资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第1讲 等差数列与等比数列
考点一 等差数列的性质
【例1-1】（1）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C．4.5 D．3
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）由等差数列的性质知，所以，解得，
所以，故选：A
（2），，，，
和的等差中项是.故选：D.
【例1-2】（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则
（2）（24-25高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 .
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由等差数列的性质可得，
（2）因为 为等差数列，所以
．故答案为：.
【例1-3】（24-25高二下·河南南阳·期中）在等差数列中，已知，则（ ）
A． B． C．-10 D．
【答案】D
【解析】根据等差数列前项和性质，可得成等差数列，
所以，即，解得．
故选：D.
【例1-4】（1）（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
（2）（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，设所有的偶数项和为，则，
由，解得，项数.故选：C.
（2）设，
因为数列是等差数列，且公差，，所以，解得，
所以.故选：A.
【例1-5】（1）（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2）（24-25高二下·河南·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．的最小值为 D．
【答案】（1）A（2）A
【解析】（1）设等差数列公差为，因为，，
所以，，所以，．
所以该数列单调递减，且,所以当时，取得最大值．故选：A．
（2）因为是等差数列，则，即，
又因为，则公差，可知，
所以数列为递增数列，且的最小值为，
综上所述：A正确，B，C，D错误.故选：A.
【变式】
1．（2024·辽宁）记等差数列的前n项和为，，则（ ）．
A．13 B．26 C．39 D．78
【答案】D
【解析】因为为等差数列，所以.故选：D.
2．（23-24河南·阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，故，则，所以．故选：B
3．（24-25高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】因等差数列的前项和为，由可得，
则组成首项为2，公差为2的等差数列，
则.故选：D.
4．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等差数列中，成等差数列，则，
设，则，故，解得，
所以.故选：A.
5．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等差数列性质可得；
所以.
故选：B
6．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040
【答案】B
【解析】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列．
，，
则数列的公差，首项为，
，．
故选：B．
7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，数列是以为公差的等差数列，
，
数列是以为公差的等差数列，.
故选：B.
8．（24-25湖北武汉）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，
所以，所以，所以.
故选：B.
9．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（ ）
A． B．4 C．8 D．9
【答案】C
【解析】，，根据题意，可得，解得，，
又，.故选：C.
10．（2025河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
令，因为，所以，
所以二次函数的图象关于直线对称．
又因为，可得，所以当取得最小值时，．
故选：B
12．（24-25高二下·辽宁锦州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，所以，，
所以，所以且，故②错误，④正确；
所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故①③正确．故选：C．
考点二 等比数列的性质
【例2-1】（1）（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列是等比数列，，，则（ ）
A．24 B．－24 C． D．4
（2）（24-25高二下·北京·期中）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）由于是等比数列，故，因此，故选：C
（2）由题意，，即，又，则.故选：D.
【例2-2】（1）（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ）
A．10 B．8 C．12 D．14
（2）（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）正数的等比数列的前n项和为，则成等比数列，
则，于是，所以.故选：D
（2）因为为等比数列，所以也为等比数列，则有，
设，则，所以，故.故选：D.
【例2-3】（1）（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）（24-25海南）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8 B． C．4 D．2
【答案】(1)B（2）D
【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.故选：B
（2）设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选：A
【例2-5】（24-25高二下·辽宁大连·期中）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】BC
【解析】对于A，由得，由，可得，
当时，因为，所以，，
此时，不合题意；所以，
因为，所以，，，
结合且，可得，
则，所以A错误；
对于B，因为，即，所以B正确；
对于C和D，由，，，且，
可知均大于1，均大于0且小于1，
又，可知是数列中的最大值，故C正确，D错误．
故选：BC．
【变式】
1．（24-25高二下·河南·期中）已知实数是1，4的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知，解得.故选：C
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）在等比数列中，若，，则（ ）
A．17 B． C． D．8
【答案】D
【解析】因为，又等比数列中奇数项同号，所以．故选：D
3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．85 C． D．或
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q，因为，，所以，否则，
所以，，，成等比数列，
即，解得：或，
当时，，，，是等比数列，
∴，∴；
当时，，
与矛盾，舍去.
故选：C．
4．（2025·江西）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
【答案】C
【解析】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，所以.故选：C
5．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为，
等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1，
则，
令，则有，由题意，得.
法二：当时，，
当时，.
，
为等比数列，当时，，
化简得.
故选：C.
6（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知各项均为正数的等比数列的前项和与前项积分别为，，公比为，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由是正项等比数列，所以，
若，则，不符合题意；
若，由，得，,不符合题意；
所以，故A正确；
由，得，又，所以，，故B错误，C正确；
取，则，此时，故D错误；
故选：AC
考点三 数列在实际生活中的应用
【例3-1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ）
A．735 B．733 C．731 D．729
【答案】C
【解析】若某个二阶等差数列的前4项为：，
即，
可得，
所以 ，
所以.
故选：C.
【例3-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：，，
A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6
【答案】C
【解析】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元，
2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元，
2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元，
所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月，
在第5个月的还款额为元，
设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还，
显然，，，
……，，
显然，故，
所以，故，
依次类推，可得，
即，
所以，
由等比数列求和公式可得
，
故元，
学生乙每个月的还款额均为元，
所以甲比乙将多还元．
故选：A
2．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为，
则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且，
因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得，
所以，，
所以.故选：B
考点四 等差数列与等比数列的证明与判断
【例4-1】（2025黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为是1与的等差中项，
所以，即，
所以，
所以，
即，是常数，
【例4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【答案】不是等比数列，理由见解析
【解析】不是等比数列，
因为，所以，
解得或．
又，所以，故或，
可取满足要求，不是等比数列.
所以数列不是等比数列．
【变式】
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明是等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），
当时，；
当时，，
又符合上式，所以.
（2）由（1）知，则，
所以，又，
所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.
2．（2025黑龙江）设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，
所以数列为等差数列，首项，公差为2.
（2）由（1）知，，则
当时，，显然不满足上式，
所以的通项公式是.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【答案】是等比数列，理由见解析
【解析】因为，所以当时，，
当时，，整理可得，
因为，又.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
考点五 绝对值数列的求和
【例5】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)求数列的前16项的和.
【答案】(1)
(2)
(3)160
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由题可得：，
解得，
（2）由（1）知，，
所以，
（3）由，
所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，
【变式】
1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.
(1)求和；
(2)求的前项和.
【答案】(1)，.
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，∴，即，
由等差数列的性质得，，
由得，，即，
由得，，
联立方程可得，，
∴，.
（2）由得，时，，时，.
当时，，
当时，，
∴.
2．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求中的最大值和最小值；
(3)求的前项和．
【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为，
(3)
【解析】（1）由可得，故，设公差为d，，
由可得，，
故，
由于，所以，因此，因此，
故，
（2），
当且时，，且此时单调递减，
故为最大值，为最小值，
当且时，，且此时单调递减，
故为最大值1，此时无最小值，
综上可得的最大值为1，最小值为，
（3）由可得当且时，，
当且时，，
所以当且时，，
当且时，
，故
单选题
1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）数列满足（），且，，则（ ）
A． B．9 C． D．7
【答案】B
【解析】因为 ，所以等差数列，设公差为，
所以，即得，
所以，所以，
则.
故选：B.
2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为数列为等差数列，所以也为等差数列，
因为，，所以，且，
所以，所以，所以，
所以.
故选：D.
3．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由等差数列的性质，，
由等比数列的性质，，解得，
又因为等比数列奇数项符号相同，所以，
所以．
故选：D.
4．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
若成等比数列，则，
即，解得，
因为正项等差数列，则，则，
当时，，舍去；
当时，，
所以.
故选：A.
5．（2025福建）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，
则是以2为公比的等比数列，
，，解得，
所以，
．
故选：C．
6．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【答案】B
【解析】对于ABD选项，设的公差为，
，故，
，故，所以，
由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确；
C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确.
故选：B
7．（2025河南）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由，得，即，所以，
解得，则.
故选：C.
法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，
所以，所以.
故选：C.
8．（2025海南）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，因为，所以，则与矛盾，
若，因为，所以，则，与矛盾，
所以，故B正确；
因为，则，所以，故A错误；
因为，，所以单调递增，故C错误；
因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；
故选：B
多选题
9．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．取最小值时， D．为递增数列
【答案】AD
【解析】因为，令得，
当时，①，②，
由①②可得：，
因当时，，故，A对B错；
因时，单调递增，且，故为递增数列，D对；
因为，故当或时，取最小值，C错.
故选：AD.
10．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
【答案】BD
【解析】对于AB，由题意，又，所以，从而，则，故为递减数列，从第8项开始，，
则时，最大，所以A错误，B正确；
对于C ,，所以使的的最大值为14，C错误；
对于D，由ABC分析可知，当或时，时，
当时，，又，，所以时，最小，D正确.
故选：BD．
11．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）以下命题正确的有（ ）
A．若等差数列满足，，则
B．若数列满足，，则
C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
【答案】CD
【解析】对于A：因为为等差数列，且，，
所以，，则.
则 ，故A错误；
对于B，因为，，
则，，，，
所以数列是周期为的周期数列，即，
所以， 故B错误；
对于C，因为，，
所以，即，
，即，故，
所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数的值为8，故C正确.
对于D，因为，当时，，即，解得，
当时，，于是，即，
数列是首项为，公差为的等差数列，则，
所以数列的前项和，故D正确.
故选：CD.
填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ．
【答案】
【解析】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，
设其公差为d，则由，
可得，即．
又，
所以，
所以．
故答案为：.
13．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【答案】10
【解析】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，
故，解得.
故答案为：10
14．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
【答案】300
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
故答案为：300.
解答题
15．（24-25高二下·北京·期中）已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)求 的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，
由题意可知，，可得，，
所以，．
（2）结合（1）可得：
.
16．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前n项和为，点在直线上，．
(1)求数列的前n项和以及数列的通项公式；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由题意知，则，
当时，，
当时，，
因为符合，
所以．
（2），令，
所以当，2，3时，，当时，，
故．
17．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
(1)求证：数列为等差数列，并求出；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【解析】（1）因，则，
即，
又因数列为正项数列，则，则，
又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）可得，，
又满足上式，所以，
则，，
所以当时，，当时，，
记数列的前项和为，则，
从而当时，；
当时，，
所以.
18．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列 满足 ，求数列的前 项和
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【解析】（1）由已知可得，
故当时，，
，
，
…….
，
累加后可得，
所以，
当时，代入成立，
所以数列的通项公式为.
（2），
当时，，
此时
；
当时，，
，
综上
19．（24-25高二下·四川南充·开学考试）数列的首项，
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，当数列的项取得最大值时，求的值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)第8项和第9项取得最大
【解析】（1）由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为
（2）由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项最大，则，
可得，解得，所以数列第8项和第9项取得最大.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第1讲 等差数列与等比数列
考点一 等差数列的性质
【例1-1】（1）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C．4.5 D．3
【例1-2】（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则
（2）（24-25高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 .
【例1-3】（24-25高二下·河南南阳·期中）在等差数列中，已知，则（ ）
A． B． C．-10 D．
【例1-4】（1）（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
（2）（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
【例1-5】（1）（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2）（24-25高二下·河南·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．的最小值为 D．
【变式】
1．（2024·辽宁）记等差数列的前n项和为，，则（ ）．
A．13 B．26 C．39 D．78
2．（23-24河南·阶段练习）已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
4．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040
7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25湖北武汉）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
9．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（ ）
A． B．4 C．8 D．9
10．（2025河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
12．（24-25高二下·辽宁锦州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二 等比数列的性质
【例2-1】（1）（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列是等比数列，，，则（ ）
A．24 B．－24 C． D．4
（2）（24-25高二下·北京·期中）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【例2-2】（1）（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（ ）
A．10 B．8 C．12 D．14
（2）（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（1）（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）（24-25海南）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8 B． C．4 D．2
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
【例2-5】（24-25高二下·辽宁大连·期中）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【变式】
1．（24-25高二下·河南·期中）已知实数是1，4的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）在等比数列中，若，，则（ ）
A．17 B． C． D．8
3．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．85 C． D．或
4．（2025·江西）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
5．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
6（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知各项均为正数的等比数列的前项和与前项积分别为，，公比为，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点三 数列在实际生活中的应用
【例3-1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ）
A．735 B．733 C．731 D．729
【例3-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：，，
A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（ ）
A． B． C． D．
考点四 等差数列与等比数列的证明与判断
【例4-1】（2025黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.
【例4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【变式】
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明是等差数列.
2．（2025黑龙江）设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式
3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．
考点五 绝对值数列的求和
【例5】（24-25高二下·山东日照·阶段练习）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)求数列的前16项的和.
【变式】
1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，.
(1)求和；
(2)求的前项和.
2．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求中的最大值和最小值；
(3)求的前项和．
单选题
1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）数列满足（），且，，则（ ）
A． B．9 C． D．7
2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．2
4．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．或
5．（2025福建）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．当取得最大值时， D．
7．（2025河南）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．3
8．（2025海南）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
多选题
9．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．取最小值时， D．为递增数列
10．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．时，最大
C．使的n的最大值为13 D．数列中的最小项为第8项
11．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）以下命题正确的有（ ）
A．若等差数列满足，，则
B．若数列满足，，则
C．已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ．
13．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
14．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
解答题
15．（24-25高二下·北京·期中）已知为等差数列，为各项均为正数的等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)求 的前n项和.
16．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前n项和为，点在直线上，．
(1)求数列的前n项和以及数列的通项公式；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值．
17．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
(1)求证：数列为等差数列，并求出；
(2)设，求数列的前项和.
18．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列 满足 ，求数列的前 项和
19．（24-25高二下·四川南充·开学考试）数列的首项，
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，当数列的项取得最大值时，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑