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第2讲 求通项与求和的常用方法
考点一 求通项常用的方法（单一方法）
【例1-1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【例1-6】（2025湖北）设数列满足，，则数列的通项公式为 .
【例1-7】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【例1-8】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列中，前n项和，求的通项公式为 .
2（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .
4．（2024河北）设数列满足，则=_______.
5．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则=_______.
6.（2024山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为
7．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
8.（24-25上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
9.（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
考点二 多个通项方法综合
【例2-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ．
【例2-2】（2023·广西南宁·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【例2-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知数列满足，，则 .
【变式】
1．（2025·安徽）数列满足，且，求数列的通项公式．
2、（2024高三下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则 .
3（2025河北）在数列中，，，且满足，则___________.
考点三 求和的常用方法
【例3-1】（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【例3-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列前项和为，满足，，则数列的前项和为 ．
【例3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为且，则 ．
【例3-4】（2025·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和
【变式】
1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，则 .
2．（2025高三下·全国·专题练习）已知数列满足：，设．则 ．
3．（24-25高二下·河南·阶段练习）数列的通项公式为，则的前项和为 （用含的式子表示）.
4．（2025河南）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式.
(2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和．
①；②．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
考点四 其他求和形式
【例4-1】（2025·福建三明）若数列满足，，则（ ）
A．155 B．156 C．203 D．204
【例4-2】（2025·天津南开）若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）．
A．1350 B．1352 C．2025 D．2026
【变式】
1．（2026高三·全国·专题练习）数列满足，则（ ）
A．4046 B． C．2 D．
2．（2025·江西）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，数列的首项为1，且满足．若，则数列的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
4．（2025·重庆）数列满足，则的前100项和 ．
考点五 其他求项形式
【例5-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．
【例5-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
【变式】
1.（2025·湖南）在数列中，，，则（　　）
A． B．1
C． D．2
2．（2025甘肃）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
3．（2025河南）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则
单选题
1．（2024江苏）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（ ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
2．（2024浙江）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025安徽）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·福建）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
10．（2025·江西）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知数列满足，，的前n项和为，则（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
填空题
12．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
13．（2025福建）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为 .
14．（24-25高二下·山西·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 .
解答题
15．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和
16．（24-25河南）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
17．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式及的最大值；
(2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列.
条件①：，；条件②：；条件③：，.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）.
19．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
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第2讲 求通项与求和的常用方法
考点一 求通项常用的方法（单一方法）
【例1-1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
又，不符合上式，则.故选：D
【例1-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，则
，
当时，符合题意，故数列的通项公式为.故选：C.
【例1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以当时，，，…，，
累加可得，
因为，所以，当时，，满足上式，
所以，故选：B．
【例1-4】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，即，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，∴.故选：A.
【例1-5】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；故答案为：.
【例1-6】（2025湖北）设数列满足，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】设，化简后得，
与原递推式比较，对应项的系数相等，得，解得，
即，令，则，又，
故，，得.
故答案为：
【例1-7】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
【例1-8】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，从而由题意，即，
也就是数列是以为首项，为公比的等比数列，
从而，所以，解得.
故选：A.
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列中，前n项和，求的通项公式为 .
【答案】
【解析】①，当时，，
当时，，
显然不满足，
综上，.故答案为：
2（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】已知 ①.
当时， ②.
用①式减去②式可得：
，解得.
当时，，将代入可得，满足上式.
数列的通项公式为.
故答案为：.
3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .
【答案】
【解析】，，
，即，
.
故答案为：.
4．（2024河北）设数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】因为数列满足，，
所以当时，.
所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，
故答案为：
5．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】由，得，，则，
而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，因此
6.（2024山东淄博·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以
所以.故答案为：
7．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
【答案】
【解析】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则，
所以.故答案为：
8.（24-25上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】数列中，由，得，即，
而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，
因此，即，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
9.（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，设，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，，解得.
故答案为：
考点二 多个通项方法综合
【例2-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当时，，
化简得，，利用累乘法得
，
显然满足上式，所以故答案为：
【例2-2】（2023·广西南宁·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
【例2-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知数列满足，，则 .
【答案】
【解析】由可得，
所以，
，
……，
，
累加可得，，即
当时，也符合上式，
所以，
故答案为：
【变式】
1．（2025·安徽）数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】∵，且，∴，
∴当时，
，
又也满足，
∴．
2、（2024高三下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则 .
【答案】
【解析】当时，，则，两式作差得，即，即，
所以，即，
又由且，即，所以，可得，
则.
显然时也符合，可得，
所以.
故答案为：.
3（2025河北）在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
考点三 求和的常用方法
【例3-1】（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
∴.
∴，
∴.
故答案为：.
【例3-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列前项和为，满足，，则数列的前项和为 ．
【答案】
【解析】由已知得，，所以，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即，，经检验，时也满足，故.
所以，所以数列的前项和为.
故答案为：.
【例3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为且，则 ．
【答案】
【解析】 因为，所以①，
则②，
，得
所以，
故答案为：.
【例3-4】（2025·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和
【答案】
【解析】由得，，所以，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则，
所以，
所以，
【变式】
1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，则 .
【答案】
【解析】与之间的关系
对于，当时，，得，
当时，，所以，
所以，
即，
所以当且是奇数时，，所以.
故答案为：
2．（2025高三下·全国·专题练习）已知数列满足：，设．则 ．
【答案】
【解析】依题意，
所以数列是首项，公比为3的等比数列，所以，
也满足，所以，，
所以
，
故答案为：．
3．（24-25高二下·河南·阶段练习）数列的通项公式为，则的前项和为 （用含的式子表示）.
【答案】
【解析】因为，
所以，①
则，②
由①-②得，
，
故.
故答案为：
4．（2025河南）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式.
(2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和．
①；②．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）因为①，故得②，
①－②得，得．
在中，令，得，
又，所以，解得，所以，
故，而，故是以2为首项、2为公比的等比数列，
所以．
（2）若选①：
由（1）知，所以，
则，
，
两式相减，得：，
所以．
若选②：
由（1）知，所以，
则
．
5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；；
(2).
【解析】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得，
所以；
数列满足，即，所以是公比为2的等比数列，
又，即，所以，解得，所以；
（2）由（1）得，，
所以

.
考点四 其他求和形式
【例4-1】（2025·福建三明）若数列满足，，则（ ）
A．155 B．156 C．203 D．204
【答案】A
【解析】由，则，
故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，
由，则，，
则，
故
.
故选：A
【例4-2】（2025·天津南开）若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）．
A．1350 B．1352 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，，
所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，
则.
故选：B
【变式】
1．（2026高三·全国·专题练习）数列满足，则（ ）
A．4046 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以是周期为2的周期数列，所以．故选：C．
2．（2025·江西）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
，
，，
，，即.故选：D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，数列的首项为1，且满足．若，则数列的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【解析】因为函数，则，
所以函数在上单调递增，且是奇函数．
，，
，
，，即，
数列的前2023项和为．
故选：B．
4．（2025·重庆）数列满足，则的前100项和 ．
【答案】
【解析】，
①当为偶数时，
，，，
，，
…
，
.
②当为奇数时，
，，
，
，，…，，
，
故答案为：
考点五 其他求项形式
【例5-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因为，（，），
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，则.
故选：A.
【例5-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（ ）
A．29 B．31 C．59 D．61
【答案】B
【解析】因为，且满足，
当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以.
故选：B.
【变式】
1.（2025·湖南）在数列中，，，则（　　）
A． B．1
C． D．2
【答案】D
【解析】，，，
，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：D.
2．（2025甘肃）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】在数列中，由，得，
于是，因此数列是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：A
3．（2025河南）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则
【答案】107
【解析】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍数，又是7的倍数，
即是21的倍数，且，∴，即，∴．
4．（2024·辽宁铁岭 ）已知数列，则该数列的第2024项为
【答案】
【解析】该数列的通项公式为，所以.
单选题
1．（2024江苏）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（ ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
【答案】D
【解析】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以
2．（2024浙江）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.
故选：B.
3．（2025安徽）已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列的各项为正数，且，，
故当时，，
由题意可知，对任意的，，则，所以，，
则有，所以，数列为常数列，
故，所以.
故选：A.
5．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，.
当时，利用递推关系：,
因此，（）.
当 时，项为 ,
当时，项为,
,
将的项与剩余项相加：.
故选：A.
6．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，；
当时，；
也满足；故的通项公式为.
所以，
则.
故选：D
7．（2025·福建）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
依题意可得，解得；
所以可得，因此，
所以
.
故选：D
8．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①，
当时，，
当时，②，
①-②得，所以，
显然也满足上式，所以，
所以，
记数列的前项和为，
则
故选：A
多选题
9．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
【答案】ACD
【解析】由题意设等差数列的公差为，则，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
解得：，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，的前项和为，故B错误；
对于C，因为，
所以的前2025项和为，故C正确；
对于D，因为，
所以的前10项和为，故D正确.
故选：ACD
10．（2025·江西）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以，解得，故A错误；当时，
，
则，且也符合，故B正确；
，故C正确；
，则，故D正确.
故选：BCD
11．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知数列满足，，的前n项和为，则（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，由B可知数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，即，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
填空题
12．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
【答案】
【解析】已知，将换为，可得，
那么（）.
利用累乘法求（），
由（）可得：
观察发现，约分后可得（）.
当时，，与已知相符.
所以，.
故答案为：，.
13．（2025福建）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为 .
【答案】/
【解析】因为，则，
即，且，则，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，故.
故答案为：.
14．（24-25高二下·山西·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 .
【答案】
【解析】当时，所以；
当时，由，
得，所以.
令，
则，
两式作差得，
所以.
故答案为：
解答题
15．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为，
由，，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为，
因为，由得，解得，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
.
16．（24-25河南）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为，可得，所以，
两边同除以，可得，即，
又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，可得，
所以，
则.
两式相减，可得
，
所以.
17．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）∵，
∴，
两式相减得：，
即，
∴，∴，
∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，
∴，∴.
当时，满足上式，∴.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
又
即数列是以为首项，为公差的等差数列.
∴.
18．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式及的最大值；
(2)无穷数列的首项为3，前项和为，在下列三个条件中选择一个，使得数列为等比数列.
条件①：，；条件②：；条件③：，.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对都有，直接写出的取值范围（不要求计算过程）.
【答案】(1)，最大值；
(2)（i）选择条件③，；（ii）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以.
令，得，所以当或时，取最大值；
（2）选择条件③.
对于条件①：，，，故数列为等差数列；
对于条件②：，无法判定数列为等比数列；
对于条件③：，
因为，，，所以.
所以，即，故数列是首项为3，以为公比的等比数列.
（i）记数列的前项和为，
则
（ii）由（1）知，数列是首项为3，以为公比的等比数列，
所以数列的前项和为，
由得，
当为偶数时，，即，令，则，又在单调递增，故，所以；
当为奇数时，，即，令，则，又，所以；
综上所述，.
19．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)6
【解析】（1）①，
当时，②，
式子①-②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2），则，设数列的前项和为，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，为偶数.
，
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，.
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，故使得成立的最大整数为6.
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