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第12讲 一元一次方程及其解法
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元一次方程的概念； 2．了解与一元一次方程有关的概念，了解方程的基本变形在解方程中的作用。 3.掌握解一元一次方程的方法，能熟练求解数字系数的一元一次方程，了解解一元一次方程的一般步骤。
一元一次方程
1.认识一元一次方程
（1）定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，
一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
2.解简单的一元一次方程
(1) (2)
解一元一次方程——移项
；
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边；
移项的依据：等式的基本性质；移项时一般将含未知数的项向左边移，将常数项向右边移；
移项的步骤：
移项；
合并同类项；
系数化“1”
解一元一次方程——去括号
去括号法则：
括号前是“＋”号， 把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变。 ．
括号前是“－”号， 把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都改变 ．
去括号方程步骤；
去括号；
移项；
合并同类项；
系数化“1”
解一元一次方程——去分母
．
去分母的变形依据是：等式的基本性质；去分母的方法是在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。
注：（1）不能漏乘不含分母的项；（2）如果分子是多项式，去分母后，应将它看作一个整体，分子用括号括起来。
去分母步骤：
去分母；
去括号；
移项；
合并同类项；
系数化“1”。
考点一：一元一次方程的定义
例1．下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对选项一一进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B、不是整式方程，故该选项不符合题意；
C、最高次数是2，不是关于x的一元一次方程，故该选项不符合题意；
D、是关于y的一元一次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
【变式1-1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且．据此求解可得．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
故选：B．
【变式1-2】若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元一次方程
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义．
（1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可；
（2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值．
【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，原方程为，
解得．
方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，
关于的一元一次方程的解为，
将，代入方程中，得，
解得．
考点二：解一元一次方程——移项
例2 ．已知方程的解是，则k的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，熟练运用等式的性质是解题的关键．
把代入到方程中，然后根据等式的性质解方程即可．
【详解】解：将代入得，，
，
解得，，
故选：A．
【变式2-1】下列变形中属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】C
【分析】本题考查了移项，根据移项的定义，移项是从方程的一边移到方程的另一边，注意改变符号作答即可，熟练掌握移项的方法是解题的关键．
【详解】解：、由，得，是利用合并同类项步骤解方程，不属于移项，不符合题意；
、由，得，等式右边利用加法交换律，不属于移项，不符合题意；
、由，得，属于移项，符合题意；
、由，得，不属于移项，不符合题意；
故选：．
【变式2-2】方程中，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
先移项，再把的系数化为1即可．
【详解】解：，
移项得，，
的系数化为1得，．
故答案为：．
【变式2-3】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
（1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1；
（2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1．
【详解】（1）移项得，
合并同类项得；
（2）移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
考点三：解一元一次方程——去括号
例3. 将代入，去括号后，可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查代入求值和去括号，把整体代入后去括号即可解答．
【详解】解：将代入得，
去括号得，
故选A．
【变式3-1】李乐在做数学作业时，不小心将方程中■处的一个常数污染了，通过询问老师，他得知方程的解是，那么■处的常数是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案，熟记方程的解的含义是解本题的关键．
【详解】解：把代入，得：
，
解得；
故选：C．
【变式3-2】若关于的方程的解为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，根据一元一次方程的解的定义将代入得到关于的一元一次方程，求解即可．熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式3-3】解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）移项、合并同类项即得解；
（2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1即得解；
【详解】（1）解：
移项得
合并同类项得
（2）解：
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为1，得
考点四：解一元一次方程——去分母
例4．下面是某位同学解方程的解题过程，该解题过程最先出现错误的步骤是（ ）
解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项、合并同类项，得(第三步) 系数化为1，得（第四步）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．根据去分母解一元一次方程的步骤即可得到答案．
【详解】解：去分母，等式两边同时乘以，
得，
故最开始出现错误的步骤是第一步．
故选：A．
【变式4-1】解方程，去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程，方程两边同时乘以6，然后去括号即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
故选：B．
【变式4-2】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
【详解】解：，
去分母得，
去括号，
移项合并得，
解得得，
解，
移项合并得：，
解得，
由题意得：，
解得．
故答案为：．
【变式4-3】解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1得：．
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得：．
1．已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入方程，得出关于m的方程，解之可得答案．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：，
故选B．
2．要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项再运算减法，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
【答案】D
【分析】根据移项法则，等式的性质，去分母和去括号法则进行计算，判断即可．本题考查了一元一次方程的解法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．
【详解】解：A、，
，故本选项错误；
B、，
，故本选项错误；
C、，
，故本选项错误；
D、，
，故本选项正确；
故选：D．
4．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把代入方程中求出m的值即可．
【详解】解：设被墨水遮盖的数为m，
由题意得，方程的解为，
∴，
解得，
故选：C．
5．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：的解为，
将代入中，得：
∴，
再将代入中，得：
∴，
故选：A．
6．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键．
求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
∴，
解得：，
故选：D．
7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非负整数解
或，，时，的解都是非负整数
则
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
8．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【详解】方程变形得：
即，
去分母得：，
解得:x=
故选B.
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形.
9．若与互为相反数，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查相反数及解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
根据相反数的定义列得一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴
解得：，
故答案为：．
10．定义新运算“”，规定，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程，根据题中的新定义得到一元一次方，计算即可得到结果．
【详解】解：，
根据题中的新定义得：，
解得：
故答案为：
11．定义一种新运算：，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．将所求方程两边同乘，整理可得，进而可求出．
【详解】解：将所求方程两边同乘，
对照
比较发现，
，而，
所以．
故答案为：．
13．设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
或．
故答案为：或．
14．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；的解为，而．
于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解．
【详解】解： ，
，
又 为奇异方程，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可．
（2）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1求解即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项可得：，
系数化为1得：．
16．解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次方程：
（1）原方程根据去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可；
（2）原方程根据去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
去括号得，，
移项，得，，
合并，得，，
系数化为1，得：；
（2）解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并得，，
系数化为1，得：．
17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
．
(1)求所捂的多项式；
(2)若x是的解，求所捂多项式的值；
(3)若所捂多项式的值为144，请求写出x的取值．
【答案】(1)
(2)9
(3)13或
【分析】本题考查的是整式的加减、代数式求值，解题的关键是明确整式的加减的方法，运用转化的数学思想求出所求的代数式，会根据具体的的值求代数式的值，能发现题目中所求式子的值的规律，会根据规律解答问题．
（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）先求出的解，然后代入（1）中求得的所捂的多项式即可；
（3）根据题意列出方程并求出的值．
【详解】（1）
，
即所捂的多项式是；
（2）∵x是的解，
∴
∴，
∴，
即若x是的解，所捂多项式的值是9；
（3）若所捂多项式的值为144，则有，
∴，
∴x的值是13或．
18．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
(1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
(3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)0
【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据差解方程的定义进行验证即可；
（2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案；
（3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案．
【详解】（1）解：∵的解是，
∴方程是“差解方程”，
故答案为：是；
（2）∵是“差解方程”，
，
；
（3）是“差解方程”，
，
，
，
是“差解方程”，
，
，
，
．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过观察，归纳一元一次方程的概念； 2．了解与一元一次方程有关的概念，了解方程的基本变形在解方程中的作用。 3.掌握解一元一次方程的方法，能熟练求解数字系数的一元一次方程，了解解一元一次方程的一般步骤。
一元一次方程
1.认识一元一次方程
（1）定义：只含有 ，并且 ，这样的方程叫做一元一次方程.
（2）“元”是指 ，“次”是指 ，
一元一次方程满足条件：
① ;② ;③ ;④ ．
2.解简单的一元一次方程
(1) (2)
解一元一次方程——移项
；
移项：方程中的某些项 后，可以从方程的一边移到 ；
移项的依据： ；移项时一般将含未知数的项向 移，将常数项向 移；
移项的步骤：
；
；
解一元一次方程——去括号
去括号法则：
括号前是“＋”号， ．
括号前是“－”号， ．
去括号方程步骤；
；
；
；
解一元一次方程——去分母
．
去分母的变形依据是： ；去分母的方法是在方程两边都乘以各分母的 。
注：（1）不能漏乘不含 的项；（2）如果分子是多项式，去分母后，应将它看作一个 ，分子用括号括起来。
去分母步骤：
；
；
；
；
。
考点一：一元一次方程的定义
例1．下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如果方程是关于x的一元一次方程，那么n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【变式1-2】若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ．
【变式1-3】已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
考点二：解一元一次方程——移项
例2 ．已知方程的解是，则k的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】下列变形中属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【变式2-2】方程中，用含x的代数式表示y，则 ．
【变式2-3】解方程：
(1)；
(2)．
考点三：解一元一次方程——去括号
例3. 将代入，去括号后，可得（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】李乐在做数学作业时，不小心将方程中■处的一个常数污染了，通过询问老师，他得知方程的解是，那么■处的常数是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【变式3-2】若关于的方程的解为，则 ．
【变式3-3】解下列方程
(1)；
(2)．
考点四：解一元一次方程——去分母
例4．下面是某位同学解方程的解题过程，该解题过程最先出现错误的步骤是（ ）
解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项、合并同类项，得(第三步) 系数化为1，得（第四步）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【变式4-1】解方程，去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
【变式4-3】解方程：
(1)．
(2)．
1．已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）
A． B．2 C． D．
3．下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
4．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．1 B． C． D．
5．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　）
A． B． C． D．
8．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．若与互为相反数，则x的值为 ．
10．定义新运算“”，规定，若，则 ．
11．定义一种新运算：，若，则 ．
12．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
13．设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ．
14．小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为，而；的解为，而．
于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ．
15．解方程：
(1)；
(2)．
16．解方程：
(1)；
(2)
17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
．
(1)求所捂的多项式；
(2)若x是的解，求所捂多项式的值；
(3)若所捂多项式的值为144，请求写出x的取值．
18．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
(1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
(3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值．
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