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第09课 有理数的混合运算
1、回顾小学混合运算顺序，学习掌握有理数的混合运算；
2、学习简化运算，熟练的掌握有理数的混合运算；
有理数混合运算
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【点拨】
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
有理数混合运算
1．计算：1﹣（﹣2）2＝（　　）
A．5 B．﹣3 C．3 D．﹣5
2．计算6×（﹣2）﹣12÷（﹣4）的结果是（　　）
A．10 B．0 C．﹣3 D．﹣9
3．计算（﹣1）÷（﹣5）×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣25 D．1
4．下列式子的计算结果与的结果相等的是（　　）
A． B． C． D．
5．定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．4
6．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（　　）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
7．如果a、b互为负倒数，a，c互为相反数，且|d|＝2，则d2﹣d的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．若在算式23﹣（﹣□6）2的“□”中，填入“+、﹣、×、÷”中的一个运算符号，则使算式的值最小的符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
9．计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　 　．
10．计算：15﹣（﹣4）2÷8＝　 　．
11．计算：＝　 　．
12．规定一种新运算：m※n＝（m+n）﹣mn，则5※（﹣2）＝　 　．
13．已知x3＝8，|y|＝9，xy＜0，那么x2﹣y＝　 　．
14．计算：（1） （2）﹣23×÷9
15．计算：6÷（﹣3）+22×（1﹣4）．
16．计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．
17．计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023．
18．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了．
计算：（﹣1）3×■﹣（1﹣3）÷4，
嘉淇猜污染的数为1，请计算（﹣1）3×1﹣（1﹣3）÷4．
老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？
1．下列运算正确的是（　　）
A．﹣9÷2×＝﹣9 B．6÷（﹣）＝﹣1
C．1﹣1÷＝0 D．﹣÷÷＝﹣8
2．计算6﹣32×4得（　　）
A．﹣30 B．﹣12 C．36 D．42
3．若a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则m2﹣cd﹣+值为（　　）
A．﹣4 B．0 C．2 D．4
4．以下计算正确的是（　　）
A．[（﹣4）﹣（+4）]÷6＝0
B．3÷（﹣6）×＝3÷（﹣1）＝﹣3
C．5÷（﹣5）＝﹣5×＝﹣5×﹣×＝﹣1
D．16÷（8﹣2）＝16÷8﹣16÷2＝2﹣8＝﹣6
5．下列计算正确的是（　　）
A．8÷（4+2）＝8÷4+8÷2＝6
B．（﹣1）÷（﹣2）×＝（﹣1）÷（﹣1）＝1
C．[﹣2﹣（+2）]÷4＝0÷4＝0
D．（+7）×（﹣）﹣12×（）＝（﹣）×（7﹣12）＝（﹣）×（﹣5）＝16
6．计算（）×128时，下列可以使运算简便的是（　　）
A．运用乘法交换律 B．运用加法交换律
C．运用乘法分配律 D．运用乘法结合律
7．用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则*[3*（﹣1）]的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C． D．0
8．在简便运算时，把24×（﹣99）变形成最合适的形式是（　　）
A．24×（﹣100+） B．24×（﹣100﹣）
C．24×（﹣99﹣） D．24×（﹣99+）
9．计算：﹣（）2+＝　 　．
10．计算：（﹣）÷（﹣+）＝　 　．
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则（a+b） +3cd﹣m2＝　 　．
12．对于有理数a，b，定义运算“*”：a*b＝a2﹣ab，例如：4*2＝42﹣4×2＝8，则（﹣3）*（﹣2）＝　 　．
13．若“方框”表示运算xz﹣yw，则“方框”＝　 　．
14．用较为简便的方法计算下列各题：
（1）﹣+﹣；
（2）﹣8721+53﹣1279+4；
（3）﹣+；
（4）．
15．计算：
（1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）；
（2）．
16．计算：
（1）；
（2）．
17．计算：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2．
18．阅读下面解题过程．
利用运算律有时能进行简便计算．
例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176；
例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233；
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（﹣15）；
（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第09课 有理数的混合运算
1、回顾小学混合运算顺序，学习掌握有理数的混合运算；
2、学习简化运算，熟练的掌握有理数的混合运算；
有理数混合运算
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【点拨】
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
有理数混合运算
1．计算：1﹣（﹣2）2＝（　　）
A．5 B．﹣3 C．3 D．﹣5
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：1﹣（﹣2）2＝1﹣4＝﹣3．
故选：B．
2．计算6×（﹣2）﹣12÷（﹣4）的结果是（　　）
A．10 B．0 C．﹣3 D．﹣9
【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣12+3＝﹣9，
故选：D．
3．计算（﹣1）÷（﹣5）×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣25 D．1
【分析】除以一个数等于乘以这个数的倒数，再确定符号，约分即可．
【解答】解：原式＝﹣1××
＝﹣，
故选：B．
4．下列式子的计算结果与的结果相等的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：，
故选：C．
5．定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．4
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝2+2×（﹣4）+|﹣（﹣4）|
＝2﹣8+4
＝﹣2．
故选：B．
6．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（　　）
A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7
【分析】根据a*b＝b2﹣a，可以求得所求子的值．
【解答】解：∵a*b＝b2﹣a，
∴（﹣2）*（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣2）
＝9+2
＝11，
故选：A．
7．如果a、b互为负倒数，a，c互为相反数，且|d|＝2，则d2﹣d的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【分析】根据倒数、互为相反数的概念可得ab＝1，a+c＝0，根据|d|＝2易求d＝±2，那么应分两种情况进行计算：①当ab＝1，a+c＝0，d＝2时；②当ab＝1，a+c＝0，d＝﹣2时．分别代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：ab＝1，a+c＝0，d＝±2，
①当ab＝1，a+c＝0，d＝2时，，
②当ab＝1，a+c＝0，d＝﹣2时，．
故选：D．
8．若在算式23﹣（﹣□6）2的“□”中，填入“+、﹣、×、÷”中的一个运算符号，则使算式的值最小的符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】根据有理数的混合运算的运算方法，可得在算式 23﹣（﹣口36）2的“口”中，填入“+、﹣、×、÷”中一个运算符号，则可使计算出来的值最小的符号是减号，据此判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴最小．
故选：B．
9．计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　0　．
【分析】先化简绝对值，再算乘法，最后算加法．
【解答】解：3×（﹣1）+|﹣3|＝﹣3+3＝0．
故答案为：0．
10．计算：15﹣（﹣4）2÷8＝　13　．
【分析】根据有理数混合运算的顺序计算即可．
【解答】解：15﹣（﹣4）2÷8
＝15﹣16÷8
＝15﹣2
＝13．
故答案为：13．
11．计算：＝　25　．
【分析】原式逆用乘法分配律计算即可求出值．
【解答】解：原式＝25×（+﹣）
＝25×1
＝25．
故答案为：25．
12．规定一种新运算：m※n＝（m+n）﹣mn，则5※（﹣2）＝　13　．
【分析】利用新运算的规定列式运算即可．
【解答】解：原式＝[5+（﹣2）]﹣5×（﹣2）
＝3﹣（﹣10）
＝3+10
＝13，
故答案为：13．
13．已知x3＝8，|y|＝9，xy＜0，那么x2﹣y＝　13　．
【分析】根据题意确定x，y的值，入代数式求出代数式的值．
【解答】解：∵x3＝8，|y|＝9，
∴x＝2，y＝±9，
∵xy＜0，
∴x＝2，y＝﹣9，
∴x2﹣y＝22﹣（﹣9）＝4+9＝13．
故答案为：13．
14．计算：
（1）
（2）﹣23×÷9
【分析】（1）根据乘法分配律简便计算即可求解．；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）
＝×24﹣×24+×24
＝8﹣12+6
＝2；
（2）﹣23×÷9
＝﹣8×+27÷9
＝﹣6+3
＝﹣3．
15．计算：6÷（﹣3）+22×（1﹣4）．
【分析】首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：6÷（﹣3）+22×（1﹣4）
＝﹣2+4×（﹣3）
＝﹣2﹣12
＝﹣14．
16．计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4
＝2×3+4÷4
＝6+1
＝7．
17．计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023．
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝2﹣2﹣1
＝﹣1．
18．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了．
计算：（﹣1）3×■﹣（1﹣3）÷4，
嘉淇猜污染的数为1，请计算（﹣1）3×1﹣（1﹣3）÷4．
老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？
【分析】先计算被污染的数为1时的结果，然后设正确的计算结果为时求得被污染的数即可．
【解答】解：（﹣1）3×1﹣（1﹣3）÷4
＝﹣1﹣（﹣2）÷4
＝﹣1+
＝﹣；
设正确的计算结果为，
则[+（1﹣3）÷4]÷[（﹣1）3×1]
＝[+（﹣2）÷4]÷[（﹣1）×1]
＝[+（﹣）]÷（﹣1）
＝2÷（﹣1）
＝﹣2，
即被污染的数最大是﹣2．
1．下列运算正确的是（　　）
A．﹣9÷2×＝﹣9 B．6÷（﹣）＝﹣1
C．1﹣1÷＝0 D．﹣÷÷＝﹣8
【分析】各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣9××＝﹣，错误；
B、原式＝6÷（﹣）＝6×（﹣6）＝﹣36，错误；
C、原式＝1﹣×＝1﹣＝﹣，错误；
D、原式＝﹣×4×4＝﹣8，正确，
故选：D．
2．计算6﹣32×4得（　　）
A．﹣30 B．﹣12 C．36 D．42
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法．
【解答】解：6﹣32×4
＝6﹣9×4
＝6﹣36
＝﹣30．
故选：A．
3．若a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则m2﹣cd﹣+值为（　　）
A．﹣4 B．0 C．2 D．4
【分析】根据a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，可以得到a+b＝0，＝﹣1，cd＝1，m＝±2，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a，b非零且互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，＝﹣1，cd＝1，m＝±2，
∴当m＝2时，
m2﹣cd﹣+
＝22﹣1﹣（﹣1）+
＝4﹣1+1+0
＝4；
当m＝﹣2时，
m2﹣cd﹣+
＝（﹣2）2﹣1﹣（﹣1）+
＝4﹣1+1+0
＝4；
由上可得，m2﹣cd﹣+值为4，
故选：D．
4．以下计算正确的是（　　）
A．[（﹣4）﹣（+4）]÷6＝0
B．3÷（﹣6）×＝3÷（﹣1）＝﹣3
C．5÷（﹣5）＝﹣5×＝﹣5×﹣×＝﹣1
D．16÷（8﹣2）＝16÷8﹣16÷2＝2﹣8＝﹣6
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：[（﹣4）﹣（+4）]÷6
＝[﹣4+（﹣4）]÷6
＝（﹣8）÷6
＝﹣，故选项A错误，不符合题意；
3÷（﹣6）×
＝﹣3××
＝﹣，故选项B错误，不符合题意；
5÷（﹣5）
＝×（﹣）
＝﹣
＝﹣1，故选项C正确，符合题意；
16÷（8﹣2）
＝16÷6
＝，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
5．下列计算正确的是（　　）
A．8÷（4+2）＝8÷4+8÷2＝6
B．（﹣1）÷（﹣2）×＝（﹣1）÷（﹣1）＝1
C．[﹣2﹣（+2）]÷4＝0÷4＝0
D．（+7）×（﹣）﹣12×（）＝（﹣）×（7﹣12）＝（﹣）×（﹣5）＝16
【分析】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、8÷（4+2）＝8÷6＝，故A不符合题意；
B、（﹣1）÷（﹣2）×＝（﹣1）×（﹣）×＝，故B不符合题意；
C、[﹣2﹣（+2）]÷4＝﹣4÷4＝﹣1，故C不符合题意；
D、（+7）×（﹣）﹣12×（）＝（﹣）×（7﹣12）＝（﹣）×（﹣5）＝16，故D符合题意；
故选：D．
6．计算（）×128时，下列可以使运算简便的是（　　）
A．运用乘法交换律 B．运用加法交换律
C．运用乘法分配律 D．运用乘法结合律
【分析】原式利用乘法分配律简便运算即可．
【解答】解：计算（）×128时，下列可以使运算简便的是运用乘法分配律．
故选：C．
7．用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则*[3*（﹣1）]的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C． D．0
【分析】根据a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a*b＝b3﹣1，
∴*[3*（﹣1）]
＝*[（﹣1）3﹣1]
＝*[（﹣1）﹣1]
＝*（﹣2）
＝（﹣2）3﹣1
＝（﹣8）﹣1
＝﹣9，
故选：B．
8．在简便运算时，把24×（﹣99）变形成最合适的形式是（　　）
A．24×（﹣100+） B．24×（﹣100﹣）
C．24×（﹣99﹣） D．24×（﹣99+）
【分析】利用有理数的相应的运算法则进行分析即可．
【解答】解：24×（﹣99）＝24×（﹣100+），
故选：A．
9．计算：﹣（）2+＝　﹣　．
【分析】先算乘方，再算加法即可．
【解答】解：﹣（）2+
＝﹣+
＝﹣．
故答案为：﹣．
10．计算：（﹣）÷（﹣+）＝　﹣　．
【分析】根据有理数的加减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（﹣）÷（﹣+）
＝（﹣）÷（）
＝（﹣）÷
＝﹣×
＝﹣，
故答案为：﹣．
11．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则（a+b） +3cd﹣m2＝　﹣1　．
【分析】根据倒数的定义，相反数和绝对值的概念可求a+b和cd的值，从而求出代数式的值．
【解答】解：根据题意知a+b＝0、cd＝1、m＝±2，
所以原式＝0+3×1﹣（±2）2
＝3﹣4
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．对于有理数a，b，定义运算“*”：a*b＝a2﹣ab，例如：4*2＝42﹣4×2＝8，则（﹣3）*（﹣2）＝　3　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：
（﹣3）*（﹣2）
＝（﹣3）2﹣（﹣3）×（﹣2）
＝9﹣6
＝3．
故答案为：3．
13．若“方框”表示运算xz﹣yw，则“方框”＝　3　．
【分析】利用题中的新定义列出算式﹣2×（﹣6）﹣3×3计算即可得到结果．
【解答】解：∵“方框”表示运算xz﹣yw，
∴“方框”＝﹣2×（﹣6）﹣3×3＝12﹣9＝3．
故答案为：3．
14．用较为简便的方法计算下列各题：
（1）﹣+﹣；
（2）﹣8721+53﹣1279+4；
（3）﹣+；
（4）．
【分析】（1）根据交换律和结合律可以解答本题；
（2）根据交换律和结合律可以解答本题；
（3）先去绝对值，再算加法即可；
（4）原式利用减法法则变形，再根据交换律和结合律即可解答本题．
【解答】（1）﹣+﹣
＝
＝
＝；
（2）﹣8721+53﹣1279+4
＝（﹣8721﹣1279）+
＝﹣10000+58
＝﹣9942；
（3）﹣+
＝﹣|﹣|+|（﹣）+（﹣）|
＝
＝
＝﹣
＝；
（4）
＝
＝
＝
＝．
15．计算：
（1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）；
（2）．
【分析】（1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后算括号外的乘除法，最后算减法即可．
【解答】解：（1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）
＝25×+25×﹣25×
＝25×（）
＝25×1
＝25；
（2）
＝﹣1﹣××（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
16．计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方和去绝对值，然后算乘除法，最后算加减法即可；
（2）把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣8÷8﹣×（﹣2）+
＝﹣1+1+1
＝1；
（2）
＝﹣25×+25×﹣25×
＝25×（﹣）
＝25×（﹣1）
＝﹣25．
17．计算：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2．
【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2
＝﹣1+（﹣5）×（﹣8+6）﹣9
＝﹣1+（﹣5）×（﹣2）﹣9
＝﹣1+10﹣9
＝9﹣9
＝0．
18．阅读下面解题过程．
利用运算律有时能进行简便计算．
例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176；
例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233；
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（﹣15）；
（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．
【分析】（1）根据有理数的乘法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）999×（﹣15）
＝（1000﹣1）×（﹣15）
＝1000×（﹣15）﹣1×（﹣15）
＝﹣15000+15
＝﹣14985；
（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18
＝999×[118+（﹣）+（﹣18）]
＝999×100
＝99900．
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