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第04讲 一元二次方程的根与系数的关系
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解一元二次方程的根与系数的关系； 2．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，加深对一元二次方程及其根的认识。
1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？
x1 x2 x1 +x2
从上图发现，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.
证明：因为当时，方程的根是，_,所以，=_+=__；
=_×_=____.
因此，如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为 .也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的推论
推论1：如果方程x +px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1*x2= ；
推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是 .
3.根与系数的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
考点一：直接根据公式求根
例1．已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
【变式1-1】若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
【变式1-3】已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
考点二：公式变形求解
例2．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．6 D．
【变式2-1】已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【变式2-2】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【变式2-3】有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求：
(1)与的值（用含有的代数式表示）；
(2)的值（用含有的代数式表示）；
(3)若，试求的值．
考点三：与根的判别式结合求解
例3.已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-1】关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【变式3-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【变式3-3】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
考点四：与函数图象结合
例4．若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，那么的值为 ．
【变式4-3】已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求的值．
考点五：与分式结合
例5．已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知实数，满足，，则 ．
【变式5-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
考点六：与根式结合
例6.若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．
【变式6-1】关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【变式6-3】附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值．
考点七：与绝对值结合
例7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1 B．或0 C． D．1
【变式7-1】若k、b是一元二次方程的两个实根（），在一次函数中，y随x的增大而减小，则该一次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【变式7-2】设、是一元二次方程的两个根，且，则 ．
【变式7-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求的值．
1．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．方程的两根为、，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　）
A．1 B． C．3或 D．1或
6．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
10．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
11．设，是一元二次方程的两个根，则 .
12．若，是方程的两个根，则的值为 ．
13．已知a、b为实数，且满足，，则 ．
14．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程有一个根是，
(1)求b的值及方程的另一个根；
(2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
17．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
18．【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解一元二次方程的根与系数的关系； 2．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，加深对一元二次方程及其根的认识。
1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？
x1 x2 x1 +x2
1 2 3 2 3 2
－1 －2 -3 2 -3 2
2 3 5 6 5 6
－2 －3 -5 6 -5 6
0[来 3 3 0 3 0
从上图发现，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.
证明：因为当时，方程的根是，_,所以，=_+=__；
=_×_=____.
因此，如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的推论
推论1：如果方程x +px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1*x2=q；
推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是x -（x1+x2）+x1*x2=0.
3.根与系数的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
考点一：直接根据公式求根
例1．已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-2
【答案】B
【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】解：把代入，
得，
解得，
∴，
设另一个根为，
根据题意，得，
故选：B．
【变式1-1】若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：D．
【变式1-2】若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程有一个根为2，另一根为，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为2，另一根为，
∴，
解得，，
故答案为：．
【变式1-3】已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，再根据已知条件解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得
（2）由根与系数的关系，得，
∵
即
，得
解得
将代入①，得
∴原方程组得解为
∵
∴．
考点二：公式变形求解
例2．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：D．
【变式2-1】已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可．
【详解】解：由可得：，
∴；
故选B．
【变式2-2】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
【变式2-3】有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求：
(1)与的值（用含有的代数式表示）；
(2)的值（用含有的代数式表示）；
(3)若，试求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式．
（）根据根与系数的关系可得，即可；
（）由，将（1）代入即可解答；
（）由，将（1）代入即可得方程：即可解答．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根，
∴，；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
解得：，，
当时，原方程为：，，符合题意；
当时，原方程为：，，符合题意；
∴的值为或．
考点三：与根的判别式结合求解
例3.已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
【变式3-1】关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题．
【详解】解：，
，
即有，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程两个不相等的实数根异号，
方程有一个正根， 一个负根，
故选：C．
【变式3-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
当时，解不等式得：，
∴；
当时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
【变式3-3】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
考点四：与函数图象结合
例4．若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、是方程的两根，
，
，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
选项A、C不符合题意；
B.由图象得：，，符合题意；
D .由图象得：，，，结论错误，不符合题意；
故选：B．
【变式4-1】若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、是方程即的两根，
，，
∴异号，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
选项A、C不符合题意；
B．由图象得：，，符合题意；
D ．由图象得：，，
，结论错误，不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，那么的值为 ．
【答案】32
【分析】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
设正比例函数的解析式为，联立反比例函数，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，联立反比例函数，得到
由题意可知，为一元二次方程的两个解，
则：，
．
故答案为：．
【变式4-3】已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系：
（1）将一次函数与反比例函数关系式联立，整理出一元二次方程，则是该方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解；
（2）将与联立，整理得，根据得出，进而可得点，关于原点对称，推出．
【详解】（1）解：当时，一次函数为，
令，整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
∴；
（2）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
方程整理得，
∵，
∴，
∴，
∴一次函数为（，k是常数），
∴点，关于原点对称，
∴．
考点五：与分式结合
例5．已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，易得，方程两侧同除得：
，
又∵，且，
∴，为方程 的两个实数根，
∴，，整理得，，
∴，
故选：．
【变式5-1】若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
【变式5-2】已知实数，满足，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键．
由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴是的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键．
（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，，
∴，
∴，整理得，，
∴，
故实数的取值范围为．
（2）解：∵方程的两个根分别为，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
解得，，
∵，
∴．
考点六：与根式结合
例6.若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系，熟练利用完全平方公式对原式进行变形是解题的关键．
由根与系数的关系可得，，再将所代数式变形可得，由此即可求解．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，，
．
，
故选：A．
【变式6-1】关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式，设方程的两根为，，根据题意得，，根据二次根式有意义的条件得进行计算即可得；解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根的判别式．
【详解】解：设方程的两根为，，
∵方程的两实根异号，
∴，
解得，，
∵方程的两实根，
∴，
，
解得，，
∵
∴，
综上，，
故选：D．
【变式6-2】若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
【变式6-3】附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值．
【答案】，，；，，
【分析】本题主要考查利用根与系数的关系求解．根据根与系数的关系可得、的值，然后再联合已知中的，，可求出、、的值．
【详解】解：由题意得：，，，，
，
，
，
，
，，，．
，，；，，．
考点七：与绝对值结合
例7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1 B．或0 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∵，
∴或，
当时，，解得；
当，即时，，解得，
综上，，
故选：D．
【变式7-1】若k、b是一元二次方程的两个实根（），在一次函数中，y随x的增大而减小，则该一次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，则，由在一次函数中，随的增大而减小，根据一次函数的性质得到，图象过第二、四象限，于是，即图像与轴的交点在轴上方，可得到其图像还要过第一象限．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实根，
，
，
在一次函数中，随的增大而减小，
，图像过第二、四象限，
，即图像与轴的交点在轴上方，
一次函数经过第一、二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系：一次函数的图像为直线，当，图像经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图像与轴的交点在轴上方；当，图像过原点；当，图像与轴的交点在轴下方．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
【变式7-2】设、是一元二次方程的两个根，且，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且，
，
原方程为，
解得：，，
，
故答案为：．
【变式7-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值．
解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法．
【详解】（1）解：，
整理得：，
∵该方程有两个实数根，，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围是；
（2）∵，是方程的两实数根，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴可化简为：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴的值为．
1．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．据此解答即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．方程的两根为、，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可．
【详解】解：∵方程的两根为、，
∴，，
故选：A．
3．已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.
首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长．
【详解】∵四边形是正方形
∴
∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，
∴，
∴
∴正方形的周长为．
故选：B．
4．一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：，，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴的值为．
故选：A．
5．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　）
A．1 B． C．3或 D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
，
解得：或，
当时，原方程为，，
则原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为，，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上：．
故选：A．
6．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可．
【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，
∴关于y的方程的两根为，
∴；
故选A．
7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
8．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
∵方程有两个不同的实数解，
∴，
解得：．
又∵方程的两根，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．
9．已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可．
【详解】解：设另一根为a，
则，解得，
故答案为：1．
10．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可．
【详解】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
11．设，是一元二次方程的两个根，则 .
【答案】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．若，是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．已知a、b为实数，且满足，，则 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．
【详解】解：、为实数，且满足，，
，，
、是方程，即的两个根，
或；
①当，时，，即；
②当，时，，即，不合题意；
综上所述，；
故答案为：13．
14．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
经检验或为原方程的解，
∵，
∴，
∴k的值为4．
故答案为：4．
15．若关于x的一元二次方程有一个根是，
(1)求b的值及方程的另一个根；
(2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______．
【答案】(1)，方程的另一个根为
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）
解：设方程的另一个根为，
根据题意，得，
解得，
∴，方程的另一个根为．
（2）解：∵菱形对角线长分别为、，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详解】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
17．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)11或13
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
18．【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
【答案】（1）结论正确，理由见解析；（2）结论正确，理由见解析；实践探究：
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
（1）将代入，即可判断；
（2）将代入，即可判断；
实践探究：由可推出是方程的根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；将代入可推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：（1）结论正确，理由如下：
令代入得，符合题意；
（2）结论正确，理由如下：
令代入得：，即，符合题意；
实践探究：
∵
，
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则，
；
又，
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为，
则，
，
．
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