苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第02讲一元二次方程的解法(配方法和公式法)(学生版+解析)

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苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第02讲一元二次方程的解法(配方法和公式法)(学生版+解析)

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第02讲 一元二次方程的解法(配方法和公式法)
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解配方法,会用配方法解数字系数的一元二次方程; 2.会用公式法解数字系数的一元二次方程,并通过公式的推导,体会转化的思想。
1.解下列方程
(x+1) =16
解:x+1=4或x+1=-4
∴x1=3 x2=-5
2.再尝试一下下列方程
x +2x=15 思路:去凑完全平方的形式
解: x +2x=1=15+1 (两边同时架上1)
(x+1) =16 (写成完全平方公式)
x+1=4或x+1=-4
∴x1=3 x2=-5
3.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h) =k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平放法求出方程的解,这种一元二次方程的解法叫做配方法。
配方法的解题步骤:
步骤 方法 举例(2x -7x+3=0)
一化 二次项系数化1 左、右两边同时除以二次项系数
二移 移项 将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方求根 直接开平方法
4.用配方法求
解:
我们把(b -4ac≥0)称为一元二次方程的求根公式。,把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式,就可以求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
5.公式法的步骤
步骤 方法 举例(2x -7x=-3)
第一步 把方程化为一般形式 确定a、b、c的值; 先变成2x -7x+3=0 ∵a=2 b=-7 c=3
第二步 求出b -4ac的值 b -4ac=49-24=25>0
第三步 当b -4ac≥0时,把a、b及b -4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;当b -4ac<0,方程没有实数根。
6.根的判别式
式子b -4ac叫做一元二次方程的根的判别式,用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。
的根的情况 回答方式
b -4ac>0 有两个不相等的实数根 X1= ,X2=
b -4ac=0 有两个相等的实数根 X1=X2=
b -4ac<0 没有实数根 原方程无解
考点一:配方法
例1.用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,将方程两边同时加上一次项系数一半的平方,再写成完全平方式即可得出答案.
【详解】解:∵,
∴,即,
故选:A.
【变式1-1】用配方法解方程时,将方程化为的形式,则a的值是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,根据配方法进行计算即可求解,熟练掌握配方法是解题关键.
【详解】解:
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
【变式1-2】把关于的一元二次方程 配方,得 ,则 .
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程;把常数项c移项后,在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得,进而得出,即可求解.
【详解】解:
配方,得
∴,

∴,
故答案为:.
【变式1-3】(1)解方程:;
(2)用配方法解方程:.
【答案】(1),;(2),
【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法,熟练其解法是解题的关键.
(1)由得,或,即可求解;
(2)将,配方得,即,开方后即可求解;
【详解】解:(1),
或,
解得:,;
(2),
配方得:,即,
开方得:,
解得:,.
考点二:根的判别式
例2.关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.
先计算根的判别式的值得到,再由非负数的性质可判断,然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断.
【详解】解:∵,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:D.
【变式2-1】一元二次方程解的情况,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根
C.方程无实数根 D.方程有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式,解题的关键是正确理解一元二次方程的根与的关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.先计算根的判别式的值,然后根据根的判别式的值判断根的情况.
【详解】解:由得:,
,,,
∴,
∴方程有两个不相等的实数根,
故选:B.
【变式2-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数,掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键.
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得,由此即可求解.
【详解】解:根据题意得,,

解得,,
故答案为: .
【变式2-3】已知关于的方程.
(1)若方程的一个实根是3,求实数的值.
(2)求证:无论取什么实数,方程总有实数根.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的根,根的判别式:
(1)将代入方程,进行求解即可;
(2)求出判别式的符号,即可得出结论.
【详解】(1)解:由题意,得:,
解得:;
(2)∵,


∴无论取什么实数,方程总有实数根.
考点三:根据根的情况求解
例3.已知关于x的一元二次方程无实数根,则函数与函数的图象交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象.首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围,然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置.
【详解】解:∵方程无实数根,
∴,
解得:,则函数的图象过二,四象限,
而函数的图象过一,三象限,
∴函数与函数的图象不会相交,则交点个数为0,
故选:A.
【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系,熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键.
根据一元二次方程有实数根,即,得出关于m的一元一次不等式,进行求解即可.
【详解】解:∵一元二次方程有实数根,

解得.
故选:B.
【变式3-2】若关于x的一元二次方程有两个不等实数根,则k的取值范围是 .
【答案】且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式.熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根,根的判别式大于0, “二次项系数不为0”,是解决问题的关键.根据一元二次方程有两个不相等的实数根,得到且,解不等式即可.
【详解】解:根据题意得:且,
解得:且,
故答案为:且.
【变式3-3】已知关于的一元二次方程.
(1)当时,求方程的解;
(2)若该方程有实数根,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程,一元二次方程跟的判别式.
(1)利用配方法解方程即可;
(2)根据一元二次方程跟的判别式,列出不等式求解即可.
【详解】(1)解:当时,原方程可化为,
配方,得,
解得;
(2)解:∵该方程有实数根,
∴,
解得,
即若该方程有实数根,的取值范围是.
考点四:公式法
例4.若关于的一元二次方程的根为,则这个方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程.根据公式法解答,即可求解.
【详解】解:∵关于的一元二次方程的根为,
∴二次项系数为1,一次项系数为,常数项为,
∴这个方程为.
故选:D
【变式4-1】对于实数,,定义运算“※”:※,如※.若※,则的值为( )
A. B.
C.或 D.
【答案】C
【分析】根据新定义算法,得到,即可求解,
本题考查了,新定义运算,解一元二次方程,解题的关键是:理解新定义运算法则.
【详解】解:※,
即:,解得:或,
故选:.
【变式4-2】欧几里得的《原本》记载,形如的方程的图解法是:画,使,,,再在斜边上截取,则的长是该方程的一个正根.当,时,的长为 .
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的应用,将,代入中,解方程即可得解,熟练掌握求根公式法解方程是解本题的关键.
【详解】将,代入中得,
解方程得,,
∵的长是方程的一个正根,
∴的长为:,
故答案为:.
【变式4-3】解方程
(1);
(2)
【答案】(1) (2),
【分析】本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,
(1)利用因式分解法解一元二次方程即可;
(2)利用公式法解一元二次方程即可;
解题的关键是掌握一元二次方程的解法.
【详解】解:(1)
解得:;
(2)


∴方程有两个不相等的实数根,
∴,
,.
考点五:配方法的应用
例5.已知点是反比例函数图像上一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,根据反比例函数图象上点的坐标特征可知,把变形为,即可求解.
【详解】解:点是反比例函数图象上一点,
,,


当,时,有最小值为,
故选:A.
【变式5-1】问题:聪明的你知道代数式的最小值为多少吗?解:因为,又因为,所以,所以的最小值为1.请用上述方法,解决代数式的最小值为( )
A.3 B. C.6 D.
【答案】B
【分析】本题考查了配方法的应用,模仿题意的解题过程,进行变形作答即可.
【详解】解:依题意,,
∵,
∴,
∴所以的最小值为,
故选:B.
【变式5-2】若,则M的最小值为 .
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解和配方法,将原式分解成平方的形式,即可解答,熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键.
【详解】解:,


当时,原式取最小值2,
故答案为:2.
【变式5-3】阅读以下材料:配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.
例如:分解因式;
再例如:求代数式的最小值,.可知当时,有最小值,最小值是.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)代数式的最大值为________;
(2)已知:,,求代数式的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用,
(1)先配方,然后根据完全平方式的非负性求最大值即可;
(2)由完全平方公式可得,代入可得,然后由完全平方式的非负性可得,,即可得解.
掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键,解题时要注意配方法的步骤,注意在变形的过程中不要改变式子的值.
【详解】(1)解:∵

∴当时,有最大值,最大值为,
∴代数式的最大值为,
故答案为:;
(2)∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴代数式的值为.
1.若一元二次方程有实数根,则的值不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查根的判别式,解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系:①当 时,方程有两个不相等的两个实数根;②当 时,方程有两个相等的两个实数根;③当 时,方程无实数根,根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案.
【详解】原方程可变形为,
方程有实数根,

故选:B
2.关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式,根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根,据此列式计算,即可作答.
【详解】解:∵
∴,
∴有两个不相等的实数根,
故选:A
3.关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根,则k 的取值范围是( )
A. B. C. D.且
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到,然后求出不等式的解集即可.
【详解】解:根据题意得,
解得:.
故选:B.
4.用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为( )
A.3 B.0 C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程,先把常数项移到方程右边,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方,据此求出m、n的值即可得到答案.
【详解】解:

∴,
∴,
故选:D.
5.三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程的解,则这个三角形的周长是( )
A.1 B.11和13 C.11或8 D.13
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解法,三角形三边的关系,先解方程求出方程的解,然后利用三角形的三边关系判断解得情况,并计算三角形的周长即可.
【详解】解方程得或,
当时,,不能构成三角形;
当时,这个三角形的周长是,
故选D.
6.如图,点在反比例函数的图象上,,分别垂直于x轴、y轴,点D在位于右侧的反比例函数的图象上,,分别垂直于x轴、于E,F两点,若四边形为正方形,则这个正方形的面积等于( )
A.24 B.18 C.16 D.12
【答案】C
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式,反比例函数的性质,一元二次方程的解法,如图,延长交轴于,求解反比例函数为:,证明,设正方形的边长为,可得,再解方程可得答案.熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键.
【详解】解:如图,延长交轴于,
∵点在反比例函数的图象上,
∴,
∴反比例函数为:,
∴,
∴,
设正方形的边长为,,
∴,,
∴,
整理得,
解得:,(不符合题意,舍去),
∴正方形的面积为.
故选:C.
7.对于代数式(,a,b,c为常数),下列说法正确的是( )
①若,则有两个相等的实数根;
②存在三个实数,使得;
③若与方程的解相同,则.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程,根据根的判别式判断①;根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②;将方程的解代入即可判断③.
【详解】解:①,
方程有两个相等的实数根.
①正确;
②一元二次方程(为常数)最多有两个解,
②错误;
③方程的解为,
将代入得,即:,
将代入得,即:,
∴,则,
即:
③正确.
故选:B.
8.方程不相等的实数根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程,将作为一个整体,解方程,再根据根的判别式,进行判断,即可得出结果.
【详解】解:∵,
∴,
∴或,
当时,,方程由两个相等的实数根;
当时,,方程没有实数根;
故选A.
9.已知是关于的一元二次方程的一个根,则这个方程的另一个根为 .
【答案】
【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值,进而解答即可.本题考查了一元二次方程的根,因式分解解一元二次方程,掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键
【详解】解:∵是关于的一元二次方程的一个根,
∴,
∴解得:,
∴一元二次方程的一般式为,
∴解得,,
∴这个方程的另一个根为,
故答案为.
10.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.根据根的判别式的意义得到,然后解不等式即可.
【详解】解:根据题意得,
解得,
即的取值范围为.
故答案为:
11.用配方法解一元二次方程时,可将原方程配方成,则的值是 .
【答案】20
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.根据配方法的一般步骤,将配方为,即可得出答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴,

∴.
故答案为:20.
12.已知实数、满足等式,则 .
【答案】
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程,关键是把看成一个整体来计算,即换元法思想.
将看作一个整体,然后用换元法解方程即可.
【详解】解:设,则有:

解得,;

故.
故答案为:4.
13.对于实数,,先定义一种新运算“”如下:,若,则实数的值为 .
【答案】3
【分析】根据新定义,分类计算即可.
本题考查了新定义运算,正确理解运算是解题的关键.
【详解】当时,
变形得,
整理,得,
解得(舍去).
当时,
变形得,
解得(舍去).
故答案为:3.
14.如图,一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1,在反比例函数第三象限的图象上存在一点P,使点P到直线的距离最短,则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求函数解析式,二次根式的运算,一元二次方程的根的判别式等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.根据反比例函数确定点A、B坐标,利用待定系数法求出次函数解析式,过点点P作直线,当直线与反比例函数只有一个交点时,点P到直线的距离最短,联立求解将问题转化为一元二次方程,利用判别式,构建方程求解即可.
【详解】解:反比例函数过点A、B,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1,
,,
一次函数过点A、B,

解得,
一次函数解析式为,
过点P作直线,
当直线与反比例函数只有一个交点时,点P到直线的距离最短,设直线的解析式为,
点P为直线与反比例函数的交点,
,即,

即,解得(不合题意,舍去)或,
,解得,
当时,,
点P的坐标为.
15.解方程:
(1);
(2).
【答案】(1),
(2),
【分析】本题考查了解一元二次方程,选择合适方法解一元二次方程是解题的关键.
(1)利用配方法或公式法解一元二次方程即可;
(2)先移项,再利用因式分解法解一元二次方程即可.
【详解】(1)解:,
移项,得:,
配方,得:,
即,
开方,得,
∴,;
(2),
移项,得:,
因式分解,得,
∴或,
∴,.
16.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)若为满足条件的最大整数,求此时方程的根.
【答案】(1)
(2),
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式,解一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.
(1)根据判别式大于0即可求出答案.
(2)先求出的值,然后代入方程求出方程的解即可求出答案.
【详解】(1)解:由题意可知,

(2)解:由(1)可知:,
此时方程为:,

,.
17.附加题
(1)试用一元二次方程的求根公式,探索方程的两根互为相反数的条件是  .
(2)已知、为实数,,则  .
(3)在直角梯形中,,度,,,,动点从点出发,沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点从点出发,在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动.点、分别从点、同时出发,当点运动到点时,点随之停止运动,设运动时间为秒.
①设的面积为,求和之间的函数关系式;
②当为何值时,以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形?(分类讨论)
【答案】(1),且,异号
(2)
(3)①;②或,、、三点为顶点三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了根与系数的关系;根式和完全平方式的意义;三角形面积公式及勾股定理的应用.
(1)根据一元二次方程根与系数的关系,两根之和等于,可求出;
(2)先将原式变形为,再根据二次根式与平方都是非负数,即可求得,,即可求得.
(3)①作,则,根据三角形的面积公式即可求解.
②若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:第一种:;第二种:;第三种:若.根据勾股定理可求得或,、、三点为顶点三角形是等腰三角形.
【详解】(1)解:依题意可知:,

并且判别式△,则,异号.
故方程的两根互为相反数的条件是:,且,异号.
故答案为:,且异号;
(2)解:,
即,
,,
,,

故答案为:;
(3)解:①作,垂足为.则四边形为矩形.


②由①可知,,
若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
第一种:,在中,
则,解.
第二种:,在中,,
则,
整理得,
∵,
∴方程无实根,

第三种:若,由得,解得,(舍去)
综上可知:或,、、三点为顶点三角形是等腰三角形.
18.教科书中这样写道:“形如的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:分解因式:.
解:原式
再如:求代数式的最小值.
解:,
当时,有最小值,最小值是.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:(应用配方法)
(2)当为何值时,多项式有最大值?并求出这个最大值.
(3)利用配方法,尝试求出等式中,的值.
【答案】(1)
(2)当时,多项式有最大值,最大值是7
(3),
【分析】本题考查了整式的有关运算,解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式.
(1)利用配方法,把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式,再利用平方差公式进行分解因式即可;
(2)利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式,然后根据偶次方的非负性,求出答案即可;
(3)利用分组法把等式的左边分解因式,然后根据偶次方非负性,列出关于的方程,求出的值即可.
【详解】(1)解:原式;
(2)解:,

当时,多项式有最大值,最大值是7;
(3)解:,


,,
解得,.
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解配方法,会用配方法解数字系数的一元二次方程; 2.会用公式法解数字系数的一元二次方程,并通过公式的推导,体会转化的思想。
1.解下列方程
(x+1) =16
2.再尝试一下下列方程
x +2x=15 思路:去凑完全平方的形式
解: (两边同时架上1)
(写成完全平方公式)
3.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h) =k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平放法求出方程的解,这种一元二次方程的解法叫做配方法。
配方法的解题步骤:
步骤 方法 举例(2x -7x+3=0)
一化 二次项系数化1 左、右两边同时除以二次项系数
二移 移项 将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方求根 直接开平方法
4.用配方法求
解:
我们把(b -4ac≥0)称为一元二次方程的求根公式。,把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式,就可以求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
5.公式法的步骤
步骤 方法 举例(2x -7x=-3)
第一步 把方程化为一般形式 确定a、b、c的值; 先变成2x -7x+3=0 ∵a=2 b=-7 c=3
第二步 求出b -4ac的值 b -4ac=49-24=25>0
第三步 当b -4ac≥0时,把a、b及b -4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;当b -4ac<0,方程没有实数根。
6.根的判别式
式子b -4ac叫做一元二次方程的根的判别式,用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。
的根的情况 回答方式
b -4ac>0 有两个不相等的实数根 X1= ,X2=
b -4ac=0 有两个相等的实数根 X1=X2=
b -4ac<0 没有实数根 原方程无解
考点一:配方法
例1.用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
【变式1-1】用配方法解方程时,将方程化为的形式,则a的值是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
【变式1-2】把关于的一元二次方程 配方,得 ,则 .
【变式1-3】(1)解方程:;
(2)用配方法解方程:.
考点二:根的判别式
例2.关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【变式2-1】一元二次方程解的情况,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根
C.方程无实数根 D.方程有一个实数根
【变式2-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .
【变式2-3】已知关于的方程.
(1)若方程的一个实根是3,求实数的值.
(2)求证:无论取什么实数,方程总有实数根.
考点三:根据根的情况求解
例3.已知关于x的一元二次方程无实数根,则函数与函数的图象交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
【变式3-2】若关于x的一元二次方程有两个不等实数根,则k的取值范围是 .
【变式3-3】已知关于的一元二次方程.
(1)当时,求方程的解;
(2)若该方程有实数根,求的取值范围.
考点四:公式法
例4.若关于的一元二次方程的根为,则这个方程是( )
A. B. C. D.
【变式4-1】对于实数,,定义运算“※”:※,如※.若※,则的值为( )
A. B.
C.或 D.
【变式4-2】欧几里得的《原本》记载,形如的方程的图解法是:画,使,,,再在斜边上截取,则的长是该方程的一个正根.当,时,的长为 .
【变式4-3】解方程
(1);
(2)
考点五:配方法的应用
例5.已知点是反比例函数图像上一点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【变式5-1】问题:聪明的你知道代数式的最小值为多少吗?解:因为,又因为,所以,所以的最小值为1.请用上述方法,解决代数式的最小值为( )
A.3 B. C.6 D.
【变式5-2】若,则M的最小值为 .
【变式5-3】阅读以下材料:配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.
例如:分解因式;
再例如:求代数式的最小值,.可知当时,有最小值,最小值是.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)代数式的最大值为________;
(2)已知:,,求代数式的值.
1.若一元二次方程有实数根,则的值不可能是( )
A. B. C. D.
2.关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定
3.关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根,则k 的取值范围是( )
A. B. C. D.且
4.用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为( )
A.3 B.0 C. D.
5.三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程的解,则这个三角形的周长是( )
A.1 B.11和13 C.11或8 D.13
6.如图,点在反比例函数的图象上,,分别垂直于x轴、y轴,点D在位于右侧的反比例函数的图象上,,分别垂直于x轴、于E,F两点,若四边形为正方形,则这个正方形的面积等于( )
A.24 B.18 C.16 D.12
7.对于代数式(,a,b,c为常数),下列说法正确的是( )
①若,则有两个相等的实数根;
②存在三个实数,使得;
③若与方程的解相同,则.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.方程不相等的实数根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知是关于的一元二次方程的一个根,则这个方程的另一个根为 .
10.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围为 .
11.用配方法解一元二次方程时,可将原方程配方成,则的值是 .
12.已知实数、满足等式,则 .
13.对于实数,,先定义一种新运算“”如下:,若,则实数的值为 .
14.如图,一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1,在反比例函数第三象限的图象上存在一点P,使点P到直线的距离最短,则点P的坐标为 .
15.解方程:
(1);
(2).
16.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)若为满足条件的最大整数,求此时方程的根.
17.附加题
(1)试用一元二次方程的求根公式,探索方程的两根互为相反数的条件是  .
(2)已知、为实数,,则  .
(3)在直角梯形中,,度,,,,动点从点出发,沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点从点出发,在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动.点、分别从点、同时出发,当点运动到点时,点随之停止运动,设运动时间为秒.
①设的面积为,求和之间的函数关系式;
②当为何值时,以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形?(分类讨论)
18.教科书中这样写道:“形如的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:分解因式:.
解:原式
再如:求代数式的最小值.
解:,
当时,有最小值,最小值是.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:(应用配方法)
(2)当为何值时,多项式有最大值?并求出这个最大值.
(3)利用配方法,尝试求出等式中,的值.
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