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第六章　3
课后知能作业
基础巩固练
1．辘轳是古代庭院汲水的重要机械。如图，井架上装有可用手柄摇转的辘轳，辘轳上缠绕绳索，绳索一端系水桶，摇转手柄，使水桶起落，提取井水。P是辘轳边缘上的一质点，Q是手柄上的一质点，当手柄以恒定的角速度转动时( 　 )
A．P的线速度大于Q的线速度
B．P的向心加速小于Q的向心加速度
C．辘轳对P的作用力大小和方向都不变
D．辘轳对P的作用力大小不变、方向变化
解析：P、Q两质点同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr，由于P质点的半径小于Q质点的半径，则P的线速度小于Q的线速度，故A错误；根据a＝ω2r，结合上述可知，由于P质点的半径小于Q质点的半径，则P的向心加速度小于Q的向心加速度，故B正确；手柄以恒定的角速度转动时，即质点均在做匀速圆周运动，P质点受到重力与辘轳对P的作用力，根据F合＝mω2r，可知，由于合力提供向心力，合力方向时刻变化，即P质点所受外力的合力大小不变、方向变化，重力大小与方向不变，根据力的合成法则，可知，辘轳对P的作用力大小与方向均发生变化，故C、D错误。故选B。
2．机械手表中有大量精密齿轮，齿轮转动从而推动表针。某机械手表打开后盖如图甲所示，将其中两个齿轮简化，如图乙所示。已知大、小齿轮的半径之比为3∶2，Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，则P、Q两点的向心加速度大小之比为( 　 )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶2
解析：Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，两者线速度相同，根据a＝，可知P、Q两点的向心加速度大小之比为＝＝，故D正确，A、B、C错误。故选D。
3．如图所示，水平圆盘A和B通过摩擦传动正在匀速转动，它们不发生相对滑动，物块1和2分别相对静止在圆盘A和B上，圆盘B的半径是圆盘A的1.5倍，物块2做圆周运动半径是物块1的2倍，则物块1和物块2的向心加速度之比为( 　 )
A．3∶2 B．9∶4
C．9∶8 D．4∶9
解析：由题意得RA∶RB＝2∶3，圆盘A和B边缘上各点线速度相等，由ωARA＝ωBRB，解得ωA∶ωB＝3∶2，物块1和2的半径之比为r1∶r2＝1∶2，根据a＝ω2r，得物块1和物块2的向心加速度之比为a1∶a2＝ωr1∶ωr2＝9∶8，故选C。
4．如图甲为某小区出入口采用的栅栏道闸。如图乙所示，OP为栅栏道闸的转动杆，PQ为竖杆。P为两杆的交点，Q为竖杆上的点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持竖直，当杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中( 　 )
A．P点的线速度大于Q点的线速度
B．P点的角速度大于Q点的角速度
C．P点的加速度大于Q点的加速度
D．P、Q两点的路程相等
解析：由于P、Q两点在同一杆上，而且杆运动时始终保持竖直，所以在30°匀速转动到60°的过程中，两点都做半径相同的匀速圆周运动，故两点的线速度、角速度、加速度和路程都相等。故选D。
5. 如图，竖直放置的正三角形框架，绕过框架顶点的竖直轴OO′匀速转动，A、B为框架上的两点，用aA、aB分别表示A、B两点的向心加速度大小。则aA、aB的大小关系为( 　 )
A．aAB．aA＝aB
C．aA>aB
D．无法确定
解析：A、B两点绕竖直轴转动，具有相同的角速度，根据题意可知rA6. 如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则( 　 )
A．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
B．受到的合力大小为F＝
C．若运动员加速，则一定沿倾斜赛道上滑
D．若运动员减速，则一定沿倾斜赛道下滑
解析：将运动员和自行车看作一个整体，受到重力、支持力、摩擦力作用，向心力是按照力的作用效果命名的力，不是物体受到的力，故A错误；运动员骑自行车在倾斜赛道上做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供匀速圆周运动需要的向心力，所以F＝，故B正确；若运动员加速，有向上运动的趋势，但不一定沿斜面上滑，故C错误；若运动员减速，有沿斜面向下运动的趋势，但不一定沿斜面下滑，故D错误。故选B。
能力提升练
7. 某学校中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作“裱花”环节时，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕上每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上15个奶油，则下列说法正确的是( 　 )
A．圆盘转动的周期约为56 s
B．圆盘转动的角速度大小为 rad/s
C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 m/s
D．蛋糕边缘的奶油向心加速度大小约为 m/s2
解析：蛋糕一周均匀“点”上15个奶油，共有15个奶油间隔，所以圆盘转动的周期约为T＝15×4 s＝60 s，故A错误；圆盘转动的角速度大小为ω＝，代入数据得ω＝ rad/s，故B正确；蛋糕边缘的奶油线速度大小约为v＝ωR，代入数据得v＝ m/s，故C错误；蛋糕边缘的奶油向心加速度大小约为a＝ω2R，代入数据得a＝ m/s2，故D错误。故选B。
8．工地上起吊重物的吊车如图所示，在某次操作过程中，液压杆伸长，吊臂绕固定转轴O逆时针匀速转动，吊臂上有M、N两点，OM的长度与MN的长度之比为2∶3，下列关于M、N两点的说法正确的是( 　 )
A．线速度之比为2∶3
B．角速度之比为2∶3
C．向心加速度之比为2∶5
D．周期之比为2∶5
解析：吊臂上M、N两点是同轴转动，转动角速度相同，周期也相同，故B、D错误；根据公式v＝rω，可得M、N两点线速度之比为vM∶vN＝OM∶ON＝2∶(2＋3)＝2∶5，故A错误；根据向心加速度公式a＝rω2，可得aM∶aN＝OM∶ON＝2∶(2＋3)＝2∶5，故C正确。故选C。
9．如图是一种新概念自行车，它没有链条，共有三个转轮，A、B、C转轮半径依次减小。轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C转动，轮C驱动轮A转动，从而使得整个自行车沿路面前行，轮胎不打滑。下列说法正确的是( 　 )
A．转轮A、C转动方向相同，转轮A、B转动方向不相同
B．转轮A、B、C角速度之间的关系是ωA＜ωB＜ωC
C．转轮A、B、C边缘线速度之间的关系是vA＝vB＞vC
D．转轮A、B、C边缘向心加速度之间的关系是aA＞aB＞aC
解析：自行车前进时，三个轮子的转动方向是相同的，故A错误；因为轮C与轮A啮合在一起，所以轮C和轮A边缘各点的线速度大小相等，又因为轮A和轮B都是与地面接触，一起前进的，所以轮A和轮B边缘的各点线速度大小相等，即vA＝vB＝vC，又由图可知，三个轮的半径关系为RA＞RB＞RC，根据ω＝可知，ωA＜ωB＜ωC，故B正确，C错误；据a＝可知aA＜aB＜aC，故D错误。故选B。
10．摩天轮是游乐园常见的娱乐设施，如图所示，摩天轮悬挂的座舱与摩天轮一起在竖直平面内匀速转动，座舱通过固定金属杆OP连接在圆环的横杆EF上，横杆可自由转动使得OP始终保持竖直方向。当杆EF匀速转动到摩天轮最高点时，下列说法正确的是( 　 )
A．座舱的加速度为零
B．座舱上的M点与N点的角速度相等
C．座舱上的M点的线速度小于N的线速度
D．金属杆上O点的线速度小于金属杆上P点线速度
解析：座舱在做匀速圆周运动，座舱的加速度大小不为零，方向始终指向圆心，故A错误；座舱上的M点与N点都在绕摩天轮的中心轴转动，角速度相等，故B正确；座舱上的M点与N点到摩天轮的中心轴的距离相等，由v＝ωr知座舱上的M点的线速度等于N的线速度，故C错误；金属杆上O点到摩天轮的中心轴的距离大于P点到摩天轮的中心轴的距离。由v＝ωr知金属杆上O点的线速度大于金属杆上P点线速度，故D错误。故选B。
11．(多选)如图所示为摩擦传动装置，A、B、C三个轮的半径之比为1∶2∶3，B轮顺时针转动时，带动A轮和C轮转动。已知转动过程中，轮边缘间无打滑现象，下列判断正确的是( 　 )
A．A轮和C轮均逆时针转动
B．A、B、C三轮的角速度之比为6∶3∶2
C．A、B、C三轮边缘线速度之比为1∶2∶3
D．A、B、C三轮边缘某点向心加速度之比为1∶2∶1
解析：因为各轮之间是摩擦传动，所以A、B的转动方向相反，B、C的转动方向相反，故A轮和C轮均逆时针转动，故A正确；由于A、B、C之间是摩擦传动，且不打滑，故线速度大小相等，由ω＝可得A、B、C三轮的角速度之比为6∶3∶2，A、B、C三轮边缘的线速度之比为1∶1∶1，故B正确，C错误；由a＝可得，A、B、C三轮边缘某点的向心加速度之比为6∶3∶2，故D错误。故选AB。
12．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形AB(圆半径比细管的内径大得多)和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知AB部分的半径R＝1.0 m。弹射装置将一个质量为0.1 kg的小球(可视为质点)以v0＝3 m/s的水平初速度从A点射入轨道、小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度h＝0.8 m，不计受气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小；
(2)小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点与C点的距离。
答案：(1)3 rad/s　9 m/s2　(2)0.4 s　 m
解析：(1)小球在半圆轨道上做匀速圆周运动，则有v0＝ωR
代入数据得ω＝3 rad/s
a＝ω2R
代入数据得a＝9 m/s2。
(2)小球在空中做平抛运动，
竖直方向有h＝gt2，解得t＝0.4 s
落到地面D点与C点的水平距离s＝v0t
解得s＝1.2 m
D点与C点的距离为L＝
代入数据得L＝ m。
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第六章　圆周运动
3．向心加速度
核心素养 考试重点
物理观念 建立向心加速度的方向和大小的推导方法微元法的物理观念。 向心加速度的推导。
科学思维 培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质。
科学探究 体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。
科学态度
与责任 科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。
探究点 匀速圆周运动的加速度
●新知导学
情境：
探究：通过学习圆周运动和向心力知道：做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，合力指向圆心，那么物体的加速度指向如何？行星绕太阳做匀速圆周运动，行星的加速度方向如何？摩天轮做匀速圆周运动，摩天轮的加速度方向如何？加速度的大小又该怎么计算呢？
?[提示]
[提示]
加速度的方向和合力的方向一致，其大小可以根据牛顿第二定律推导，或根据加速度定义式来证明。
●基础梳理
一、向心加速度的定义
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_______，这个加速度叫作向心加速度。
圆心
ω2r
圆心
垂直
二、向心加速度的方向及意义
1．物理意义
描述线速度改变的_______，只表示线速度的_______变化的快慢，不表示其_______变化的快慢。
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。
快慢
方向
大小
三、向心加速度的公式和应用
1．公式
2．对向心加速度表达式的理解
向心加速度的几种表达式
[判断正误]
(1)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。( )
(2)匀速圆周运动是加速度不变的运动。( )
√
×
×
×
×
●重难解读
向心加速度的注意要点
(1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢。
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。包括非匀速圆周运动。但an与v具有瞬时对应性。
类型一：匀速圆周运动的加速度方向
典题1：下列关于圆周运动的说法中正确的是( 　 )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，线速度和角速度是不变的
思维点拨：理解向心加速度的定义，清楚匀速圆周运动和非匀速圆周运动的不同处。
解析：向心加速度的方向始终指向圆心，选项A正确；匀速圆周运动的加速度方向是不断变化的，加速度不是恒量，则不是匀变速曲线运动，选项B、C错误；在匀速圆周运动中，角速度是不变的，线速度的方向不断变化，则线速度不断变化，选项D错误。故选A。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”。
(2)变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
跟踪训练1：如图所示，轻质细绳上端固定于天花板上，下端拴一小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，细绳沿圆锥面旋转，这样就形成了圆锥摆。关于小球向心加速度的方向，下列说法正确的是( 　 )
A．沿绳向上　　　　　　　 B．指向圆心O
C．竖直向下 D．沿绳向下
解析：由题可知，小球所受重力和绳子拉力的合力提供向心力，方向指向圆心；向心加速度的方向与向心力方向相同，均指向圆心。故选B。
?[思考]
类型二：匀速圆周运动的加速度大小
典题2：如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是( 　 )
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
思维点拨：球体所有点的角速度都相同。
?[规律方法]
[规律方法]向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
跟踪训练2：如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙两轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( 　 )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
类型三：向心加速度公式推展
典题3：(多选)如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘上的质点，且rA＝rC＝2rB，则下列说法正确的是( 　 )
A．转速之比nB∶nC＝1∶2　　　　　　
B．周期之比TB∶TC＝1∶2
C．角速度之比ωB∶ωC＝1∶2
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
?[规律方法]
[规律方法]向心加速度公式的应用技巧
跟踪训练3：如图所示，A、B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为RA＝3RB，则两轮边缘上的点( 　 )
A．角速度之比ωA∶ωB＝3∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶3
C．转速之比nA∶nB＝1∶3
D．向心加速度之比aA∶aB＝3∶1
素养能力提升
拓展整合 启智培优
向心加速度方向的推导
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别用vA、vB表示，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，其方向由vA的箭头位置指向vB的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以Δv与vA、vB构成等腰三角形。
第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
除去课本上的向心加速度推导外还有另一种向心加速度的大小推导：
如图所示：

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