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第03讲 一元二次方程的解法（因式分解法）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用分解因式法解某些数字系数的一元二次方程，能根据具体方程的特征，灵活选择方程的解法，进一步提高运算能力； 2．认识十字相乘法和分组分解法
1.用配方法解一元二次方程
配方法： 公式法：
2.那还有其他方法解吗？
我们可以对进行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.
因此，当一个一元二次方程的一边为 ，另一边能分解成为两个 的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个 ，这种解一元二次方程的方法叫做 。
3.常见的因式分解法的类型
方法 常见类型 因式分解的形式 方程的解
提公因式法 x ±bx=0 x（x±b）=0 X1=0，x2=±b
平方差法 x -a =0 （x+a）（x-a）=0 X1=-a，x2=a
完全平方法 x ±2ax+a =0 （x±a） =0 X1=x2=±a
十字相乘法 x ±（a+b）x+ab=0 （x±a）（x±b）=0 X1=±a，x2=±b
4.因式分解法的步骤
（1）移项：将方程的右边化为0；
（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
补充：
十字相乘法
【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
【应用新知】
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
【拓展提升】
（3）结合本题知识，分解因式：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
分组分解法
通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：
（先分成两组）
．
乙：
（先分成两组）
．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解，
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)已知，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键．
（1）利用分组分解法进行求解即可；
（2）先分组提取公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
∵，且，
∴，，
∴．
考点一：提供因式法解方程
例1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【变式1-1】一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【变式1-2】方程的解是 ．
【变式1-3】解方程.
考点二：十字相乘法解方程
例2．三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（ ）
A．1.5 B．13 C．12或14 D．12
【变式2-1】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2-2】若方程有一个解为，则方程的解为 ．
【变式2-3】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)；
(2)．
考点三：换元法解方程
例3. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【变式3-1】如果，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或
【变式3-2】如果实数x满足，那么的值是 ．
【变式3-3】阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
考点四：综合运用解方程
例4．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式4-1】已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或 B．24 C． D．或24
【变式4-2】如图，，，在的三边上，若把的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ．
【变式4-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：（1）；（2）．
下面是晶晶和小舒的解法：
晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，，求的值；
(3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？
考点五：分组分解法
例5．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【变式5-1】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式5-2】如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ．
【变式5-3】选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
1．解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想
2．若，则代数式的值为（ ）
A．或 B．1或 C． D．3
3．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．若使分式的值为0，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．或
6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对
7．若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定
8．在中，，若，，则AC的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．3 D．2.7
9．已知则的值是 ．
10．一元二次方程的较小的根是 ．
11．若，则代数式的值为
12．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
13．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解 ．
14．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．
（1）把代入中，最后求出的x值为 ；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ．
15．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则 ．

16．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
17．阅读下列材料：
(1)将分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项：．
③横向写出两因式：．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若，则或．
①；
②．
18．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用分解因式法解某些数字系数的一元二次方程，能根据具体方程的特征，灵活选择方程的解法，进一步提高运算能力； 2．认识十字相乘法和分组分解法
1.用配方法解一元二次方程
配方法： 公式法：
2.那还有其他方法解吗？
我们可以对进行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.
因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
3.常见的因式分解法的类型
方法 常见类型 因式分解的形式 方程的解
提公因式法 x ±bx=0 x（x±b）=0 X1=0，x2=±b
平方差法 x -a =0 （x+a）（x-a）=0 X1=-a，x2=a
完全平方法 x ±2ax+a =0 （x±a） =0 X1=x2=±a
十字相乘法 x ±（a+b）x+ab=0 （x±a）（x±b）=0 X1=±a，x2=±b
4.因式分解法的步骤
（1）移项：将方程的右边化为0；
（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
补充：
十字相乘法
【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
【应用新知】
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
【拓展提升】
（3）结合本题知识，分解因式：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
分组分解法
通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：
（先分成两组）
．
乙：
（先分成两组）
．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解，
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)已知，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键．
（1）利用分组分解法进行求解即可；
（2）先分组提取公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
∵，且，
∴，，
∴．
考点一：提供因式法解方程
例1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，．
故选C
【变式1-1】一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
把左边提公因式，用因式分解法求解即可．
【详解】
或
，，
故选：B．
【变式1-2】方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键．
利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】解方程.
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
先移项得到，然后利用因式分解法求解．
【详解】解：
，
，
考点二：十字相乘法解方程
例2．三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（ ）
A．1.5 B．13 C．12或14 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果．
【详解】解：，
，
，，
角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，
（舍），
则三角形周长，
故选：D．
【变式2-1】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．
本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．
【详解】∵ ，，
∴，
整理，得，
解得或，
故选C．
【变式2-2】若方程有一个解为，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解．
【详解】解：∵方程有一个解为，
∴
∴
即
∴
解得：
故答案为：．
【变式2-3】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴，
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
考点三：换元法解方程
例3. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解．
【详解】解：∵，
∴，即．　
设，则．
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴一元二次方程必有一根为2026．
故选C．
【变式3-1】如果，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案．
【详解】解：设，
根据题意可得，，
解得，，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【变式3-2】如果实数x满足，那么的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
【变式3-3】阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
考点四：综合运用解方程
例4．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念、根的意义以及解法，熟悉其相关知识是解决问题的关键．根据方程的一个根是0和一元二次方程的定义，可求出的值，然后解方程即得解．
【详解】解： 关于的一元二次方程的一个根是0，
满足方程，代入得：，即，
，
又为关于的一元二次方程，则，即，
，
原方程为，即，
方程的另一个根为．
故选：C．
【变式4-1】已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或 B．24 C． D．或24
【答案】D
【分析】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，过点A作于D，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：解方程得或，
∴该三角形的第三边的长为10或6，
当第三边长为10时，
∵，
∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，
∴该三角形的面积为；
当第三边长为6时，如图所示，不妨设，
过点A作于D，则，
∴
∴该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或24，
故选：D．
【变式4-2】如图，，，在的三边上，若把的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理解直角三角形是解题关键．
已知
可拆解分析得出：，，，
可得出：，，．又因为为等边三角形，考虑等边三角形的性质，所以作出于，最后用勾股定理解直角三角形即可．
【详解】解：如图，
过点A作于．
是等边三角形，
，，
在中，设，
，
，
由可知，
，得，
，得，
，
由，得，
在中，
，
，
化简得：，
再化简得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
．
故答案为：．
【变式4-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：（1）；（2）．
下面是晶晶和小舒的解法：
晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，，求的值；
(3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰三角形
【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解．
（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
∵，，
∴原式；
（3）∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形．
考点五：分组分解法
例5．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
【变式5-1】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．
，故选项A分组正确，不符合题意；
B．
，故选项B分组正确，不符合题意；
C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；
D．
，故选项D分组正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．
【变式5-2】如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ．
【答案】6或
【分析】先确定是方程的一个根，再由有两个相等的根或有一个根是2，分别求解的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可．
【详解】解：方程可变形为：，
即，
∴，
∴或，
∴是方程的一个根，
方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，
有两个相等的根或有一个根是2，
当有两个相等的根时，△，
解得，
此时方程的根为，
三角形的三条边长分别为2，，；
当有一个根是2时，，
此时方程的根为或，
三角形的三条边长分别为2，2，3；
综上所述：的值为6或，
故答案为：6或．
【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，求出是方程的一个根是解题的关键．
【变式5-3】选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答．
（2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得
1．解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想
【答案】A
【分析】本题考查了数学方法，熟练掌握转化的思想是解答本题的关键．根据二元一次方程组和一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：由解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解，可知以上两种方法体现了一种重要的数学思想是转化思想．
故选A．
2．若，则代数式的值为（ ）
A．或 B．1或 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可；
【详解】解：设，可知，
原方程可化为：，
解得：或，
∵，
∴
∴，
故选： D．
3．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点的运算，可得，，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，
∴，
当点与点重合时，
，
∴，
∴，
当点与点重合时，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，或，
∴或，负值舍去，
当时，，不符合题意（），
∴，
∴，
故选： ．
4．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案.
【详解】解：A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：D.
5．若使分式的值为0，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程为零的条件、解一元二次方程等知识点，掌握分式为零的条件成为解题的关键．
先根据分式列不等式组，然后再解一元二次方程和不等式组即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：．
故选Ｃ．
6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答．
【详解】解：令，
则方程可改写为：，
∵一元二次方程的解是，，
∴，
∴或，
解得：或，
故选：C．
7．若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值．
【详解】解：令，则可得，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，（舍），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键．
8．在中，，若，，则AC的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．3 D．2.7
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，解一元二次方程，作辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
延长到D，使，连接，过C作于H，根据三角形外角性质和等腰三角形的判定和性质证，，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】延长到D，使，连接，过C作于H，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴
即，
解得：（舍去），，
∴．
故选：C．
9．已知则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分解分组法、提公因式以及整体代入思想，由整理，再代入计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：
10．一元二次方程的较小的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键．
【详解】解：，
或，
，，
较小的根为；
故答案：．
11．若，则代数式的值为
【答案】4
【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
【详解】解：设，则原方程换元为，
，
解得，（不合题意，舍去），
的值为4．
故答案为：4．
12．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．根据换元法即可求解．
【详解】解：方程，如果设，
∴
即，
故答案为：．
13．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，根据题意将代入方程求出c的值，再利用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：方程（为常数）的一个解是，
，
，
方程，
，
或，
，，
则另一个解，
故答案为：2．
14．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．
（1）把代入中，最后求出的x值为 ；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．
（1）根据题意运算法则计算即可求解；
（2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可．
【详解】解：（1）把代入中，，
再把代入中，求得；
经检验是原方程的解，
故答案为：；
（2）设这个数为，依题意得，
整理得，
解得（舍去），，
故答案为：．
15．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点B作轴于点D，交于点E，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
令，
则，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为： 2．
16．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【分析】
本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想，
（1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可
（2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【详解】（1）
解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
17．阅读下列材料：
(1)将分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项：．
③横向写出两因式：．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若，则或．
①；
②．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．
（1）利用十字相乘法因式分解求解；
（2）利用十字相乘法因式分解求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，；
（2）解：，
，
，
．
18．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】(1)
(2)
(3)2025和2022
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（3）解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
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