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2025年山东省临沂市中考数学模拟试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在、、、这五个数中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.来自省统计局的数据显示，年上半年，安徽全省地区生产总值为亿元，同比增长，数据“亿”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.我国古代窗棂样式多种多样，已经在申遗的路上，这些图案呈现出我国劳动人民智慧与勤劳，下面结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具上面是圆柱体，下面是圆锥体，它的主视图是( )
A. B.
C. D.
6.安全教育是学校的生命线某学校政教处举行安全教育的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”“防溺水安全”和“校园安全”四个主题内容小刚同学随机抽取一个，则选中“防溺水安全”主题内容的概率是( )
A. B. C. D.
7.某公司研发的两个模型和共同处理一批数据已知单独处理数据的时间比多小时若两模型合作处理，仅需小时即可完成设单独处理需要小时，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，是的直径，弦与相交于点，连接，，若平分，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接、，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，用若干个边长相同的正方形和正三角形，按下列规律拼接成一列图案，其中，第个图案有个三角形和个正方形，第个图案有个三角形和个正方形，第个图案有个三角形和个正方形，依此规律，则第个图案中正三角形和正方形的个数共有个．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式： ______．
12.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
13.将抛物线向右平移个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为______．
14.如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
15.如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形如图所示的阴影部分，其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是______．
16.如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点若，则的半径是______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
高校无人机设计大赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了众多大学生无人机爱好者报名参赛，某理工大学为了解学生对无人机设计相关知识掌握的情况，从该校大二、大三学生中各随机抽取名学生对无人机设计相关知识进行预赛，并对成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，共分三组：，，，绘制统计图表，部分信息如下：
大二名学生的预赛成绩是：，，，，，，，，，．
大三名学生的预赛成绩在组中的数据是：，，，．
抽取的学生预赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
大二年级
大三年级
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______， ______， ______．
根据以上数据，你认为该校大二、大三年级中哪个年级学生无人机设计相关知识掌握得较好？请说明理由写出一条理由即可
该校大二年级学生有人，大三年级学生有人根据样本数据，请估计该校大二、大三年级学生中无人机设计相关知识的预赛成绩为“优秀”的总共有多少人．
19.本小题分
文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点某商店老板在某店定制、两款文创帆布包，已知每件款帆布包的利润比每件款帆布包的利润多元，销售款帆布包获利元和销售款帆布包获利元的销售数量相同．
求每件款帆布包和每件款帆布包的利润；
若该商店计划购进，两款帆布包共件进行销售，且款帆布包数量不超过款帆布包数量的商店购进，两款帆布包各多少件，才能使销售完这件帆布包获得的利润最大？最大利润是多少？
20.本小题分
图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，图是其简易的平面示意图已知试管的长为，试管倾斜角为实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，点，，，在同一条直线上，，，，求铁架台底部与水槽底部的距离的长结果精确到，参考数据：，，
21.本小题分
如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线，与延长线交于点，的的中点，连接，，且与相交于点．
求证：与相切；
若，，求的长．
22.本小题分
综合与探究
问题情境如图，在矩形中，，延长至点使得点是边上一点，且，连接，．
操作发现若，则的长为______，的长为______．
拓展探索如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部若，分别与，相交于点，．
请判断和的数量关系，并说明理由．
如图，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上请探索并直接写出图中所有与图中相等的线段．
23.本小题分
如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛抛物线顶点，点在抛物线上．
求该抛物线所对应的函数解析式；
求四边形的面积；
如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、．
当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标．
如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
【解析】解：当时，，
直线与轴交于点，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
，
第个等腰直角三角形直角边的长为．
故答案为：．
16.【解析】解：连接，并延长交于点，连接，如下图，
由条件可知，，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
即，
，
设，则，
在中，，
解得：，
即的半径是．
故答案为：．
17.【解析】
；
，
当时，原式．
18.【解析】大三年级组有人，
把被抽取的大三年级名学生的预赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数；
在被抽取的大二年级名学生的预赛成绩中，分出现的次数最多，故众数；
，故．
故答案为，，；
大三年级学生无人机设计相关知识掌握得较好．
理由：因为大三年级学生成绩的中位数和众数比大二年级学生的高，所以大三年级学生知识掌握得较好．
由样本估计总体的计算方法列式计算可得：
人．
答：估计该校大二、大三年级学生中无人机设计相关知识的预赛成绩为“优秀”的总共有人．
19.【解析】设每件款帆布包的利润是元，则每件款帆布包的利润是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元．
答：每件款帆布包的利润是元，每件款帆布包的利润是元；
设购进件款帆布包，销售完这件帆布包获得的利润为元，则购进件款帆布包，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
，
，
当时，取得最大值，最大值为元，此时件．
答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使销售完这件帆布包获得的利润最大，最大利润是元．
20.【解析】作于交点，于点，于点，于点，如图所示，
则，
四边形和四边形都是矩形，
，，，，，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，，
，，
，
，
又，
，
在中，，，，
，
，
．
答：铁架台底部与水槽底部的距离的长．
21.证明：连接，则，
是的直径，
，
与相切于点，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是的半径，且，
与相切．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
22.【解析】四边形为矩形，
，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：，；
；理由如下：
四边形为矩形，如图，连接，
，
由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，，
，
，，
，即，
在和中，
，
≌，
；
图中所有与图中相等的线段为、；理由如下：
由可得：，
四边形为矩形，
，，
连接，如图，
，
，，
，
，
由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，，
为等边三角形，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
由可得：，
图中所有与图中相等的线段为、．
23.【解析】抛物线经过点，，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
，
顶点，
，，
，且轴，
，
；
点在线段上
不可能为直角，
当为直角三角形时，有或，
当时，则，
，，
直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入可求得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得
解得或，
舍或舍，
此种情况不存在，
当时，设，
设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，
解得，
设直线解析式为，同理可求得，
，
，即，
解得，
当时，
，
舍，
当时，
，点横坐标为，
综上可知：点横坐标，
设，
由、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则是为定值，定值为．
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