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第4讲 导数中的求参数
考点一 切线中的求参
【例1-1】（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））曲线在点处的切线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B． C．或0 D．0
【变式】
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （ ）
A． B． C． D．
考点二 单调性求参数
【例2-1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·重庆·期中）若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为 ．
5．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ．
考点三 含参函数单调性的分类讨论
【例3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【例3-2】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，求的取值范围.
【变式】
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
2．（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)证明：．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，当时，讨论函数的单调性.
考点四 极值（点）求参数
【例4-1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A． B．8 C． D．12
【例4-2】（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C．5 D．9
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
考点五 最值求参数
【例5-1】．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
3．（24-25高二下·北京·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数，则说法错误的是（ ）
A．有一个零点
B．的单调递增区间为
C．在上的最大值为7
D．有两个极值点
7．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，其导函数为，则说法不正确的是（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有三个零点
C．
D．若在区间上有最大值，则的取值范围为
多选题
9．（河南省周口市2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ）
A． B．-3 C．1 D．3
10．（24-25高二下·云南文山·期中）已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个极值点，则
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有一个零点
D．当时，函数在上单调递增
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
填空题
12．（24-25江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ．
13．（2025·江苏苏州）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
14．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 .
解答题
15．（2025·甘肃白银）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
16．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线倾斜角为锐角，求的取值范围；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
17．（24-25高二下·湖北·阶段练习）若函数.
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数、的值；
(2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为，求实数的值.
18．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值；
(2)求在区间上的最大值.
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第4讲 导数中的求参数
考点一 切线中的求参
【例1-1】（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））曲线在点处的切线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，当时，，
因曲线在点处的切线与直线垂直，故，
解得.故选：B
【例1-2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设曲线在点处的线线过点，
由，求导得，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
因为从点可向曲线引三条不同切线，
所以有三个不同的解，即有三个不同的解，
设，该函数有三个不同零点，求导得，
令，则或，
当或，，当，，
所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则，即，解得.
故选：B.
【例1-3】（河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B． C．或0 D．0
【答案】C
【解析】设与相切于点，
，故切线斜率，
在点处的切线方程为，
即，故，
设与相切于点，
，则，所以，解得，
在处的切线方程为，
即，故，
所以，
将代入上式得，
整理得，解得或，
当时，切线方程为，此时，所以；
当时，切线方程为，故，，所以；
综上所述：或0.
故选：C.
【变式】
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由，求导得，又因为曲线在点处的切线方程为，
所以．故选：A.
2．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，
所以切线的斜率，
则此曲线在P处的切线方程为，
又此切线过坐标原点，所以，
由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，
故选：A．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为和曲线，
所以，，，
设切线分别切两曲线于，，
则直线斜率为，所以，
所以，，
设，，则，，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，且当与时，，
所以故选：B.
4．（24-25高二下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设切点为，对函数求导，得，则切线的斜率，
即切线方程为.
因为切线过点，所以，化简得，
因为切线有条，所以，解得或.
故选：AD.
考点二 单调性求参数
【例2-1】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知函数的定义域为， ，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因为函数在区间上不单调，
所以，，解得，
所以，实数的取值范围是.故选：D．
【例2-2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
【例2-3】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
因为是上的增函数，则恒成立，
即恒成立，
当时，，此时不恒成立，不满足题意；
当时，等价于对恒成立，
则.
故选：C.
【例2-4】（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴.
∵，∴.
设，则.
当时，，在上单调递增，
∴，此时在上单调递增，不合题意.
当时，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
当时，，当时，，
∵函数在上不单调，∴，即，
∴，解得，即实数的取值范围为.故选：D.
【变式】
1．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，令，
因为函数在区间上不单调，
所以在上有变号零点，
即，解得，
故选：C
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，则；
当时，由在上递减，
若，，合题意，
若，则，故;
又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.
综上所述，，
故选：C．
3（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
而时，函数单调递减，所以在恒成立，
即恒成立，因为，所以，
即在恒成立，
因为在上单调递增，
则，所以.
故选：A．
4．（24-25高二下·重庆·期中）若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易知函数的定义域为，
则，
若函数有单调递减区间，则在上有解，
即，也即有解，可得；
令，所以，
由可得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，即；
因此可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
5．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根.
若在内有且只有一个实数根，的图象如图，
则，
即，显然不等式无解；

若在内有两个不相等的实数根，的图象如图，
则，即，解得.
综上，实数的取值范围是

故答案为：．
考点三 含参函数单调性的分类讨论
【例3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，．
，即切点为．
，则．
所以切线方程为，即．
（2）．
①当时，，所以在单调递增．
②当时，由可得，由可得．
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，在单调递增；当时，
在单调递减，在单调递增．
【例3-2】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）函数的定义域为，则，
当时，即当时，
由得或，由得，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即当时，则对任意的恒成立，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，即当时，
由得或，由得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）当时，由于函数有三个零点，
则函数的极大值为，可得，
函数的极小值为，解得，
此时；
当时，函数的增区间为，此时函数至多一个零点，不合乎题意；
当时，由于函数有三个零点，
则函数的极小值为，解得，
函数的极大值为，解得且，
此时或.
综上所述，实数的取值范围是.
【变式】
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】定义域，，
①当时，，在上单调递减，
②当时，令得，
令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
2．（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)证明：．
【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减
(2)证明见解析
【解析】（1），，令，得．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
（2）．
设，则，
令，得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，
由（1）知，，得证．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得，
则.
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即.
（2）由（1）得，
令，则.
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
即.
①当时，在上单调递增.
②当时，由，得；由，得，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，当时，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】函数的定义域为，
又，
当时，，故函数在区间上单调递减；
当时，令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减
故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减.
考点四 极值（点）求参数
【例4-1】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，解得，
当时，，
当或时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此是的极大值点，故，所以.
故选：C
【例4-2】（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数定义域为，，
因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根，
所以，
故选：B．
【变式】
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
因此是的极值点，所以.
故选：B
2．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】D
【解析】函数，则，
因为在处取极值，所以，解得：，
经检验满足题意.故.故选：D.
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，令得或，
当时，，在R上单调递增，无极值；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，
解得；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，
不满足题意；
综上，实数.
故选：C.
4．（24-25高二下·山西·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
【答案】A
【解析】由题知在时取得极大值，
，解得或，
当时，，
由，在区间上单调递增；
由在区间上单调递减．
此时在时取得极大值，满足题意，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去．
．故选：A.
考点五 最值求参数
【例5-1】．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数定义域为，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值，
又函数在内有最小值，则，解得，
所以实数的取值可以是.
故选：D
【例5-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选：D.
【变式】
1．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，且；
令，解得或（舍）；
显然当时不合题意，
当时，若，易知，此时函数在上单调递增，
若，易知，此时函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，即，
解得，符合题意；
当时，若，易知，此时函数在上单调递减，
若，易知，此时函数在上单调递增；
此时无最大值，不符合题意；
综上可知，.故选：A.
2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【解析】（1）由题意得函数的定义域为，
因为，所以，
当时，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）若函数在上的最小值为，
则对于恒成立，且存在使得等号成立，
得到恒成立，即对于恒成立，
令，则恒成立，而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
得到，故.
3．（24-25高二下·北京·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
【答案】(1)；
(2)极大值为，极小值为；
(3)答案见解析.
【解析】（1）由题设，则，且，
所以曲线在点处的切线方程，则；
（2）由（1）有，
或时，，则在、上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以函数极大值为，极小值为.
（3）在区间上，，显然，
若，则，此时的最大值为0；
若，则，此时的最大值为.
单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由可得，
则，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
且直线的斜率为，即，解得.
故选：A
2．（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以；
令，则，又，故，
即的单调递减区间是，可得.
故选：A.
3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对函数求导得，
因为函数在上无极值，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
4．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，
可得，
因为在上单调递增，有恒成立，
整理为，
令，可得，
由二次函数的单调性，则满足，可得，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的导数的导数为，
设与曲线相切的切点为相切的切点为，
则有公共切线斜率为，
又，即有，即为，即有，
则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解，
令，则，
当时，递减，当时，递增，
即有处取得极大值，也为最大值，且为，
由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点，
可得的范围是，
故选：D.
6．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数，则说法错误的是（ ）
A．有一个零点
B．的单调递增区间为
C．在上的最大值为7
D．有两个极值点
【答案】B
【解析】由题设，则或有，有，
所以在和上单调递增，在上单调递减，B错；
且，，时趋向于，时趋向于，
所以在存在唯一零点，在定义域上有两个极值点，A、D对；
又，，显然在上的最大值为7，C对；
故选：B
7．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
则，
令，得或，
当，即时，，
函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，则在没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
，
要使在有最大值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，其导函数为，则说法不正确的是（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有三个零点
C．
D．若在区间上有最大值，则的取值范围为
【答案】A
【解析】因为，则，
则，所以，故C正确；
因为，令，得，解得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，
图象如图所示：
故有两个极值点，三个零点，故B正确；
设切点的坐标为，则切线斜率为，
则，所以不存在斜率为的切线，
直线不是曲线的切线，故A错误；
因为，所以若在区间上有最大值，
则，所以，
即在区间上有最大值，则的取值范围为，故D正确．
故选：A．
多选题
9．（河南省周口市2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ）
A． B．-3 C．1 D．3
【答案】AD
【解析】设切点为，由函数，可得，
则切线的斜率，切线方程为，
因为切线过点，所以，整理得，
因为切线有2条，所以，解得或，
结合选项知，选项A、D符合题意.
故选：AD.
10．（24-25高二下·云南文山·期中）已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个极值点，则
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有一个零点
D．当时，函数在上单调递增
【答案】BD
【解析】对于A，函数有两个极值点，即方程有两个不等的实根，
此时，，则，故A错误；
对于B，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数在上单调递减，
当时，，此时函数在上单调递增，
故函数在上有最小值，故B正确；
对于C，当时，，，
令，可得或，
当时，，此时函数在区间上单调递增，
当时，，此时函数在区间上单调递减，
当时，，此时函数在区间上单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如图所示，
由图可知，函数有两个零点，故C错误；
对于D，当且时，，故函数在上单调递增，故D正确，
故选：BD.
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
【答案】ACD
【解析】，，
令，可得，当时，，当时，，
所以是函数的极小值点，极小值，故A正确；
由在上单调递减，上单调递增，且，
可知无零点，故B错误；
令，则，即，
令，，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，上单调递减，
，故，则，单调递减，
当时，，当时，，
所以直线和曲线有且只有一个交点，
即方程恰有1个实根，故C正确；
由，令，，
当时，，所以在上为凹函数，
所以对任意的，都有，故D正确.
故选：ACD.
填空题
12．（24-25江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，
对求导得，所以，即切点，
所以；
对求导得，
所以或（舍去），
所以.
故答案为：.
13．（2025·江苏苏州）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
所以在上不单调，所以在上有解，
即在有解，即存在，使得，
又因为在上单调递减，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 .
【答案】/
【解析】由，
得，
则，
解得或，
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极小值，不成立；
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极大值，成立；
综上所述，
故答案为：.
解答题
15．（2025·甘肃白银）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
16．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线倾斜角为锐角，求的取值范围；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)、.
(3)
【解析】（1）当时，，则，
因曲线在点处的切线倾斜角为锐角，
则，得，
则的取值范围为.
（2）当时，，
则，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
（3）因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个变号零点，
当时，对任意的，，不符合题意；
当时，函数的对称轴，则在上单调递增，
因为，只需，符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需或，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
17．（24-25高二下·湖北·阶段练习）若函数.
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数、的值；
(2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，其中，则，
由导数的几何意义可得，则，所以，，
因为点在直线上，所以，，解得.
综上所述，，.
（2）因为，其中，则，
因为，则，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，解得，合乎题意.
综上所述，.
18．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【解析】（1）易知的定义域为，
可得；
若，可得，此时在上单调递增；
若，令，解得；
当时，，即可得在上单调递减；
当时，，即可得在上单调递增；
综上可得，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，
此时无最小值，不合题意；
当时，可知在上单调递减，在上单调递增；
此时在处取得极小值，也是最小值；
因此，解得，符合题意；
当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意；
综上可知，
19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意知，，
设曲线上一点，则，
曲线的过点的切线斜率为，
于是曲线在点处的切线方程为，
即，
又直线是曲线的一条切线，
所以.
令，
则，
所以在上单调递减，
由于，所以方程有唯一解，
因此的解为，
代入，得.
（2）易知在上单调递增，
当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为；
当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为；
当时，，，存在，使得，
当时，，当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以的最大值是或，
当时，，所以的最大值为；
当时，，所以的最大值为；
当时，，所以的最大值为.
因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为.
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