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第七章　2
课后知能作业
基础巩固练
1．一颗人造卫星在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，卫星的质量为m，卫星离地面高度为h，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：根据万有引力定律，地球对卫星的万有引力为F＝G＝G，故选A。
2．1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。若把质量为m的行星运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝，则可推得( 　 )
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力F＝
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝mr，结合开普勒第三定律T2＝，可得F＝，故A错误，C正确；由F＝，可知引力F与距离r和行星的质量m有关，行星受太阳的引力不都相同，m越大，F不一定越大，则质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。故选C。
3．飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零。已知地球与月球质量之比为k，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为( 　 )
A．k2 B．k
C． D．
解析：设地球质量与月球质量分别为M1、M2，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为r1、r2，飞船质量为m，飞船所受地球、月球引力平衡G＝G，解得＝＝，故选C。
4．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力大小为F＝G，故选D。
5．图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R2。当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人(可看作质点)便可以获得类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T。当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为( 　 )
A． B．
C． D．×
解析：人靠在外管壁上随圆管一起做圆周运动，由题意可知G＝mω2R2，解得ω＝，故选B。
6．2018年10月15日12时23分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭以“一箭双星”方式成功发射第三十九、四十颗北斗导航卫星。这两颗卫星都属于中圆轨道卫星，若已知这两颗中圆轨道卫星绕地球运动的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的倍，地球的质量是太阳质量的倍，则在相等的时间内这两颗中圆轨道卫星与地球的连线扫过的面积和地球与太阳的连线扫过的面积的比值是( 　 )
A． B．
C． D．
解析：卫星绕地球或地球绕太阳时，都是万有引力提供向心力，则G＝m，所以v＝，扇形的面积公式S＝LR＝，联立可得S＝，所以在相等的时间内这两颗中圆轨道卫星与地球的连线扫过的面积和地球与太阳的连线扫过的面积的比值＝＝，故A正确，B、C、D错误。故选A。
能力提升练
7. 如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，引力常量为G，设地球质量为M、半径为R，下列说法不正确的是( 　 )
A．地球对任意一颗卫星的引力大小为
B．任意一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为零
解析：利用万有引力公式计算，地心与卫星间的距离为r，则地球与任意一颗卫星间的引力大小为，A说法错误，B说法正确；由几何知识可知两颗卫星之间的距离为r，则两颗卫星之间的引力大小为，C说法正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两颗卫星对地球的引力之间的夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，D说法正确。故选A。
8. 有一质量为M、半径为R、质量分布均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现在球体与质点的连线上挖去半径为R的小球体(与大球体表面相切)，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：挖去小球体前，匀质大球体与质点间的万有引力为F1＝G＝；挖去的小球体的质量为M′＝M＝，被挖去部分原来对质点的引力为F2＝G＝，则剩余部分对质点的万有引力大小为F＝F1－F2＝，故选A。
9. 地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k＜1)，已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( 　 )
A． B．
C． D．
解析：如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg，由万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得球形空腔的体积V＝，故选D。
10．如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况(不考虑其他星体的影响)大致正确的是图中的( 　 )
解析：设物体质量为m′，由F＝，可知物体在连线的中点时所受的两个万有引力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为零(因为距离无穷大时万有引力为零)，而物体在其他位置时所受的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀。故选B。
11. 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为R、质量分布均匀的球体，假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中，B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应，则下列说法正确的是( 　 )
A．人在A点速度最大
B．人在B点速度最大
C．人在C点速度最大
D．人在D点速度最大
解析：根据万有引力的推论，在匀质的空腔内任意位置处，质点受到球壳的引力合力为零，即人往下运动的过程中，球壳越来越厚，对人有引力的中间球体部分越来越小。设人下落过程中离地心的距离为R，根据牛顿第二定律有ma＝G＝G＝Gρ，得加速度a＝，可知人在往地心掉落的过程中，中间球体部分的半径R减小，加速度减小，在地心处加速度为零，速度最大。故选B。
12．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，假设地球是质量分布均匀的球体，如图若在地球内挖一球形内切空腔，有一小球自切点A自由释放，则小球在球形空腔内将做( 　 )
A．自由落体运动
B．加速度越来越大的直线运动
C．匀加速直线运动
D．加速度越来越小的直线运动
解析：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，那么在地球内挖一球形内切空腔后，小球在下落过程中在任意位置受力，都等于该点到地球球心形成的新球对小球的万有引力减去该点到空腔球体球心形成新球的万有引力；设地球密度为ρ，小球下落过程中任意点到空腔球心距离为R1，到地球中心距离为R2，当小球在空心球球心以上时，则两球心的距离为r＝R2－R1，那么小球受到的合外力F＝G－G＝G－G＝πρG(R2－R1)m＝πρGrm，则小球的加速度为a＝πρGr，当小球在空心球球心以下时，则两球心的距离为r＝R2＋R1，那么小球受到的合外力F＝G－＝G＋G＝πρG(R2＋R1)m＝πρGrm，则小球的加速度为a＝πρGr，所以小球向球心运动，加速度不变，即小球在球形空腔内做匀加速直线运动。故选C。
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第七章　万有引力与宇宙航行
2．万有引力定律
核心素养 考试重点
物理
观念 构建任何物体都存在引力的物理观念，能科学地描述万有引力定律以及方向，形成相互作用观念。 1．万有引力定律的内容、推导及适用范围。
2．引力常量的测量。
3．万有引力的计算。
4．空壳内及地表下的万有引力。
科学
思维 通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性。
科学
探究 通过对万有引力的学习让学生会用物理知识来解释生活中的问题，提高分析问题解决问题的能力。
科学态度与责任 通过牛顿在前人的基础上发现万有引力的思想过程，说明科学研究的长期性、连续性及艰巨性。
探究点1 行星与太阳间的引力
●新知导学
情境：行星绕太阳运动。
探究：行星绕太阳运动的原因？
?[提示]
[提示]
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
类型：行星与太阳间的引力
典题1：(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是( 　 )
A．神圣和永恒的天体做匀速圆周运动无需原因，因为圆周运动是最完美的
B．行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力
C．牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用，行星围绕太阳运动，一定受到了力的作用
D．牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系
思维点拨：利用行星近似圆周运动去推导出了太阳与行星间的引力关系。
解析：天体做匀速圆周运动时由中心天体的万有引力充当向心力，故A错误；行星绕太阳旋转的向心力是来自太阳对行星的万有引力，故B正确；牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用，行星绕太阳运动时运动状态不断改变，一定受到了力的作用，故C正确；牛顿把地面上的动力学关系作了推广应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系，故D正确。故选BCD。
?[规律方法]
[规律方法]
将行星绕太阳的椭圆运动近似看成匀速圆周运动。在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律。
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
解析：由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故选BD。
探究点2 月—地检验
●新知导学
猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力。
1．条件：已知月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍。
(2)结论：地球对苹果、月球的吸引力是同一种力，遵从相同的规
律。
●重难解读
在牛顿的时代，人们已经能够比较精确地测定自由落体加速度，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度。计算结果与预期符合得很好。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律！牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。正是在这个过程中，力与加速度的关系在牛顿的思想中明确起来了。
类型：月—地检验
典题2：“月—地检验”为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是( 　 )
A．卡文迪什为了检验万有引力定律的正确性首次进行了“月—地检验”
B．“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速
?[规律方法]
[规律方法]月—地间的引力特点
(1)月—地间的引力大小与三个因素有关：地球质量、月球质量、月—地间的距离。月—地间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)月—地间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
?[思考]
[思考]已知自由落体加速度g为9.8 m/s2，月球中
心距离地球中心的距离为3.8×108 m，月球公转周期
为27.3 d，约2.36×106 s。根据这些数据，能否验证
前面的假设？
探究点3 万有引力定律
●新知导学
情境：如下图。
探究：(1)是什么原因使行星绕太阳运动？
(2)在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动是怎么简化处理的？用了哪些知识？
?[提示]
[提示]
(1)太阳对行星的引力使行星绕太阳运动。
(2)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。在推导过程中，用到了向心力公式、匀速圆周运动中线速度和周期的关系、开普勒第三定律及牛顿运动定律。
●基础梳理
万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的_________成反比。

2．公式：F＝___________。
(1)物理意义：数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互_______的大小。
二次方
引力
(2)适用条件：严格地说，公式只适用于_______间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，_____________可视为质点，其中r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为_______到质点间的距离。
质点
均匀的球体
球心
[判断正误]
(1)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。( )
(2)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。( )
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们之间的万有引力趋于无限大。( )
(4)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。( )
提示：太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等。
√
√
×
×
●重难解读
对万有引力定律的理解
宏观性 质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计
普适性 万有引力是普遍存在的，宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
类型：万有引力定律理解
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．自然界中任意两个物体之间都存在万有引力
D．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
思维点拨：公式只适用于质点间的相互作用，只要是实际物体其球心距离不可能为零。
?[规律方法]
[规律方法]万有引力定律的得出过程
跟踪训练3：如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( 　 )
探究点4 引力常量
●新知导学
情境：假若你与同桌的质量分别为60 kg、50 kg，相距0.5 m。一粒芝麻的质量大约是0.004 g。
探究：(1)你与同桌间的万有引力约为多少？求解时需要知道G，G是怎么知道的呢？(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
(2)芝麻粒重力约为你和同桌之间引力的多少倍？为什么万有引力没把你和同桌吸到一起？
(3)平时在对某物体受力分析时需要分析该物体受到的万有引力吗？
?[提示]
(2)芝麻粒的重力约为4.0×10－5 N，约为你和同桌之间引力的50倍。这时的引力很小，远小于人和地面间的最大静摩擦力，所以不会吸引到一起。
(3)由(1)(2)知，平常两个物体间的万有引力非常小，故在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。
●基础梳理
1．牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。
2．英国物理学家___________通过实验推算出引力常量G的值，通常情况下取G＝________________________。
卡文迪什
6.67×10－11 N·m2/kg2
●重难解读
1．1798年，英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。
2．(1)通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
(2)测定G值的意义：①证明了万有引力的存在；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
类型：对引力常量理解
典题4：如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl，则测得万有引力常数为(平面镜M扭转角度为Δθ时，反射光线扭转角度为2Δθ)( 　 )
?[规律方法]
[规律方法]
(2)任何物体间的万有引力都是同种性质的力。
(3)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对放入其中的物体的万有引力。
跟踪训练4：(多选)海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知地球质量为M，半径为R。太阳质量约为地球质量的3×105倍，太阳与地球的距离约为地球半径的2×104倍，地球质量约为月球质量的80倍，月球与地球的距离约为地球半径的60倍。对于地球上同一片质量为m的海水来说，下列说法正确的是( 　 )
C．我国农历中的“朔”是指太阳、月球和地球共线、且月球位于太阳和地球之间的月相，此时，海边容易形成大潮
D．对于同一片海水而言，地球、月球、太阳对它的引力的矢量和可能为零
探究点5 空壳内及地表下的万有引力
探究：大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小。(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)
(1)如何将不适合万有引力公式的计算转化为适合万有引力公式的计算？
(2)如何求出完整的大球体对该质点的万有引力？
?[提示]
[提示]
(1)利用“填补法”，将挖去的部分再填上，转化为适用万有引力公式。
类型：空壳内及地表下的万有引力
典题5：已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是( 　 )
思维点拨：找出x≤R和x>R物体受万有引力的关系式。
?[规律方法]
[规律方法]“填补法”在万有引力计算中的应用
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用“填补法”。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用“填补法”。
跟踪训练5：(多选)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如右图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，若被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为F1，剩余部分对m2的万有引力为F2，则( 　 )
素养能力提升
拓展整合 启智培优
万有引力的“两点理解”和“两个推论”
1．两点理解
(1)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
(2)地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。
2．星体内部万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．关于卡文迪什及其扭秤装置，下列说法中错误的是( 　 )
A．帮助牛顿发现万有引力定律
B．首次测出万有引力常量的数值
C．被誉为“第一个称出地球质量的人”
D．使万有引力定律有了实用价值
解析：牛顿提出了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤装置比较准确地测出了引力常量，被誉为“第一个称出地球质量的人”，也使万有引力定律有了实用价值。本题选择不正确的，故选A。
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
3．如图所示，A、B为不同轨道地球卫星，轨道半径rA＝rB，质量mA>mB，A、B运行周期分别为TA和TB，受到地球万有引力大小分别为FA和FB，下列关系正确的是( 　 )
A．FA>FB B．FAC．TA>TB D．TA4．如图所示，点L1和点L2称为地月连线上的拉格朗日点。在拉格朗日点处的物体在地球与月球的共同作用下，可与月球同步绕地球转动。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点L2的通信卫星，已知地球质量是月球质量的81倍，地月球心距离约为L2点与月球球心距离的6倍，则地球对“鹊桥号”中继卫星的引力与月球对“鹊桥号”中继卫星的引力大小之比约为( 　 )

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