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2025年河北省沧州市中考数学模拟试卷（五）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.乒乓球国际比赛用球直径标准为，质检员检测个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是( )
A. B. C. D.
2.来自省统计局的数据显示，年上半年，安徽全省地区生产总值为亿元，同比增长，数据“亿”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
4.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
5.哪吒的乾坤圈工坊以每个灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个灵石售出，每日可售出个据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低灵石，每日可多售出个，若哪吒希望单日盈利达灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为( )
A. B.
C. D.
6.十八世纪，德国物理学家恩斯特克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知四边形是的内接四边形，且，过点作的切线交的延长线于点，连接、，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，在 中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止同时点也停止运动设运动其中时，以、、、四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
11.如图，在正方形中，向内作四个全等的三角形，其中以，为邻边作 若点，，在同一直线上，，点到的距离为，则图中阴影面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知点，，在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，将半径为的圆从点沿数轴向左滚动一周到达点，若点对应的数值为，则点对应的数值为______．
14.学校组织学生开展科技活动，安排了三个馆，小明与小慧都可以从这三个馆中任选一个参加活动，则他们选择同一个馆的概率是______．
15.如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为______．
16.如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连结，若，，则菱形面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题：
已知，求的值经过思考他们是这样解答的：
，，即，
，．
请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题：
______；
计算按规律排列的式子：；
若，求的值．
19.本小题分
随着人工智能技术的快速发展，已成为推动全球创新和经济增长的重要力量，某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”“工程实践”“综合技能”“创新挑战”“轨迹普及”五项人工智能社团课程为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查调查问卷如表所示，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图均不完整．
人工智能社团参加意向调查问卷
请在下列选项中选择一项您最有意向参加的社团课程，在内打“”非常感谢您的合作交互设计( )
B.工程实践( )
C.综合技能( )
D.创新挑战( )
E.轨迹普及( )
根据统计图提供的信息，解答下列问题．
求随机抽取学生人数；
将条形统计图补充完整；
表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为______度；
学校对有意向参加“创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试满分分，并将成绩统计如下：
成绩分
人数
则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______；
若该校学生的总人数是人，请你估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有多少人？
20.本小题分
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，已知，，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，在处测得大树顶端的仰角是．
Ⅰ求到地面距离的长；
Ⅱ求大树的高度结果保留一位小数
参考数据：，，，取．
21.本小题分
如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点．
求证：；
求证：．
22.本小题分
已知是的直径，，是上的点，
如图，若为的中点，求和的大小；
Ⅱ如图，若，过点作的切线，交的延长线于点，，求，的长．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接．
求抛物线的表达式；
点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点是直线上的动点，连接，，当最大时，求出此时的坐标及的最大值；
如图，点的坐标，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，满足，直接写出点的坐标．
24.本小题分
在矩形中，为直线上的点不与点重合，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点．
如图，若，平分，求证：∽．
如图，若，点与点重合，为的中点，则的值是______，与的位置关系是______．
如图，若，，，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【解析】解：
，
，
，
，
原式．
18.【解析】由题意，．
故答案为：．
由题意，原式
．
由题意，，
，
，
，
．
19.【解析】解：本次抽样调查的学生人数为人；
“综合技能”的人数人，补全条形统计图如图所示：
表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
这组数据的平均数是分，中位数是分，众数是分；
故答案为：分，分，分；
人，
答：估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有人．
20.
【解析】Ⅰ在中，，，
，
到地面距离的长为；
Ⅱ过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
大树的高度约为．
21.【解析】证明：是等边三角形，
，
，
，
由旋转的性质得，
，
；
由旋转的性质得，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在≌中，
，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
．
22.【解析】是的直径，
，
又
在中，；
点为的中点，
，
，
，
，
；；
Ⅱ连接，过点作于点，如图所示：

，
经过圆心，
是的切线，
，
又，
，
，
在中，，
，
，
是的外角，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
；
是的直径，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
是的切线，
，
，
，
；．
23.【解析】由题意得，
，
，
抛物线的解析式为：；
如图，
作轴于，交于，
，对称轴是直线，
，
，
直线的解析式为：，，
，
，
设，，
，
当时，，即最大，
，
，
点关于直线的对称点，
，
；
如图，
抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线的解析式为：，
，，
，
，
，
，
当点在下方时，
，
直线的解析式为：，
由得，
，舍去，
，
，
当点在上方时图中，
，
设直线与轴交点关于的对称点，
由和得，
，
舍去，
，
直线的解析式为：，
由得，
舍去，
，
，
综上所述：或
24.证明：是由绕点逆时针旋转得到的，
，．
四边形是矩形，
，．
．
平分，
．
，
平分．
，
，
是等腰三角形．
．
．
，
．
∽；
解：记与的交点为点，
是矩形，，
是正方形，
，，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
又点是的中点，
，
又，
≌，
，，
，
，
，，
故答案为：；；
解：理由如下：
，
为等腰直角三角形．
如图，记与交于点，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，三点共线，垂直平分．
．
，
，，
∽，
．
又，
．
由可得≌．
．
．
≌，
．
，
．
．
．
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