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第三节　单摆
学 习 目 标 思 维 导 图
1.知道什么是单摆． 2.理解单摆振动回复力的来源及做简谐运动的条件． 3.知道单摆周期的决定因素，掌握单摆的周期公式．
知识点一　单摆及单摆的回复力
【情境导学】
摆钟的钟摆在摆动时是做简谐运动，做简谐运动的物体一定受到回复力的作用，是什么力作为钟摆的回复力呢？摆钟的钟摆摆到最低点时，回复力为零，合外力为零吗？
【知识梳理】
1．单摆
(1)概念：如果悬挂物体的绳子的________和________可以忽略不计，绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆．
(2)若单摆的摆角________，单摆摆球的摆动可近似看成简谐运动．
2．单摆的回复力
重力mg沿圆弧切线方向的分力F为单摆摆球的回复力，得F＝________， 在偏角很小(小于5°)时，有sin θ≈________，则单摆所受的回复力F≈________，可见单摆的摆动在摆角很小时是________.
状元随笔　 不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．
【重难突破】
1．实际的摆可以看成单摆的条件
(1)形变要求：当摆线的形变量比摆线的长度小得多时，摆线的伸缩可以忽略．可把摆线看成不可伸长的线．
(2)质量要求：摆线质量与摆球质量相比小得多，这时可以认为摆线是没有质量的．
(3)长度要求：摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略时，可把摆球看成质点．
(4)受力要求：忽略摆动过程中摆球所受空气阻力的作用．
2．单摆的受力特点
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ为单摆摆球的回复力．
例1 图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C点之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
【变式训练1】　(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
知识点二　单摆的周期公式
【情境导学】
(1)发现摆钟走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
(2)将走时准确的摆钟，由赤道拿到两极，走时还准吗？
【知识梳理】
1．探究影响单摆周期的因素
如图所示，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期.
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下).
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同.
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同.
比较三种情况下两摆的周期，可以得出：在摆角很小的情况下，单摆的周期与摆球质量和摆角________(选填“有关”或“无关”)，与单摆摆长有关．即T∝________．
2．周期公式：1659年，荷兰物理学家惠更斯在研究单摆的振动时，发现摆球做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成________，跟重力加速度g的二次方根成________，用公式表示为T＝________.
①单摆的简谐运动周期与装置的固有因素________，与外界条件________；(均选填“有关”或“无关”)
②单摆的简谐运动周期也叫作单摆的________；
③弹簧振子的简谐运动周期和频率也是固有的，与弹簧的劲度系数和小球的质量________(选填“有关”或“无关”)．
【重难突破】
对单摆的周期公式的理解
由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长L和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期．
(1)摆长L
①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即L＝L0＋，L0为摆线长，d为摆球直径．
②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为L·sin α，这就是等效摆长．其周期T＝2π.图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
(2)重力加速度g
若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．不同地点g的取值不同．
例2 做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　)
A．周期不变，振幅不变
B．周期不变，振幅变小
C．周期改变，振幅不变
D．周期改变，振幅变大
【变式训练2】　图甲为生活中常见的一种摆钟，图乙为摆钟内摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在龙岩走时准确的摆钟移到北京，要使摆钟仍然走时准确，则(　　)
A．因摆钟周期变大，应将螺母适当向上移动
B．因摆钟周期变大，应将螺母适当向下移动
C．因摆钟周期变小，应将螺母适当向上移动
D．因摆钟周期变小，应将螺母适当向下移动
随堂自主检测
1．(多选)关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A．单摆摆球的回复力指向平衡位置
B．摆球经过平衡位置时加速度为零
C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是下图中的(　　)
3．(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　)
A．单摆的回复力是重力的分力
B.单摆的摆角小于5°，可看作简谐运动
C．单摆的振幅不论多大，其周期均为T＝2π
D．单摆的振动是变加速运动
4．一单摆由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　)
A．g甲＞g乙，将摆长缩短
B．g甲＜g乙，将摆长放长
C．g甲＜g乙，将摆长缩短
D．g甲＞g乙，将摆长放长
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第三节　单摆
知识点一
情境导学
提示：重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，合外力不为零．
知识梳理
1．(1)伸缩　质量　(2)小于5°
2．mg sin θ　　－mg　简谐运动
重难突破
[例1]　解析：摆球在摆动过程中，在最高点A、C点处速度为零，回复力最大，合力不为零，A、B错误；在最低点B点处，速度最大，回复力为零，细线的拉力也最大，C错误，D正确．
答案：D
【变式训练1】　解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误．
答案：ABC
知识点二
情境导学
提示：(1)调整摆锤下面的螺母，可以改变摆的摆长，从而改变摆的周期，以调整摆钟的走时快慢．　 (2)不准了．
知识梳理
1．(3)无关　
2．正比　反比　2π　①有关　无关　②固有周期
③有关
重难突破
[例2]　解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减为原来的，由于振动过程中机械能守恒，则有mgh＝mv2，则有2gh＝v2，据此式可知，速度变小，高度减小，所以偏离平衡位置的最大距离变小，即振幅变小，B正确．
答案：B
【变式训练2】　解析：由龙岩到北京，重力加速度变大，因T＝2π，可知周期变小，则要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，D正确 .
答案：D
随堂自主检测
1．解析：根据回复力的特点可知摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，A正确；摆球经过平衡位置时，由于做圆周运动，故存在向心加速度，B错误；摆球运动到平衡位置时，回复力等于零，C正确；摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，D错误．
答案：AC
2．解析：不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最底端运动速度最快，细沙漏到地面上的最少，两端漏斗运动速度最慢，细沙漏到地面上的最多，B正确，A、C、D错误．
答案：B
3．解析：单摆的回复力是重力的切向分力，A正确；单摆做简谐运动的条件是摆角很小，不超过5°，B正确；单摆做简谐运动周期T＝2π，要求摆角很小，不超过5°，C错误；单摆振动过程中加速度不断变化，是变加速运动，D正确．
答案：ABD
4．解析：根据单摆的周期公式T＝2π，知走时变快了，则周期变小了，说明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g甲＜g乙，为了增大周期，可以增大摆长，B正确．
答案：B
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第三节　单摆
学 习 目 标 思 维 导 图
1.知道什么是单摆．
2.理解单摆振动回复力的来源及做简谐运动的条件．
3.知道单摆周期的决定因素，掌握单摆的周期公式．
知识点一　单摆及单摆的回复力
【情境导学】
摆钟的钟摆在摆动时是做简谐运动，做简谐运动的物体一定受到回复力的作用，是什么力作为钟摆的回复力呢？摆钟的钟摆摆到最低点时，回复力为零，合外力为零吗？
提示：重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，合外力不为零．
【知识梳理】
1．单摆
(1)概念：如果悬挂物体的绳子的________和________可以忽略不计，绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆．
(2)若单摆的摆角________，单摆摆球的摆动可近似看成简谐运动．
伸缩
质量
小于5°
2．单摆的回复力
重力mg沿圆弧切线方向的分力F为单摆摆球的回复力，得F＝________， 在偏角很小(小于5°)时，有sin θ≈________，则单摆所受的回复力F≈________，可见单摆的摆动在摆角很小时是________.
状元随笔　 不可误认为回复力是
重力G与摆线拉力T的合力．
mg sin θ

简谐运动
【重难突破】
1．实际的摆可以看成单摆的条件
(1)形变要求：当摆线的形变量比摆线的长度小得多时，摆线的伸缩可以忽略．可把摆线看成不可伸长的线．
(2)质量要求：摆线质量与摆球质量相比小得多，这时可以认为摆线是没有质量的．
(3)长度要求：摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略时，可把摆球看成质点．
(4)受力要求：忽略摆动过程中摆球所受空气阻力的作用．
2．单摆的受力特点
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球
重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向
的分力F＝mg sin θ为单摆摆球的回复力．
例1 图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C点之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
答案：D
解析：摆球在摆动过程中，在最高点A、C点处速度为零，回复力最大，合力不为零，A、B错误；在最低点B点处，速度最大，回复力为零，细线的拉力也最大，C错误，D正确．
【变式训练1】　(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
答案：ABC
解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误．
知识点二　单摆的周期公式
【情境导学】
(1)发现摆钟走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
(2)将走时准确的摆钟，由赤道拿到两极，走时还准吗？
提示：调整摆锤下面的螺母，可以改变摆的摆长，从而改变摆的周期，以调整摆钟的走时快慢．
提示：不准了．
【知识梳理】
1．探究影响单摆周期的因素
如图所示，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期.
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下).
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同.
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同.
比较三种情况下两摆的周期，可以得出：在摆角很小的情况下，单摆的周期与摆球质量和摆角________(选填“有关”或“无关”)，与单摆摆长有关．即T∝________．
无关

2．周期公式：1659年，荷兰物理学家惠更斯在研究单摆的振动时，发现摆球做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成________，跟重力
加速度g的二次方根成________，用公式表示为T＝________.
①单摆的简谐运动周期与装置的固有因素________，与外界条件________；(均选填“有关”或“无关”)
②单摆的简谐运动周期也叫作单摆的________；
③弹簧振子的简谐运动周期和频率也是固有的，与弹簧的劲度系数和小球的质量________(选填“有关”或“无关”)．
正比
反比
有关
无关
固有周期
有关
(2)重力加速度g
若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．不同地点g的取值不同．
答案：B
【变式训练2】　图甲为生活中常见的一种摆钟，图乙为摆钟内摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在龙岩走时准确的摆钟移到北京，要使摆钟仍然走时准确，则(　　)
A．因摆钟周期变大，应将螺母适当向上移动
B．因摆钟周期变大，应将螺母适当向下移动
C．因摆钟周期变小，应将螺母适当向上移动
D．因摆钟周期变小，应将螺母适当向下移动
答案：D
1．(多选)关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A．单摆摆球的回复力指向平衡位置
B．摆球经过平衡位置时加速度为零
C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
答案：AC
解析：根据回复力的特点可知摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，A正确；摆球经过平衡位置时，由于做圆周运动，故存在向心加速度，B错误；摆球运动到平衡位置时，回复力等于零，C正确；摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，D错误．
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是下图中的(　　)
答案：B
解析：不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最底端运动速度最快，细沙漏到地面上的最少，两端漏斗运动速度最慢，细沙漏到地面上的最多，B正确，A、C、D错误．

答案：ABD
4．一单摆由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　)
A．g甲＞g乙，将摆长缩短
B．g甲＜g乙，将摆长放长
C．g甲＜g乙，将摆长缩短
D．g甲＞g乙，将摆长放长
答案：B
1．在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)
答案：A
解析：这些装置都是实际的摆．我们在研究单摆的摆动过程时，通常忽略空气等对单摆的阻力，因此实验中我们总是尽量选择质量大体积小的球和尽量细、不可伸长的线组成单摆．单摆是实际摆的理想化模型．所以只有A中所示装置可视为单摆，A正确．
2．对单摆在竖直面内做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．摆球所受向心力处处相同
B．摆球的回复力是它所受的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
答案：C
解析：单摆在竖直面内做简谐运动，拉力和重力沿径向分力的合力提供向心力，向心力方向时刻改变，所以向心力不是处处相同；重力沿轨迹切线方向的分量提供回复力，所以在经过最低点时只有向心力，没有回复力，C正确，A、B、D错误．
3．利用盛砂的漏斗演示简谐运动，如果考虑漏斗里砂子逐渐减少，则砂摆的频率将(　　)
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案：D
4．(多选)单摆是实际摆的理想化模型，关于单摆的周期下列说法正确的是(　　)
A．摆球的质量越大，周期就越大
B．摆长越长，周期越大
C．将单摆由上海运到北京周期会发生变化
D．周期为2 s的摆叫作秒摆
答案：BCD
5.如图所示，在铁架横梁上依次挂上A、B两个摆，摆长LA>LB，先让A摆垂直水平横梁的方向摆动起来，B摆随后也跟着摆动起来，A、B两个摆的周期依次为TA、TB，频率分别为fA、fB，摆动稳定后可以发现(　　)
A．TA>TB B．TA＝TB
C．fA>fB D．fA答案：A
答案：C
7．如图甲，一个小球在A、B间做简谐运动，O点为最低点．以O点为坐标原点、以水平向右为正方向，小球的振动图像如图乙所示．重力加速度g大小取9.8 m/s2，π2≈9.8，不计空气阻力，
下列说法正确的是(　　)
A．小球的振动方程为x＝5sin (2πt)cm
B．0～0.5 s时间内，小球的动能逐渐增大
C．动能和重力势能相互转化的周期为1 s
D．此单摆的摆长约为2 m
答案：C
8．一单摆做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．该单摆做简谐运动的振幅为4 cm
B．在t＝2 s时，摆球的速度为零
C．在t＝0.5 s和t＝3.5 s时，摆球偏离平衡位置的位移大小相等、方向相反
D．取重力加速度大小g＝10 m/s2，π2＝10，则该单摆的摆长为2 m
答案：C
9.惠更斯利用摆的等时性发明了摆钟，钟摆的周期可以通过调节等效摆长(整个钟摆的重心到悬挂点的距离)控制，控制的方法是旋转钟摆下端的旋转螺母以调节圆盘高度．下列关于摆钟的说法正确的是(　　)
A．将摆钟从广州运到北京，应将圆盘向上移
B．摆钟慢了，应将圆盘向上移
C．若夏天摆钟准确，则到冬天要将圆盘向上移
D．若钟摆周期为1 s，则等效摆长约为0.5 m
答案：B
10.如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长10 cm.现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别是t1和t2，那么(　　)
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三种都有可能
答案：B
11.(多选)如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，
则(　　)
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
答案：CD
12．(16分)将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的AC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置．∠AOB＝∠COB＝α，α小于10°且是未知量，图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2 )，求：
(1)单摆的周期．
答案：1.3 s
解析：摆球受力分析如图所示．
小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律有，T＝0.4π s≈1.3 s.
(2)单摆的摆长．
答案：0.4 m

(3)摆球的质量．
答案：0.05 kg

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