据题意写出绝对值小于2020的所有整数，然后进行求解即可．
【详解】解：∵绝对值小于2020的所有整数是：0、±1、±2、…、±2019，
∴绝对值小于2020的所有整数的和为0，积为0．
故答案为：0、0．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键．
11．________×（﹣）＝﹣1．
【答案】
【分析】根据题意直接利用倒数积为1进行分析即可得答案．
【详解】解：×（﹣）＝﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
三、解答题
12．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．
【答案】4或
【分析】先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，求解的值，再整体代入即可得到答案.
【详解】解：互为相反数，
互为倒数，
当时，
原式
当时，
原式
综上：代数式的值为或
【点睛】本题考查的是相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.
13．学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．
【答案】小方给出的答案错误；原式=﹣161．
【分析】根据题意直接利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：小方给出的答案错误；
17×（﹣9）
＝﹣[（17+）×9]
＝﹣（17×9+×9）
＝﹣161．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是正确确定积的符号并熟练掌握乘法分配律．
14．计算
（1） （2）
【答案】（1）-5；（2）
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果.
【详解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；
（2）原式=（-100+ ）×8=-800+ = .
【点睛】此题考查了利用有理数的乘法分配律进行简便计算，熟练掌握运算定律是解本题的关键．
15．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．
（解决问题）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，
则：
所以：的值为3或-1．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；
（2）已知，，且，求的值．
【答案】（1）-3或1；（2）或．
【分析】（1）根据题意因为abc＜0，可分类两种情况，a、b、c三数均为负，a、b、c只有一个负数，另两个为正数，再根据题目中给出的解题过程求解即可得出答案；
（2）根据绝对值的意义，先计算出a=±3，b=±1，根据条件a＜b求解即可得出答案．
【详解】解：（1），
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即，，时，
则：；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设，，，
则.
（2）∵，，
∴a=±3，b=±1，
∵，
∴，或，
则或.
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题的关键．
16．学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：
小强：原式
小莉：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？
（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？
【答案】（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用分配律，大大的简化了计算过程；（2）还有其它的解法，见解析．
【分析】根据计算判断小莉的解法好；
把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】解：（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用分配律，大大的简化了计算过程．
（2）还有其它的解法，．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法有关知识，选择的方法得当，能使运算简化，解题的关键是熟练掌握乘法的分配律．
17．阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：
，
所以，原式．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
18．小军在计算时，使用运算律解题过程如下：
解：．
他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正．
【答案】小军的计算是错误的，正确的结果是．解题过程见解析.
【分析】先对小括号里面的带分数进行变形，再把括号外面的除法变成乘法,再根据乘法分配律可以解答本题．
【详解】解：（1）小军的计算是错误的，正确的解题过程如下:
．
【点睛】本题考查有理数的除法运算及乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．此题的易错点是带分数的变形,与不相等.
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