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第05讲 用一元二次方程解决问题（一）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．引导学生经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强学生的数学应用意识； 2．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能检验所得的结果是否符合实际意义。
解决应用题的一般步骤：
步骤 内容摘要 注意事项
1.审 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 等量关系往往体现在关键词句中
2.设 设未知数，有时会用未知数表示相关的量 一般要带单位
3.列 根据题目中的等量关系，列出方程 方程两边单位要统一
4.解 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰 一般不必写出解方程的过程
5.检 检验方程的解能否保证实际问题有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义
6.答 写出答案，切忌答非所问 注意带上单位
数字问题
（1）已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
解：设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，
依题意得 ： x(12-x)＝32，
整理得 x -12x+32＝0，
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
答：这两个数是4和8．
（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.
（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
传播问题
有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，那么每轮传染中平均传染了多少人？
解： 设每轮传染中平均传染了x人
由题意得：x+1+（x+1）x=169
即 ：（x+1） =169
解得 ：x1=12，x2=-14（舍去）
答：每轮传染中平均传染了12人.
从传播的第二轮中可以抽象出一元二次方程，设a为传染源，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为a（x+1） .
平均变化率问题
随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x） =98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
①增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
②.降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
考点一：数字问题
例1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程．
【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
故选：A．
【变式1-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：D．
【变式1-2】小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可．
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是，
由题意可得：．
故答案为：．
【变式1-3】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【答案】两位数为92或29
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为，
，
解得：，
当时，两位数为92，
当时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
考点二：传播问题
例2．有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可．
【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，
根据题意可得：，
整理得：，
故选：D．
【变式2-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：C．
【变式2-2】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
【变式2-3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
考点三：平均变化率问题
例3.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：月份售价为21万元，月均下降率是，5月份售价为18万元，
．
故选：D．
【变式3-1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
【变式3-2】电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设平均每天的增长率是，列方程为，
故答案为：．
【变式3-3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
【答案】(1)月平均增长率为
(2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键；
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可；
（2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
化简得：，
解得：（舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为，
则第四个月的进馆人次为：；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
1．据海关总署统计，2021年我国汽车出口量约为200万辆，出口量逐年增加，2023年出口量约为522万辆，若2021年到2023年的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用预计到2023年的出口量年的出口量年到2023年的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
2．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得：
，
故选：C．
3．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．
设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可．
【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
即．
故选：C．
5．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x，
第二天票房约亿元，第三天票房约亿元．
依题意得：．
故选：D．
6．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键．
根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数．
【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为，
根据题意可列方程，得，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴，，，，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵，
故选：C．
7．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【详解】试题解析：设这个微信群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个微信群共有10人．
故选B.
8．据报道，某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况如图所示，观察图表，从2009年到2011年城镇、农村人均住房建筑面积的年平均增长率分别为（ ）
A．10%和20% B．20%和30%
C．20%和40% D．30%和40%
【答案】C
【分析】分别设出城镇居民人均住房面积和农村居民人均住房面积的增长率，列出方程求解即可．
【详解】设城镇居民人均住房面积和农村居民人均住房面积的增长率分别为：x和y
根据题意得：15（1+x）2=21.6
22.5（1+y）2=44.1
解得：x=0.2 （负舍）
y=0.4（负舍）
∴增长率分别为20%和40%．
故选C．
【点睛】本题考查了条形统计图的知识、列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是明确增长率的求法，并能正确列出方程进行解答．
9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
【答案】9
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
10．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ．
【答案】
【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
11．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：．
12．有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用；
设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可．
【详解】解：设每人给y人发短信，
由题意得：，
故答案为：．
13．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为岁，
故答案为：．
14．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可．
【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得：
．
故答案为：．
15．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人，
由题意得：，
解得：，（舍），
答：每轮传染中平均一人传染了7个人．
16．2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．

【答案】中间的数为16
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设中间的数为，根据日历上数字的规律用含的代数式表示上面和下面的数字，结合最小数与最大数的乘积为207，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设中间的数为x．
根据题意，得：
解得，（不合题意，舍去）．
答：中间的数为16．
17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
(2)最多可购买电脑8台
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答．
（2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
设购买电脑台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可购买电脑8台．
18．某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
【答案】(1)销售价格应定为90元千克
(2)平均每次降价的百分比是
【分析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为把，代入即可求出，再根据“销售利润达到1400元”列出方程求解，最后分别求出两个销售成本的值，舍去不符合题意的值即可得出答案；
（2）设平均每次降价的百分比是m，根据“经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完”列出方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为把，
代入得，
解得，
y与x之间的函数关系式为，
根据题意得，
解得，．
当时，销售成本为：，
当时，销售成本为：，
答：销售价格应定为90元/千克．
（2）解：设平均每次降价的百分比是m，根据题意得，
解得，（舍去）．
答：平均每次降价的百分比是．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 用一元二次方程解决问题（一）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．引导学生经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强学生的数学应用意识； 2．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能检验所得的结果是否符合实际意义。
解决应用题的一般步骤：
步骤 内容摘要 注意事项
1.审 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 等量关系往往体现在关键词句中
2.设 设未知数，有时会用未知数表示相关的量 一般要带单位
3.列 根据题目中的等量关系，列出方程 方程两边单位要统一
4.解 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰 一般不必写出解方程的过程
5.检 检验方程的解能否保证实际问题有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义
6.答 写出答案，切忌答非所问 注意带上单位
数字问题
（1）已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
.
（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为 ， .几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为 ， .
传播问题
有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，那么每轮传染中平均传染了多少人？
从传播的第二轮中可以抽象出一元二次方程，设a为传染源，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为
.
平均变化率问题
随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
①增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
②.降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
考点一：数字问题
例1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【变式1-3】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
考点二：传播问题
例2．有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2-2】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【变式2-3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
考点三：平均变化率问题
例3.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ．
【变式3-3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
1．据海关总署统计，2021年我国汽车出口量约为200万辆，出口量逐年增加，2023年出口量约为522万辆，若2021年到2023年的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
7．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．据报道，某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况如图所示，观察图表，从2009年到2011年城镇、农村人均住房建筑面积的年平均增长率分别为（ ）
A．10%和20% B．20%和30%
C．20%和40% D．30%和40%
9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
10．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ．
11．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
12．有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
13．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁．
14．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
15．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？
16．2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．

17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
18．某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
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