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第09讲 有理数混合运算（6种题型）
会进行有理数的混合运算，合理应用运算律，进行简便运算．
一．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
二．计算器—基础知识
（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．
（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．
（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．
（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
三．计算器—有理数
计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．
（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
题型一：有理数四则混合运算
一、填空题
1．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）定义一种新运算：，则计算___________．
【答案】
【分析】根据新运算的定义代入直接计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了新运算和有理数的混合运算，理解新运算的定义是解题的关键．
二、解答题
2．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）原式结合后，相加即可求出值；
（2）原式先算乘除运算，再算加减运算即可求出值；
（3）原式先算乘除运算，再算加法运算即可求出值；
（4）原式利用减法法则变形，结合后相加即可求出值．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2023秋·江苏·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；
（2）先计算乘除法，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键．
4．（2021秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算.
（2）运用乘法分配律进行计算即可.
（3）将原式写成，再根据乘法分配律进行计算即可.
（4）倒用乘法分配律进行计算即可.
（5）先根据“除以一个数等于乘以它的倒数”，将除法运算变为乘法运算，再运用乘法分配律进行计算即可.
（6）按照有理数混合运算法则：先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里边的，进行计算即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键.
．
5．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)6
(2)5
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键．注意在解（2）时利用乘法分配律更简便．
6．（2020秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
【点睛】此题考查了有理数的四则混合运算，正确掌握有理数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
7．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）认真阅读材料后，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
，
故原式．
仿照阅读材料计算：
【答案】
【分析】根据题意的算法进行运算，即可求得结果．
【详解】解：原式的倒数是
故原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键．
8．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，，请你想一想：
(1)　 　；　 　．
(2)若，那么　 （填入“＝”或“≠”）．
(3)计算：．
【答案】(1)23，
(2)≠
(3)
【分析】（1）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）先根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则将和计算出来，再用作差法比较即可；
（3）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；；
故答案为：23，．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：≠．
（3）
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
题型二：有理数四则混合运算的应用
一、填空题
1．（2022秋·江苏·七年级开学考试）园林公司在林州大道旁种植了120棵树，有116棵成活，后来又补栽4棵，全部成活，这124棵树苗的成活率为_____
【答案】
【分析】根据成活率等于成活数除以总数再乘以计算即可．
【详解】解：．
答：成活率是．
故答案为：．
【点睛】此题属于百分率问题，明确成活率是指成活的棵数占总棵数的百分之几；要注意题中的 “全部成活”，是指后来又补种的4棵全部成活，而不是种的120棵全部成活．
二、解答题
2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）某出租车从邗江路和文昌路十字路口出发，在东西方向的文昌路上连续接送了5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km）：．
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在邗江路和文昌路十字路口什么方向，距离十字路口多少千米？
(2)后来他开车回到出发地，途中没有带到客人，若该出租车每千米耗油0.09升，那么在整个过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在整个行驶过程中，该出租车驾驶员共收到车费多少元？
【答案】(1)东3千米处
(2)2.16升
(3)57.6元
【分析】（1）求出行驶路程的代数和，利用结果的符号和数值作出判断即可；
（2）求出行驶路程的绝对值的和，利用路程和乘以每千米耗油量即可得出结论；
（3）分别计算接送每批客人的收费数额再相加即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴出租车在解放路和青年路十字路口东边，距离十字路口3千米；
（2）∵，
∴（升）．
∴在这过程中共耗油2.16升．
（3）∵接送第一批客人的收费为：9元，
接送第二批客人的收费为：（元），
接送第三批客人的收费为：（元），
送第四批客人的收费为：9元，
接送第五批客人的收费为：（元），
∴（元）．
所以在这过程中该出租车驾驶员共收到车费57.6元．
【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的运算，解题关键是明确正负数的意义，能熟练运用有理数运算法则进行计算．
3．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）新能源电动轿车越来越受现代家庭青睐．小明家买了一辆电动轿车，他连续10天记录了他家这辆轿车每天行驶的路程，以25km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：
＋3，＋1，－4，＋1，－8，＋2，－6，＋2，－3，＋2．
(1)请计算小明家这10天这辆轿车行驶的总路程；
(2)若该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，请估计小明家一个月（按30天算）电动轿车耗电费用．
【答案】(1)小明家这10天轿车行驶的路程为
(2)估计小明家一个月耗电费用为元
【分析】（1）记录数字的和再加上个即可得到结果；
（2）用（1）的结论乘以即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，”列式解答即可；
【详解】（1）解：，
，
答：小明家这10天轿车行驶的路程为．
（2）（元），
答：估计小明家一个月（按30天算）的电动轿车耗电费用为元．
【点睛】本题考查正数与负数以及有理数的加减乘除混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）小刚坐公交车去参加志愿者活动，他从南站上车，上车后发现车上连自己共有12人，经过A、B、C、D4个站点时，他观察到上下车情况如下（记上车为正，下车为负）：，，，．
(1)经过4个站点后车上还有 人；
(2)小刚发现在A、B、C、D这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），求这四站公交公司共收入多少元？
【答案】(1)17
(2)这四站公交公司共收入30.6元
【分析】（1）把所给的上下车记录相加即可得到答案；
（2）先求出4个站一共上车的人数，再根据这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），进行求解即可．
【详解】（1）解：
人，
∴经过4个站点后车上还有17人；
（2）解：人，
元，
∴这四站公交公司共收入30.6元，
答：这四站公交公司共收入30.6元．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．
5．（2020秋·江苏扬州·七年级校联考期中）某水果商店经销一种苹果，共有筐，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)这筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐多重 千克．
(2)与标准重量比较，这筐苹果总计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价元，则出售这筐苹果可卖多少元？
【答案】(1)5.5
(2)超过8千克
(3)43180元
【分析】（1）根据正负数的意义确定最重的一筐和最轻的一筐，然后利用有理数减法计算法则求解即可；
（2）把所给的记录相加，如果结果为正则超过标准重量，如果结果为负则不足；
（3）先求出这20筐苹果的总重量，然后根据可卖的钱数=单价×重量进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）．
答：最重的一筐比最轻的一筐多重千克．
（2）解：由表格可得，
（千克）．
答：与标准重量比较，筐苹果总计超过千克．
（3）解：由题意可得，
（元），
∴出售这筐苹果可卖元．
【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键．
6．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）思考下列问题并在横线上填上答案．
(1)已知数轴上有M，N两点，点M与原点的距离为2，M，N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是__________；
(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上E，F两点之间的距离是10（E在F的左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是__________，点F表示的数是__________；
(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？
【答案】(1)或或或
(2)，4
(3)8，4，24
【分析】（1）先求出点M所表示的数，进而即可求解；
（2）先求出折痕对应的数为：-1，进而即可求解；
（3）先求出A、B相遇时所花的时间，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵点M与原点的距离为2，
∴点M表示的数为：，
∵两点的距离为，
∴N表示的数为：或；或，
故答案是：或或或；
（2）∵折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，
∴折痕对应的数为：，
∵数轴上两点之间的距离是10（E在F的左侧），且两点经过上述折叠后重合，
∴点E表示的数是：，点F表示的数是：，
故答案是：，4；
（3）当三个点聚于一个点时，则A、B相遇，
运动的时间为：（秒），
此时，这一点表示的数是：，
点C在整个运动过程中，移动了：个单位．
【点睛】本题主要考查数轴上的点所表示的数，两点间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点的距离等于对应的两数之差的绝对值，是解题的关键．
7．（2022秋·江苏南通·七年级统考期中）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）．
(1)【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为______；
(2)【数学探究】
如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数；
(3)【实际应用】
一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁．
【答案】(1)3
(2)的值为8，点表示的数为，点表示的数为6
(3)
【分析】（1）根据数轴的性质列出运算式子，再计算有理数的加法即可得；
（2）先根据3根木条的长度等于14与之间的距离可求出的值，再根据数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加减法即可得；
（3）先参照（2）的思路求出爷爷比小红大岁，再利用减去即可得．
【详解】（1）解：由题意得：点表示的数为，
故答案为：3．
（2）解：由题意得：的值为，
则点表示的数为，
点表示的数为，
即的值为8，点表示的数为，点表示的数为6．
（3）解：由题意得：爷爷比小红大（岁），
则爷爷现在的年龄为（岁），
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与除法的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
题型三：程序流程图与有理数计算
一、单选题
1．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期中）按如图所示的程序运算，依次输入以下三组数据：①，：②，；③，，能使输出的结果为25的有是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】分别将三组数据代入程序流程图运算求解即可．
【详解】解：①当，时，
；
②当，时，
；
③当时，
，
能使输出的结果为25的有①③，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，有理数比较大小，正确读懂程序流程图是解题的关键．
二、填空题
2．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图所示是计算机某计算型序，若开始输入，则最后输出的结果是__________．
【答案】
【分析】直接利用运算程序，进而计算得出答案．
【详解】解：当时，，
则时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解本题的运算程序是解决本题的关键．
3．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的数值为，则输出的数值为______．
【答案】//
【分析】把x的值代入程序中计算，再根据结果输出即可．
【详解】解：把代入程序中计算得：
，
把代入程序中计算得：
．
故输出的数值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为___________．
【答案】4
【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：输入的值为1时，由图可得：；
输入可得：；
∴输出的值应为4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．
5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是___．
【答案】-11
【分析】读懂计算程序，把，代入，按计算程序计算，直到结果小于即可．
【详解】解：当输入，若小于，即为输出的数，
当时，，不小于，
因此，把再输入得，，小于，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
6．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图是一个对于正整数x的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x为 _____．
【答案】32、5、4
【分析】读懂题意，寻找规律，利用规律解决问题．
【详解】解：若第五次输出的结果为1，
则第5次输入为：2，
第4次输出为：2，
第4次输入为：4，
第3次输出为：4，
第3次输入为：8或1，
第2次输出为：8或1，
第2次输入为：16或2，
第1次输出为：16或2，
第1次输入为：32、5或4，
故答案为：32、5、4．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是读懂题意，寻找到数字变化的规律，利用规律解决问题．
三、解答题
7．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，按图中的程序进行计算.
(1)当输入的时，输出的数为______；
当输入的时，输出的数为______；
(2)若输出的数为时，求输入的整数x的值.
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】（1）根据图中的程进行列式计算，即可求解；
（2）当输出的数为时，分两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：根据运算程序可知：当输入的时，得：，
∴输入的时，输出的数为；
根据运算程序可知：当输入的时，得：；
再输入，得：，
∴输入的时，输出的数为；
故答案为：，；
（2）解：当输出的数为时，分两种情况：
第一种情况：，解得：；
第二种情况：当第一次计算结果为时，再循环一次输入的结果为，则，解得：，
综上所述，输出的数为时，求输入的整数x的值为：或.
【点睛】本题考查程序流程图与有理数的计算、绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则和解绝对值方程．
题型四：算“24”点
一、填空题
1．（2022秋·七年级单元测试）用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）：________．
【答案】3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一）
【分析】此题只要符合题的要求，得数等于24即可，答案不唯一．
【详解】解：3×4×[﹣4﹣（﹣6）]
＝12×（﹣4＋6）
＝12×2
＝24，
故答案为：3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，此题要注意要求的得数为24，而且每个数字只能用一次．
2．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是，现抽出的牌所对的数字是4，，3，，请你写出刚好凑成24的算式__________．
【答案】
【分析】利用“24点游戏”的游戏规则写出算式即可．
【详解】解：根据题意得：
=24．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022秋·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知4个有理数：，在这4个有理数之间用“”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据“24点”游戏规则列出算式即可．
【详解】解：
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解题的关键
4．（2022秋·江苏南京·七年级阶段练习）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。
【详解】解：
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算.
二、解答题
5．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）你玩过24点“游戏吗 就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24.
(1)若给你四个数3， - 5，7， - 9，请列出算式；
(2)若给你四个数5，5，5，1，请列出算式.
【答案】(1)
(2)或（答案不唯一）
【分析】（1）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得；
（2）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得．
（1）
解：；
（2）
解：或（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意并掌握有理数的混合运算．
6．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式子使结果为24．
【答案】(1)15
(2)
(3)答案不唯一，写出一个即可，如：或
【分析】(1)观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且数值最大的数，所以选 3和 5；
(2)2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分子绝对值越大越好，分母绝对值越小越好，所以就要选3和 5，且 5为分子；
(3)从五张卡片中抽出4张，用加减乘除只要答数是24即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：15；
（2）解：，
故答数为：；
（3）解：抽取 3、 5、3、4，这四张卡片，
，或
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，考查的知识点有：有理数的乘法、除法，是基础知识要熟练掌握．
7．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题：
(1)若从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，求乘积的最小值；
(2)若从中取出4张卡片，请运用所学方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24．
【答案】(1)
(2)（其它方法也可）
【分析】（1）根据题意可知，若三张卡片乘积最小，则一定为一负两正，然后根据题目中的数据，写出算式，再计算出结果即可；
（2）根据题意，可以写出结果为24的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】（1）解：由题意可得，
若三张卡片乘积最小，则一定为一负两正，
故乘积最小为：，
即乘积的最小值是；
（2）解：
=
=
=24，
即．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是___________；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是___________；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子（至少写出两种）
【答案】(1)15
(2)
(3)，（答案不唯一）
【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选和；
（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好，所以就要选和，且为分子；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，比如、、0、3，四个数，，再如：抽取、、3、4，则．
【详解】（1）解： ；
故答案为15；
（2）；
故答案为：．
（3）方法不唯一，如：抽取、、0、3，则；
如：抽取、、3、4，则．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键．
题型五：含乘方的有理数混合运算
一、解答题
1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；
（2）先算乘方与括号里的，再算乘法，最后算加减．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确计算是解题的关键．
2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）
．
【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
3．（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期末）计算：
【答案】1
【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除法，最后计算加减法．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例如：；．
(1)__________；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义依照运算顺序计算即可求出值．
【详解】（1）解：当时，；
∴；
（2）当时，，
∴，
∴
．
【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算．能读懂题意中新定义运算的含义，将新定义的运算化为普通运算是解题关键．
题型六：计算器——有理数
1．用操作计算器的方法计算（3.1×105）×（7.6×108），按的第5个键是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据计算器的运算程序的特点与计算器的解题方法，即可求得答案．
【解答】解：按照计算器的基本应用，打开计算器先按键2ndF，STAT，使计算器进入统计算状态，
用计算机求（3.1×105）×（7.6×108），按键顺序是2ndF，STAT，3， ，1，×，10，xy、…
∴按的第5个键是：1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了计算器的应用，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
2．用计算器计算230，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据计算器上各个键的功能和基本应用，即可得出答案．
【解答】解：按照计算器的基本应用，用计算器求230，按键顺序是2、xy、3、0、＝；
故选：D．
【点评】此题考查了计算器的应用，解题的关键是掌握求一个数的乘方的步骤．
3．计算器上有一个倒数键1/x，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按shift或2nd键，再按1/x键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键1/x，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：1/x﹣1＝1/x﹣1＝，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是 　 ．
【分析】设出原来输入的某数为x，则根据题意有方程＝﹣0.75，继而即可解出答案．
【解答】解：设出原来输入的某数为x，
则根据题意有方程＝﹣0.75，
解得：x＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了计算器的基础知识，难度不大，要求学生能熟练应用计算器．
4．小江利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，有如下发现：
15×15＝225＝1×2×100+25，
25×25＝625＝2×3×100+25
35×35＝1225＝3×4×100+25，
小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性．
请给出证明．
【分析】根据完全平方公式将左边展开，再将前两项分解因式即可得证．
【解答】解：左边＝（10a+5）2
＝100a2+100a+25
＝a（a+1）×100+25＝右边，
∴（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
【点评】本题主要考查有理数和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和因式分解的能力．
一．选择题（共8小题）
1．（2023 南京三模）下列算式结果为负数的是（　　）
A．﹣1+2 B．2﹣3 C．﹣1×（﹣2） D．0÷（﹣1）
【分析】计算出各个选项中式子的结果，然后和0比较大小，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：﹣1+2＝1＞0，故选项A不符合题意；
2﹣3＝﹣1＜0，故选项B符合题意；
﹣1×（﹣2）＝2＞0，故选项C不符合题意；
0÷（﹣1）＝0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2022秋 鼓楼区校级期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝m2x+ny﹣3（m，n为常数）．例如：4☆3＝m2×4+n×3﹣3＝4m2+3n﹣3．若2☆3＝3，则4☆6的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】先根据新定义得出2☆3＝m2×2+n×3﹣3＝2m2+3n﹣3＝3，计算出2m2+3n的值，再按新定义计算4☆6，将2m2+3n的值代入计算即可．
【解答】解：由题意知，2☆3＝m2×2+n×3﹣3＝2m2+3n﹣3＝3，
解得2m2+3n＝6，
因此4☆6＝m2×4+n×6﹣3＝2（2m2+3n）﹣3＝2×6﹣3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义运算、代数式求值，掌握整体代入法是关键．
3．（2022秋 高新区期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（　　）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
【分析】m对应的数字是12，12+10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．
【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
4．（2022秋 钟楼区校级月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，则﹣2m2+cd﹣（a+b）的值是（　　）
A．9 B．5 C．﹣7 D．9或5
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，且m的绝对值为2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m2＝4，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，
∴﹣2m2+cd﹣（a+b）
＝﹣2×4+1﹣×0
＝﹣8+1﹣0
＝﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出a+b＝0，cd＝1，m2＝4．
5．（2022秋 仪征市期末）若使得算式﹣1□（﹣2）的值最大时，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】本题将加，减，乘，除，四种运算符号分别代入原算式中，比较其运算结果即可．
【解答】解：﹣1+（﹣2）＝﹣3，﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1×（﹣2）＝2，，
即有：，
则方框中填入乘法符号时，结果最大，
故选：C．
【点评】本题考查有理数集中的加，减，乘，除的运算法则，熟练掌握有理数的四则运算法则是解决本题的关键．
6．（2022秋 南通期末）要使算式（﹣5）□2的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别计算（﹣5）+2＝﹣3，（﹣5）﹣2＝﹣7，（﹣5）×2＝﹣10，（﹣5）÷2＝﹣2.5，据此可得答案．
【解答】解：（﹣5）+2＝﹣3，（﹣5）﹣2＝﹣7，（﹣5）×2＝﹣10，（﹣5）÷2＝﹣2.5，
其中﹣10最小．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减、乘、除运算法则．
7．（2022秋 邗江区校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2022次“F运算”的结果是（　　）
A．16 B．5 C．4 D．1
【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当n＝34时，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次运算的结果，发现循环规律即可解答．
【解答】解：由题意可知，当n＝34时，历次运算的结果是：
＝17，3×17+1＝52，，13×3+1＝40，＝5，3×5+1＝16，＝1，3×1+1＝4，…，
故17→52→13→40→5→16→1→4→1…，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
∴当n＝34，第2022次“F运算”的结果是4．
故选：C．
【点评】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键．
8．（2022秋 钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
【分析】根据数字的变化可知，a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，根据此规律求出a即可．
【解答】解：∵23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
53＝21+23+25+27+29，
…，
∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，
∵45×（45﹣1）+1＝1981，
46×（46﹣1）+1＝2071，
∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴a＝45，
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，归纳出a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（2022秋 秦淮区期末）计算的结果是 　　．
【分析】设，化简求解即可．
【解答】解：设，
原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意把看作一个整体．
10．（2022秋 苏州期末）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．请计算以下涉及“负数”的式子的值：10﹣（﹣2）4＝　﹣6　．
【分析】先算乘方，再算减法，即可解答．
【解答】解：10﹣（﹣2）4
＝10﹣16
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2022秋 如皋市校级期末）规定如下两种运算：x y＝2xy+1；x y＝x+2y﹣1．例如：2 3＝2×2×3+1＝13；2 3＝2+2×3﹣1＝7．若a （4 5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　7　．
【分析】根据x y＝2xy+1；x y＝x+2y﹣1，a （4 5）的值为79，可以得到a的值，然后将所求式子化简，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：∵x y＝2xy+1；x y＝x+2y﹣1，a （4 5）的值为79，
∴a （4+2×5﹣1）
＝a （4+10﹣1）
＝a 13
＝2a×13+1
＝26a+1，
∴26a+1＝79，
解得a＝3，
∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]
＝3a+2（3a﹣4a+2）
＝3a+6a﹣8a+4
＝a+4
＝3+4
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
12．（2022秋 海陵区校级期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　4　．
【分析】把1代入计算程序中计算即可得到结果．
【解答】解：把1代入得：12×2﹣4＝1×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0，
把﹣2代入得：（﹣2）2×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4＞0，
故输出的值应为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算程序和运算法则是解本题的关键．
13．（2022秋 海安市期末）定义一种新运算：新定义运算a*b＝a（a﹣b）2，则2*5的结果是 　18　．
【分析】将a＝2，b＝5代入a*b＝a（a﹣b）2得出答案．
【解答】解：2*5
＝2×（2﹣5）2
＝2×（﹣3）2
＝2×9
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
14．（2022秋 泗阳县期末）若a☆b＝a﹣ab，则7☆（﹣6）＝　49　．
【分析】按照规定的运算方法，转化为有理数的混合运算，计算得出结果即可．
【解答】解：∵a☆b＝a﹣ab，
∴7☆（﹣6）＝7﹣7×（﹣6）＝7+42＝49．
故答案为：49．
【点评】此题考查有理数的混合运算，理解运算的方法和规定是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
15．（2022秋 高新区期末）计算：
（1）；
（2）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．
【分析】（1）利用乘法的分配律进行运算即可；
（2）先算乘方，再算括号里的运算，接着算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
＝﹣24×+24×﹣24×
＝﹣3+20﹣18
＝﹣1；
（2）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]
＝﹣1﹣×（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（2022秋 溧水区期末）计算．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣1+2×（﹣）
＝﹣1+（﹣3）
＝﹣4；
（2）
＝8﹣12×（﹣）
＝8+1
＝9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（2022秋 连云港期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先乘除，再进行加法运算；
（2）先乘方，再乘除，最后算减法．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2
＝2；
（2）原式＝
＝9﹣13
＝﹣4．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．
18．（2022秋 高邮市期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方，再算绝对值，最后算加减；
（2）利用乘法分配律计算即可得答案．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝4.5；
（2）
＝
＝15+4﹣14
＝5．
【点评】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
19．（2022秋 姑苏区校级期末）计算：．
【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除法，最后计算加减法．
【解答】解：
＝﹣9﹣2﹣6×（﹣2）
＝﹣9﹣2+12
＝1．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（2022秋 苏州期末）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题：
（1）该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
﹣278 ﹣703 2000 ■ ﹣80 380 1880 4580
表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏？盈亏是多少？
（2）该蛋糕店去年1～3月平均每月盈利2万元，4～6月平均每月亏损1万元，7～8月平均每月亏损2万元，9～12月平均每月盈利4万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何？
【分析】（1）根据合计的总数减去其余六天的盈亏数得出星期四的盈亏数，结果为正就是盈，结果为负就是亏，由此解答即可；
（2）该蛋糕店去年总的盈亏等于各月盈亏情况之和．
【解答】解：（1）根据表格可知，
星期四的盈亏数为：
4580﹣（﹣278）﹣（﹣703）﹣2000﹣（﹣80）﹣380﹣1880＝1381（元），
∵1381是正数，
∴星期四是盈利，盈利1381元；
（2）记盈利为正，亏损为负，
该蛋糕店去年总的盈亏数为：
2×3+（﹣1）×3+（﹣2）×2+4×4＝15（万元），
∴该蛋糕店去年总共盈利15万元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解决本题的关键是要正确确定题目中的等量关系．
21．（2022秋 南通期末）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：km）：
+3，+1，﹣2，+9，﹣8，+2，﹣4，+5，﹣3，+2．
（1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程；
（2）若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用．
【分析】（1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果；
（2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可．
【解答】解：（1）3+1﹣2+9﹣8+2﹣4+5﹣3+2＝5（km）
20×10+5＝205（km），
答：小明家这10天轿车行驶的路程为205km．
（2）205×3÷100×7×8＝344.4（元），
答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为344.4元．
【点评】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
22．（2022秋 邗江区期末）定义一种新运算“ ”：a b＝2a﹣ab，比如1 （﹣3）＝2×1﹣1×（﹣3）＝5．
（1）求（﹣2） 3的值；
（2）若（﹣3） x＝（x+1） 5，求x的值．
【分析】（1）按照定义新运算a b＝2a﹣ab，求解即可．
（2）先按照定义新运算a b＝2a﹣ab，用x的代数式表示（﹣3） x和（x+1） 5，得到一元一次方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵a b＝2a﹣ab，
∴（﹣2） 3＝2×（﹣2）﹣（﹣2）×3＝2；
（2）∵a b＝2a﹣ab，
∴（﹣3） x＝2×（﹣3）﹣（﹣3）x＝﹣6+3x，
（x+1） 5＝2×（x+1）﹣5（x+1）＝﹣3x﹣3，
∴﹣6+3x＝﹣3x﹣3
解得 x＝．
因此x的值为．
【点评】本题考查了新定义运算，解决此类探究性问题，关键在于观察，分析已知数据，寻找它们之间的互相联系，探寻分析得到它的运算规律．
23．（2022秋 泰兴市期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+|m﹣n|；当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣|m﹣n|，
（1）当m＝2，n＝4时，求m⊙n的值．
（2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子3（a﹣b）+a+b﹣8的值．
（3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．
【分析】（1）根据新定义的运算进行求解即可；
（2）根据新定义的运算进行求解即可；
（3）根据新定义的运算进行求解即可．
【解答】解：（1）∵m＝2，n＝4，
∴m+n＝6，
∴m⊙n
＝2|m+n|+|m﹣n|
＝2|2+4|+|2﹣4|
＝2×6+2
＝12+2
＝14；
（2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1，
∴2a﹣1必为奇数，
∵（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，a、b为正整数，
∴2|a﹣b+a+b﹣1|﹣|a﹣b﹣（a+b﹣1）|＝7，
2|2a﹣1|﹣|﹣2b+1|＝7，
2（2a﹣1）﹣2b+1＝7，
4a﹣2﹣2b+1＝7，
4a﹣2b＝8，
2a﹣b＝4，
∴3（a﹣b）+a+b﹣8
＝3a﹣3b+a+b﹣8
＝4a﹣2b﹣8
＝8﹣8
＝0；
（3）∵a+a＝2a，必为偶数，
∴a⊙a
＝2|a+a|+|a﹣a|
＝4a；
∴当a为偶数时，4a+a＝5a，也为偶数，
（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，
（4a）⊙a＝180﹣5a，
2|4a+a|+|4a﹣a|＝180﹣5a，
10a+3a＝180﹣5a，
解得：a＝10；
当a为奇数时，4a+a＝5a，也为奇数，
（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，
（4a）⊙a＝180﹣5a，
2|4a+a|﹣|4a﹣a|＝180﹣5a，
10a﹣3a＝180﹣5a，
解得：a＝15．
综上所述，a的值为10或15．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，对相应的运算法则的掌握．
24．（2022秋 兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；
（﹣3）※（+4）＝﹣7：（+5）※（﹣6）＝﹣11；
0※（+8）＝8；0※（﹣8）＝8；（﹣6）※0＝6；（+6）※0＝6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
①※＝　　，※（+1）＝　1　；
（2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
【分析】（1）利用新定义的运算进行求解即可；
（2）利用新定义的运算进行求解即可；
（3）利用新定义进行验证．
【解答】解：（1）①（﹣）※（﹣）＝，
（﹣）※（+1）＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（2）（﹣2）※[0※（﹣1）]
＝（﹣2）※（+1）
＝﹣3；
（3）交换律成立，
例如：0※（﹣8）＝8；（﹣8）※0＝8，
∴0※（﹣8）＝（﹣8）※0；
结合律成立，
例如：（﹣2）※[0※（﹣1）]＝（﹣2）※（+1）＝﹣3；
[（﹣2）※0]※（﹣1）＝（+2）※（﹣1）＝﹣3；
∴（﹣2）※[0※（﹣1）]＝﹣[（﹣2）※0]※（﹣1）；
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
一．选择题（共5小题）
1．下列计算：
①0﹣（﹣5）＝﹣5
②（﹣3）+（﹣9）＝﹣12
③×（﹣）＝﹣
④（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4
⑤（﹣3）3＝﹣9．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：①0﹣（﹣5）＝0+5＝5，错误；
②（﹣3）+（﹣9）＝﹣12，正确；
③×（﹣）＝﹣，正确；
④（﹣36）÷（﹣9）＝4，错误；
⑤（﹣3）3＝﹣27，错误，
其中正确的有2个，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列计算中，结果最小的是（　　）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣1× D．﹣1÷
【分析】分别计算然后比较大小．
【解答】解：A．﹣1+＝﹣．
B．﹣1﹣＝﹣．
C．﹣1×＝﹣．
D．﹣1＝﹣1×3＝﹣3．
﹣3＜﹣＜﹣＜﹣．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的运算及比较大小,解题关键是熟练掌握有理数运算法则，掌握绝对值大的负数反而小．
3．计算22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2
＝4+2×2×（﹣3）+9
＝4﹣12+9
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
4．（﹣2）101+（﹣2）100值为（　　）
A．2100 B．2101 C．﹣2100 D．﹣2101
【分析】利用提公因式法，进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100
＝（﹣2）100×（﹣2）+（﹣2）100×1
＝（﹣2）100×[（﹣2）+1]
＝（﹣2）100×（﹣1）
＝2100×（﹣1）
＝﹣2100，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
5．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a2019+b2020等于（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．2或0
【分析】直接利用互为倒数以及互为相反数的定义得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵有理数a等于它的倒数，
∴a＝±1，
∵有理数b等于它的相反数，
∴b＝0，
则a2019+b2020＝（±1）2019+0＝±1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算、倒数、相反数的定义，正确得出a，b的值是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．计算2﹣2×（﹣4）的结果是 　　．
【分析】先算乘法，再算减法即可求解．
【解答】解：2﹣2×（﹣4）
＝2﹣（﹣8）
＝2+8
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
7．计算：2﹣2÷＝　　．
【分析】原式先算除法，再算减法即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣2×2
＝2﹣4
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．计算（﹣1）2021+（﹣1）2022的结果等于 　　．
【分析】根据负数的奇数次方为负，偶数次方为正，对所求的式子进行运算即可．
【解答】解：（﹣1）2021+（﹣1）2022
＝﹣1+1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是明确负数的奇数次方为负，偶数次方为正．
9．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，则的值是 　 ．
【分析】先根据相反数的性质和倒数的定义得出a+b＝0，cd＝1，再代入计算即可．
【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
则原式＝﹣﹣（﹣1）2021
＝0﹣2021+1
＝﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及相反数的性质和倒数的定义．
10．根据如图的程序计算，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　　．
【分析】根据图中的程序，将x＝﹣1代入求出相应的数值，然后与0比较大小，如果大于0就输出，如果小于0，再代入图中的程序计算，直到结果大于0即可．
【解答】解：由图中的程序可得，
当x＝﹣1时，2x2﹣4＝2×（﹣1）2﹣4＝﹣2＜0，
当x＝﹣2时，2x2﹣4＝2×（﹣2）2﹣4＝4＞0，
故输出的y的值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题目中的程序，计算出相应的数值．
三．解答题（共5小题）
11．计算：（﹣2）3÷22﹣|﹣|×（﹣102）．
【分析】原式先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加法即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣8÷4﹣×（﹣100）
＝﹣2+25
＝23．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行．
12．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加法的运算律进行求解可以更简便；
（2）先算乘方，把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律求解，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
＝3+0.25+（﹣7）+0.75
＝3﹣7+（0.25+0.75）
＝3﹣7+1
＝﹣4+1
＝﹣3；
（2）
＝2﹣（）×12
＝2﹣（﹣+）
＝2﹣（3﹣4+2）
＝2﹣1
＝1．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．计算：
（1）﹣42×（﹣3）﹣10；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法，最后计算减法即可．
（2）首先计算中括号里面的乘方和加法，然后计算中括号外面的乘法和除法即可．
【解答】解：（1）﹣42×（﹣3）﹣10
＝﹣16×（﹣3）﹣10
＝48﹣10
＝38．
（2）
＝×[（﹣2）2+2]÷6
＝×（4+2）÷6
＝×6÷6
＝9÷6
＝．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
14．计算：
（1）﹣20+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）﹣2.5×（﹣）；
（3）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（4）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）3+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．
【分析】（1）先去括号，再计算加减法即可求解；
（2）将小数变为分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）﹣20+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）
＝﹣20+3+5﹣7
＝﹣19；
（2）﹣2.5×（﹣）
＝××
＝1；
（3）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15
＝2×（﹣27）+12+15
＝﹣54+12+15
＝﹣27；
（4）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）3+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）
＝﹣8+（﹣3）×（﹣64+2）﹣9÷（﹣2）
＝﹣8+（﹣3）×（﹣62）+4.5
＝﹣8+186+4.5
＝182.5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
15．气象资料表明，高度每增加1000m，气温大约下降6℃．
（1）某山峰高1700m，当山脚的温度为18℃时，求山顶气温；
（2）为估算某山峰的高度，两名研究人员同时在上午10点测得山脚和山顶的气温分别为9℃和﹣3℃，请估算此山峰的高度是多少米？
【分析】（1）根据“高度每增加1000m，气温大约下降6℃”先列出算式，再计算值；
（2）根据“气温差除以6乘1000”，先列算式，再求值．
【解答】解：（1）18﹣×1700
＝18﹣10.2
＝7.8（℃）．
答：山顶气温是7.8℃．
（2）[9﹣（﹣3）]÷6×1000＝2000（m）．
答：此山峰的高度是2000m．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式是解决本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第09讲 有理数混合运算（6种题型）
会进行有理数的混合运算，合理应用运算律，进行简便运算．
一．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
二．计算器—基础知识
（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．
（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．
（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．
（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
三．计算器—有理数
计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．
（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　
（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．
（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可．
（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可
注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．
题型一：有理数四则混合运算
一、填空题
1．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）定义一种新运算：，则计算___________．
二、解答题
2．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
3．（2023秋·江苏·七年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
4．（2021秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
5．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）计算：
(1)； (2)；
6．（2020秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
7．（2022秋·江苏徐州·七年级统考阶段练习）认真阅读材料后，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
，
故原式．
仿照阅读材料计算：
8．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
，，，请你想一想：
(1)　 　；　 　．
(2)若，那么　 （填入“＝”或“≠”）．
(3)计算：．
题型二：有理数四则混合运算的应用
一、填空题
1．（2022秋·江苏·七年级开学考试）园林公司在林州大道旁种植了120棵树，有116棵成活，后来又补栽4棵，全部成活，这124棵树苗的成活率为_____
二、解答题
2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）某出租车从邗江路和文昌路十字路口出发，在东西方向的文昌路上连续接送了5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km）：．
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在邗江路和文昌路十字路口什么方向，距离十字路口多少千米？
(2)后来他开车回到出发地，途中没有带到客人，若该出租车每千米耗油0.09升，那么在整个过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在整个行驶过程中，该出租车驾驶员共收到车费多少元？
3．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）新能源电动轿车越来越受现代家庭青睐．小明家买了一辆电动轿车，他连续10天记录了他家这辆轿车每天行驶的路程，以25km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：
＋3，＋1，－4，＋1，－8，＋2，－6，＋2，－3，＋2．
(1)请计算小明家这10天这辆轿车行驶的总路程；
(2)若该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，请估计小明家一个月（按30天算）电动轿车耗电费用．
4．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）小刚坐公交车去参加志愿者活动，他从南站上车，上车后发现车上连自己共有12人，经过A、B、C、D4个站点时，他观察到上下车情况如下（记上车为正，下车为负）：，，，．
(1)经过4个站点后车上还有 人；
(2)小刚发现在A、B、C、D这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），求这四站公交公司共收入多少元？
5．（2020秋·江苏扬州·七年级校联考期中）某水果商店经销一种苹果，共有筐，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
(1)这筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐多重 千克．
(2)与标准重量比较，这筐苹果总计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价元，则出售这筐苹果可卖多少元？
6．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）思考下列问题并在横线上填上答案．
(1)已知数轴上有M，N两点，点M与原点的距离为2，M，N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是__________；
(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上E，F两点之间的距离是10（E在F的左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是__________，点F表示的数是__________；
(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？
7．（2022秋·江苏南通·七年级统考期中）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）．
(1)【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为______；
(2)【数学探究】
如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数；
(3)【实际应用】
一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁．
题型三：程序流程图与有理数计算
一、单选题
1．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期中）按如图所示的程序运算，依次输入以下三组数据：①，：②，；③，，能使输出的结果为25的有是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
2．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图所示是计算机某计算型序，若开始输入，则最后输出的结果是__________．
3．（2020秋·江苏扬州·七年级校考期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的数值为，则输出的数值为______．
4．（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为___________．
5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是___．
6．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图是一个对于正整数x的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x为 _____．
三、解答题
7．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，按图中的程序进行计算.
(1)当输入的时，输出的数为______；
当输入的时，输出的数为______；
(2)若输出的数为时，求输入的整数x的值.
题型四：算“24”点
一、填空题
1．（2022秋·七年级单元测试）用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）：________．
2．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是，现抽出的牌所对的数字是4，，3，，请你写出刚好凑成24的算式__________．
3．（2022秋·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）已知4个有理数：，在这4个有理数之间用“”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是___________．
4．（2022秋·江苏南京·七年级阶段练习）算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是____．
二、解答题
5．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）你玩过24点“游戏吗 就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24.
(1)若给你四个数3， - 5，7， - 9，请列出算式；
(2)若给你四个数5，5，5，1，请列出算式.
6．（2022秋·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式子使结果为24．
7．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题：
(1)若从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，求乘积的最小值；
(2)若从中取出4张卡片，请运用所学方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24．
8．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是___________；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是___________；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子（至少写出两种）
题型五：含乘方的有理数混合运算
一、解答题
1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）计算
(1) (2)
2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）计算：
(1)； (2)．
3．（2023秋·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期末）计算：
4．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校考阶段练习）计算：．
5．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期中）设a、b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例如：；．
(1)__________；
(2)求；
题型六：计算器——有理数
1．用操作计算器的方法计算（3.1×105）×（7.6×108），按的第5个键是（　　）
A． B． C． D．
2．用计算器计算230，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．计算器上有一个倒数键1/x，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按shift或2nd键，再按1/x键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键1/x，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：1/x﹣1＝1/x﹣1＝，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是 　 ．
4．小江利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，有如下发现：
15×15＝225＝1×2×100+25，
25×25＝625＝2×3×100+25
35×35＝1225＝3×4×100+25，
小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．
但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性．
请给出证明．
一．选择题（共8小题）
1．（2023 南京三模）下列算式结果为负数的是（　　）
A．﹣1+2 B．2﹣3 C．﹣1×（﹣2） D．0÷（﹣1）
2．（2022秋 鼓楼区校级期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝m2x+ny﹣3（m，n为常数）．例如：4☆3＝m2×4+n×3﹣3＝4m2+3n﹣3．若2☆3＝3，则4☆6的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022秋 高新区期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（　　）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
4．（2022秋 钟楼区校级月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，则﹣2m2+cd﹣（a+b）的值是（　　）
A．9 B．5 C．﹣7 D．9或5
5．（2022秋 仪征市期末）若使得算式﹣1□（﹣2）的值最大时，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
6．（2022秋 南通期末）要使算式（﹣5）□2的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
7．（2022秋 邗江区校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2022次“F运算”的结果是（　　）
A．16 B．5 C．4 D．1
8．（2022秋 钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
二．填空题（共6小题）
9．（2022秋 秦淮区期末）计算的结果是 　 　．
10．（2022秋 苏州期末）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．请计算以下涉及“负数”的式子的值：10﹣（﹣2）4＝　 　．
11．（2022秋 如皋市校级期末）规定如下两种运算：x y＝2xy+1；x y＝x+2y﹣1．例如：2 3＝2×2×3+1＝13；2 3＝2+2×3﹣1＝7．若a （4 5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 　．
12．（2022秋 海陵区校级期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　 　．
13．（2022秋 海安市期末）定义一种新运算：新定义运算a*b＝a（a﹣b）2，则2*5的结果是 　 　．
14．（2022秋 泗阳县期末）若a☆b＝a﹣ab，则7☆（﹣6）＝　 　．
三．解答题（共10小题）
15．（2022秋 高新区期末）计算：
（1）； （2）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．
16．（2022秋 溧水区期末）计算．
（1）； （2）．
17．（2022秋 连云港期末）计算：
（1）； （2）．
18．（2022秋 高邮市期末）计算：
（1）； （2）．
19．（2022秋 姑苏区校级期末）计算：．
20．（2022秋 苏州期末）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题：
（1）该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
﹣278 ﹣703 2000 ■ ﹣80 380 1880 4580
表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏？盈亏是多少？
（2）该蛋糕店去年1～3月平均每月盈利2万元，4～6月平均每月亏损1万元，7～8月平均每月亏损2万元，9～12月平均每月盈利4万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何？
21．（2022秋 南通期末）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：km）：
+3，+1，﹣2，+9，﹣8，+2，﹣4，+5，﹣3，+2．
（1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程；
（2）若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用．
22．（2022秋 邗江区期末）定义一种新运算“ ”：a b＝2a﹣ab，比如1 （﹣3）＝2×1﹣1×（﹣3）＝5．
（1）求（﹣2） 3的值；
（2）若（﹣3） x＝（x+1） 5，求x的值．
23．（2022秋 泰兴市期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+|m﹣n|；当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣|m﹣n|，
（1）当m＝2，n＝4时，求m⊙n的值．
（2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子3（a﹣b）+a+b﹣8的值．
（3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．
24．（2022秋 兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；
（﹣3）※（+4）＝﹣7：（+5）※（﹣6）＝﹣11；
0※（+8）＝8；0※（﹣8）＝8；（﹣6）※0＝6；（+6）※0＝6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
①※＝　 　，※（+1）＝　 　；
（2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
一．选择题（共5小题）
1．下列计算：
①0﹣（﹣5）＝﹣5
②（﹣3）+（﹣9）＝﹣12
③×（﹣）＝﹣
④（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4
⑤（﹣3）3＝﹣9．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算中，结果最小的是（　　）
A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．﹣1× D．﹣1÷
3．计算22+2×2×（﹣3）+（﹣3）2的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（﹣2）101+（﹣2）100值为（　　）
A．2100 B．2101 C．﹣2100 D．﹣2101
5．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a2019+b2020等于（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．2或0
二．填空题（共5小题）
6．计算2﹣2×（﹣4）的结果是 　　．
7．计算：2﹣2÷＝　　．
8．计算（﹣1）2021+（﹣1）2022的结果等于 　　．
9．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，则的值是 　 ．
10．根据如图的程序计算，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　　．
三．解答题（共5小题）
11．计算：（﹣2）3÷22﹣|﹣|×（﹣102）．
12．计算：
（1）； （2）．
13．计算：
（1）﹣42×（﹣3）﹣10； （2）．
14．计算：
（1）﹣20+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）； （2）﹣2.5×（﹣）；
（3）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
（4）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）3+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．
15．气象资料表明，高度每增加1000m，气温大约下降6℃．
（1）某山峰高1700m，当山脚的温度为18℃时，求山顶气温；
（2）为估算某山峰的高度，两名研究人员同时在上午10点测得山脚和山顶的气温分别为9℃和﹣3℃，请估算此山峰的高度是多少米？
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