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微专题1　库仑力作用下带电体的平衡及运动问题
探究点一　同一直线上三个电荷的平衡问题
1．平衡条件：每个点电荷受到另外两个电荷的库仑力必须大小相等，方向相反．
2．平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
3．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可．
例1 如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q1∶q2∶q3为(　　)
A．9∶4∶36 B．(－3)∶2∶(－6)
C．3∶2∶6 D．(－9)∶4∶(－36)
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
练1　如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，现引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　)
A．－Q，在A左侧距A为L处
B．－2Q，在A左侧距A为处
C．－4Q，在B右侧距B为L处
D．＋2Q，在A右侧距A为处
练2　如图所示，a、b、c为真空中三个带电小球，b小球带电荷量为＋Q，用绝缘支架固定，a、c两小球用绝缘细线悬挂，处于平衡状态时三小球球心等高，且a、b和b、c间距离相等，悬挂a小球的细线向左倾斜，悬挂c小球的细线竖直，则下列判断正确的是(　　)
A．a、b、c三小球带同种电荷
B．a、c两小球带异种电荷
C．a小球带电荷量为－4Q
D．c小球带电荷量为＋4Q
探究点二　静电力作用下的平衡问题
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
题型1　静电力作用下的静态平衡
例2如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形．若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A、B、C三球所带电荷量大小之比为(　　)
A．2∶1∶4 B．1∶2∶4
C．∶1∶2 D．1∶∶2
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型2　静电力作用下的动态平衡
例3 如图所示，绝缘杆OP竖直固定在绝缘水平桌面上，带正电的小球A套在杆上，带正电的小球B右侧为绝缘竖直固定挡板．系统静止在图示位置，不计一切摩擦，两小球均可视为质点，重力加速度为g.由于空气潮湿，两球缓慢漏电，球A从a处缓慢移到b处，则此过程中　　(　　)
A．球B对桌面的压力逐渐增大
B．杆对球A的弹力逐渐减小
C．挡板对球B的弹力逐渐减小
D．两球间的库仑力逐渐增大
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4(2024·江苏泰州兴华阶段测试)如图所示，质量分别为m1、m2的A、B两小球带同种电荷(A、B均可视为点电荷)，电荷量分别为q1、q2，用等长的细线悬挂在同一点，由于静电斥力的作用，小球A靠在竖直光滑墙上，悬挂A的细线沿竖直方向，A、B均处于静止状态．由于某种原因，两球之间的距离变为原来的一半，则其原因可能是(　　)
A．m2变为原来的 B．m2为原来的8倍
C．q1变为原来的 D．q2变为原来的
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后反思
解静电力作用下动态平衡问题的常见思路
练3　(多选)如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　)
A．0.5 m B．0.8 m
C．1.2 m D．2.5 m
探究点三　 静电力作用下的动力学问题
例5如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为＋2Q和－Q的可视为点电荷的金属球A、B，间距为L.在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为＋q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；将A、B接触静电平衡后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2.则(　　)
A．a1、a2的方向均水平向右
B．a1、a2的方向均水平向左
C．a1与a2大小之比等于
D．a1与a2大小之比等于
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6 如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
[试答]
练4　如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O.在O处施加一水平恒力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则(　　)
A．小环A的加速度大小为
B．小环A的加速度大小为
C．恒力F的大小为
D．恒力F的大小为
1．如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电轻质小球a、b，左边放一个带正电的固定球，电荷量为＋Q，两悬球都保持竖直方向．下面说法中正确的是(　　)
A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小
C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小
2．(2024·江苏南通期末)如图所示，a、b两带电小球质量都是m，a与悬点间用一根绝缘细线连接，系统处于静止状态．已知重力加速度为g，整个过程不漏电，则(　　)
A．绝缘细线的张力大小等于2mg
B．a、b两球可能带同种电荷
C．a的电荷量一定大于b的电荷量
D．剪断细线瞬间b球的加速度为g
3．光滑绝缘圆环轨道竖直固定，两个均带正电荷的小环a、b套在圆环上，小环a固定在轨道最低点，小环b静止在圆环轨道上，如图所示．由于其中一小环缓慢漏电，小环b沿圆环缓慢下降，下列说法正确的是(　　)
A．漏电小环一定为a
B．漏电小环一定为b
C．两小环间的库仑力变小
D．小环b受到的支持力变小
4．如图，V形对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面的夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑．两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则P与M间的动摩擦因数至少为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
微专题1　库仑力作用下带电体的平衡及运动问题
导学　掌握必备知识　强化关键能力
探究点一
[例1]　解析：三个电荷处于平衡时两边电性相同与中间相反，若q1带负电，则q2带正电，q3应带负电；若q1带正电，则q2带负电，q3应带正电；由于每个电荷所受静电力的合力均为零，所以对q1有：k …①，对q2有：k …②，对q3有：k，联立①②③可解得q1∶q2∶q3＝∶1∶，根据题意可知l2＝2l1，所以q1∶q2∶q3＝∶1∶9，由于q1、q3是同种电荷，故q1∶q2∶q3＝(－9)∶4∶(－36)或q1∶q2∶q3＝9∶(－4)∶36，故A、B、C错误，D正确．
答案：D
练1　解析：A、B、C三个电荷要平衡，三个电荷必须共线且外侧两电荷相排斥，中间电荷吸引外侧两电荷，而且外侧电荷电量大，所以C必须带负电，放在B右侧，对C：，解得r＝L，对B：，解得qC＝4Q.选项C正确．
答案：C
练2　解析：根据力的平衡条件可知，因b球带正电，要使a、c两球平衡，所以a、c两球一定带负电，A、B错误；对c小球进行分析，a、c间的距离是b、c间的两倍，由库仑定律，则有k，解得Qa＝4Q，即a小球带电荷量为－4Q，C正确，D错误．
答案：C
探究点二
[例2]　解析：对B、C两球进行受力分析，如图所示，
对C球，由力的平衡条件可得FBC＝mCg，对B球，由力的平衡条件有FT·sin 60°＝FAB·sin 30°＋FCB＝FAB·sin 30°＋mCg，FT·cos 60°＝FAB·cos 30°＋mBg，由题设条件有mB＝mC，联立各式解得FAB＝FBC，由上述结论：FBC＝FBC，以及库仑定律：F＝k，可得qA∶qB∶qC＝2∶1∶4，故B、C、D错误，A正确．
答案：A
[例3]　解析：以两球为研究对象，受力分析可知桌面对球B的支持力FN始终与两球的总重力大小相等、方向相反，根据牛顿第三定律知球B对桌面的压力始终与两球的总重力大小相等，即不变，选项A错误；对球A受力分析，如图所示，球A缓慢移动，则受到的合外力始终为零，库仑力F＝，杆对球A的弹力FNA＝mg tan θ，球A从a处缓慢移到b处的过程中，θ逐渐增大，cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则F、FNA均逐渐增大，选项B错误，D正确；由两球受力平衡得挡板对球B的弹力FNB与FNA等大反向，则FNB逐渐增大，选项C错误．
答案：D
[例4]　解析：对B球受力分析，B球受到重力、库仑斥力F以及细线的拉力FT而处于平衡状态，如图甲所示，设线长为L，两球间距离为x，根据力的矢量三角形与几何三角形相似，可得；由于F＝k，可得.分析各个选项，当B球的质量变为原来的8倍，而其他条件不变时，能使A、B两球间的距离缩短为.
答案：B
练3　解析：对A受力分析，受重力mg、线的拉力FT、B对A的吸引力F，由分析知，A平衡时，F的最小值为F＝mg sin 30°＝，解得r＝1 m，所以两球的距离d≤1 m，A、B正确．
答案：AB
探究点三
[例5]　解析：在A、B接触前，由于B、C的吸引力大于A、C的排斥力，所以a1的方向水平向左，根据库仑定律和牛顿第二定律可得k＝ma1；在A、B接触后，点电荷A、B的电荷量先中和再平分后，二者所带电荷量均为＋0.5Q，由于A、B都带正电，所以C受到的都是排斥力，则a2的方向水平向右，根据库仑定律和牛顿第二定律可得k＝ma2，联立两式可得，a1与a2大小之比为.
答案：C
[例6]　解析：(1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝，
解得vB＝.
(2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－k，
解得FN＝3mg＋k，
根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力大小为F′N＝FN＝3mg＋k，
方向竖直向下．
答案：(1)　(2)3mg＋k，方向竖直向下
练4　解析：设轻绳的拉力为FT，则对A：FT＋FTcos 60°＝k，FTcos 30°＝maA，联立解得aA＝，故B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2maA＝，故C、D错误．
答案：B
导练　落实创新应用　提升学科素养
1．解析：要使a、b平衡，必须有a带负电，b带正电，且a球电荷量较小，B正确．
答案：B
2．解析：以a、b两小球整体为研究对象，受到重力和细线的拉力，二力平衡，可知细线的拉力FT＝2mg，A正确；以b球为研究对象，受到重力和a球对其的库仑力，由二力平衡可知a球对b球的库仑力竖直向上，即表现为吸引，故a、b两球带异种电荷，B错误；由题意仅可得出两小球间的库仑力大小为mg，无法判断a、b两球所带的电荷量的大小关系，C错误；剪断细线瞬间a、b两球位置不变，故它们之间的库仑力大小不变，所以b球受力情况不变，处于平衡状态，加速度为零，D错误．
答案：A
3．解析：依题意，漏电小环可能为a，也可能为b，故A、B错误；对小环b受力分析如图所示，
根据平衡条件及三角形相似有，可知小环b受到的支持力大小等于小环的重力，保持不变，两环之间的库仑力减小，故C正确，D错误．
答案：C
4．解析：滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带同种电荷．两者之间为库仑斥力，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对Q滑块在沿着斜面方向有mg cos 30°＝F cos 30°，可得F＝mg；而对P滑块，在动摩擦因数最小时有F′N＝F′＋mg sin 30°，mg cos 30°＝μF′N，F′＝F，联立解得μ＝.
答案：D
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共63张PPT)
微专题1　库仑力作用下带电体
的平衡及运动问题
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 进一步掌握库仑力的计算公式及库仑力的方向判定．
科学思维 (1)会对库仑力作用下的带电体进行受力分析．
(2)会运用合成法、分解法处理共点力作用下的平衡及运动问题．
科学态度与责任 通过实际问题的解决，体会物理学的和谐统一之美，激发学生探索自然的主动性．
探究点一　同一直线上三个电荷的平衡问题
1．平衡条件：每个点电荷受到另外两个电荷的库仑力必须大小相等，方向相反．
2．平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
3．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可．
例1 如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q1∶q2∶q3为(　　)
A．9∶4∶36 B．(－3)∶2∶(－6)
C．3∶2∶6 D．(－9)∶4∶(－36)
答案：D
答案：C
练2　如图所示，a、b、c为真空中三个带电小球，b小球带电荷量为＋Q，用绝缘支架固定，a、c两小球用绝缘细线悬挂，处于平衡状态时三小球球心等高，且a、b和b、c间距离相等，悬挂a小球的细线向左倾斜，悬挂c小球的细线竖直，则下列判断正确的是(　　)
A．a、b、c三小球带同种电荷
B．a、c两小球带异种电荷
C．a小球带电荷量为－4Q
D．c小球带电荷量为＋4Q
答案：C
探究点二　静电力作用下的平衡问题
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
题型1　静电力作用下的静态平衡
例2如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形．
答案：A
解析：对B、C两球进行受力分析，如图所示，
题型2　静电力作用下的动态平衡
例3 如图所示，绝缘杆OP竖直固定在绝缘水平桌面上，带正电的小球A套在杆上，带正电的小球B右侧为绝缘竖直固定挡板．系统静止在图示位置，
不计一切摩擦，两小球均可视为质点，重力加速度为g.由于空气潮湿，两球缓慢漏电，球A从a处缓慢移到b处，则此过程中　　(　　)
A．球B对桌面的压力逐渐增大
B．杆对球A的弹力逐渐减小
C．挡板对球B的弹力逐渐减小
D．两球间的库仑力逐渐增大
答案：D
解析：以两球为研究对象，受力分析可知桌面对球B的支持力FN始终与两球的总重力大小相等、方向相反，根据牛顿第三定律知球B对桌面的压力始终与两球的总重力大小相等，即不变，选项A错误；对球A受力分析，如图所示，
答案：B
题后反思
解静电力作用下动态平衡问题的常见思路
练3　(多选)如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　)
A．0.5 m B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m
答案：AB
探究点三　 静电力作用下的动力学问题
例5如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为＋2Q和－Q的可视为点电荷的金属球A、B，间距为L.在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为＋q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；
答案：C
例6 如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
练4　如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O.
答案：B
1．如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电轻质小球a、b，左边放一个带正电的固定球，电荷量为＋Q，两悬球都保持竖直方向．下面说法中正确的是(　　)
A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小
C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小
答案：B
解析：要使a、b平衡，必须有a带负电，b带正电，且a球电荷量较小，B正确．
2．(2024·江苏南通期末)如图所示，a、b两带电小球质量都是m，a与悬点间用一根绝缘细线连接，系统处于静止状态．已知重力加速度为g，整个过程不漏电，则(　　)
A．绝缘细线的张力大小等于2mg
B．a、b两球可能带同种电荷
C．a的电荷量一定大于b的电荷量
D．剪断细线瞬间b球的加速度为g
答案：A
解析：以a、b两小球整体为研究对象，受到重力和细线的拉力，二力平衡，可知细线的拉力FT＝2mg，A正确；以b球为研究对象，受到重力和a球对其的库仑力，由二力平衡可知a球对b球的库仑力竖直向上，即表现为吸引，故a、b两球带异种电荷，B错误；由题意仅可得出两小球间的库仑力大小为mg，无法判断a、b两球所带的电荷量的大小关系，C错误；剪断细线瞬间a、b两球位置不变，故它们之间的库仑力大小不变，所以b球受力情况不变，处于平衡状态，加速度为零，D错误．
3．光滑绝缘圆环轨道竖直固定，两个均带正电荷的小环a、b套在圆环上，小环a固定在轨道最低点，小环b静止在圆环轨道上，如图所示．由于其中一小环缓慢漏电，小环b沿圆环缓慢下降，下列说法正确的是(　　)
A．漏电小环一定为a
B．漏电小环一定为b
C．两小环间的库仑力变小
D．小环b受到的支持力变小
答案：C
答案：D
1．(2024·安徽安庆高二联考)在学习库仑定律内容时，有如图的演示实验，一个带正电的球体M放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带正电的小球N先后挂在横杆上的P1、P2和P3处，通过调整丝线长度使M、N的球心在同一高度，当小球N静止时，观察丝线与竖直方向的夹角．通过观察发现：当小球N挂在P1时，丝线与竖直方向的夹角最大；当小球N挂在P3时N丝线与竖直方向的夹角最小．
根据三次实验结果的对比，通过推理和分析，下列说法中正确的是(　　)
A．小球N与球体M间的作用力与球体M的电荷量成正比
B．小球N与球体M间的作用力与M、N的电荷量的乘积成正比
C．小球N与球体M间的作用力与M、N两球心距离成反比
D．距离球体M越远的位置，绝缘丝线对小球N的拉力越小
答案：D
解析：对比三次实验，M、N间的距离不同，对小球N受力分析，如图：设丝线与竖直方向夹角为θ，由平衡条件得F库＝mg tan θ，FTcos θ＝mg，由图可知，距离球体M越远的位置，丝线与竖直方向夹角θ越小，cos θ越大，tan θ越小，则绝缘丝线对小球N的作用力FT越小，库仑力越小，但不能判断库仑力与电荷量和距离是否成正比或反比，故A、B、C错误，D正确．
2．如图所示，三个带电小球A、B、C静止在光滑水平地面上，A带正电，电荷量为q(q＞0)，A、B之间距离为L，B、C之间距离为2L，则(　　)
A．B球带正电 B．C球带负电
C．B球电荷量为－q D．C球电荷量为4q
答案：D
答案：C
4．(8分)(2024·湖南衡阳高二联考)如图所示，把一带电荷量为Q＝－5×10－8 C的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为q＝＋4×10－6 C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30 cm时，绳与竖直方向成45°角，取g＝10 m/s2，k＝9.0×109 N·m2/C2，且A，B两小球均可视为点电荷，求：
(1)A，B两球间的库仑力大小；
(2)A球的质量．
5．(10分)(2024·高二浙江杭州阶段练习)如图所示，绝缘水平面上静止着两个完全一样的金属带电体，可视为点电荷．质量均为m、电荷量均为＋Q，与水平面间的动摩擦因数均为μ，它们间的距离为r.重力加速度为g，静电力常量为k.
(1)求A所受摩擦力的大小和方向；
(2)将一个带电量为－2Q，完全一样的带电体C先接触A，再接触B，求取走C后A所受摩擦力的大小和方向．
答案：BCD
答案：B
9．将一电荷量为＋Q的点电荷固定在空中某一位置O处，有两个电荷量相等的带负电小球A、B分别在O点下方不同高度的水平面内做匀速圆周运动，且运动轨迹处在以O点为球心的同一球面上，如图所示．小球A、B之间的作用力忽略不计，则下列说法正确的是(　　)
A．小球A的质量大于小球B的质量
B．小球A、B做圆周运动时受到的库仑力相同
C．小球A的角速度大于小球B的角速度
D．小球A的线速度小于小球B的线速度
答案：C
10．(12分)某学习小组通过实验用共点力平衡的方法来测量带电体之间静电力的大小，实验装置示意图如图所示．一个质量为m带正电的小球B用绝缘细丝线悬挂于C点，O点在C点正下方h处，以O点为坐标原点，沿水平方向建立一维坐标系．将另一个带正电的小球D靠近B，B受到静电力F作用而发生偏移．
解析：(1)小球B的受力示意图如图所示．

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