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第06讲 用一元二次方程解决问题（二）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．引导学生经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强学生的数学应用意识； 2．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能检验所得的结果是否符合实际意义。
1.解决应用题的一般步骤：
步骤 内容摘要 注意事项
1.审 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 等量关系往往体现在关键词句中
2.设 设未知数，有时会用未知数表示相关的量 一般要带单位
3.列 根据题目中的等量关系，列出方程 方程两边单位要统一
4.解 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰 一般不必写出解方程的过程
5.检 检验方程的解能否保证实际问题有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义
6.答 写出答案，切忌答非所问 注意带上单位
图形问题
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m ？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm
可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x ﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），
当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
各种规则图形的面积、体积、周长公式，常涉及三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想
销售问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得 x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
动点问题
等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
解：设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，
依题意可得，
解得：，即长为．
故长为时，平行四边形的面积等于．
以“静”制“动”求解：①分析出动点的运行轨迹，用含有未知数的代数式把相应的线段表示出来是解决这类问题的关键；②结合题意，用“静”的方法来处理“动”的问题，本题中的“静”是指在某一时刻两个三角形面积之间的关系。
考点一：图形问题
例1．如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【详解】解：由题意得，．
故选：C．
【变式1-1】如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案．
【详解】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得：
．
故选：D．
【变式1-2】如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是．
故答案为：．
【变式1-3】现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
【答案】的长是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长．
【详解】解：设的长为，则的长为，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：
，
答：的长是
考点二：销售问题
例2．某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系．
设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程．
【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
故选：D．
【变式2-1】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
【变式2-2】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株．
【答案】2或3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：每盆花卉的株数每株花卉的盈利元，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得
，
解得：，．
答：每盆应多植2株或3株，每盆的盈利15元，
故答案为：2或3．
【变式2-3】士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过
(1)若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？
(2)在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？
【答案】(1)需要进货100件，每件商品应定价25元
(2)至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利润的计算方法是解题的关键．
（1）利润=售价-进价，总利润=单件利润×总件数，注意限制条件的作用．
（2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，根据题意列出不等式解决即可．
【详解】（1）解：依题意，
整理得，
解得，．
因为，
所以不合题意，舍去．
所以（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
（2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，由题意得：
，
解得：，
至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元．
考点三：动点问题
例3.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键．
设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
【变式3-1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴．
当运动时间为时，，，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点，的运动时间为．
故选：A．
【变式3-2】如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积1：2的两部分．

【答案】2或4
【分析】考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
【详解】解：根据题意，知，．
线段将分成面积1：2的两部分，
则根据三角形的面积公式，得，
整理得：．
解得，
即线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
【变式3-3】如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
【答案】(1)①秒或秒；②秒
(2)秒或秒或秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，
由题意，，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
1．如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由小路的宽为，可得出种草的部分可合成长为，宽为的长方形，结合草坪部分的总面积为，可得出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．
【详解】
解：小路的宽为，
种草的部分可合成长为，宽为的长方形．
根据题意得：，
整理得：．
故选：C．
2．山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，年平均增长率为，则2021年与2020年的销量比为，2022年与2021年的销量比为，由此可列方程，理解年平均增长率的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意知，2021年销量为，2022年销量为，
因此，
故选D．
3．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键．
【详解】
解：设t秒后，的面积等于4
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故选：A．
4．2024年4月3日，太原广播电视台携手柳州市融媒体中心推出《柳侯之风嘉惠双城——柳州-太原清明节双城联动大型融媒体直播》节目，受到了社会各界的关注，在直播中，他们为观众准备了一批“惊喜盲盒”．如图，制作该盲盒的矩形纸板的宽为，剪去两个矩形和一个正方形（阴影部分）后，沿虚线折起即可制成一个有盖的长方体纸盒．若矩形A的面积为，正方形B的边长为，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据图示用含x的式子表示出矩形A的长与宽，进而表示出面积即可．
【详解】解：由题意知，矩形A的长为，宽为，
故可列方程，
故选A．
5．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，每天可销售包，售价每上涨元，销量将减少包．如果想获利元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨元，
由题意可得，，
故选：．
6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）

A． B．或4 C．或 D．
【答案】C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，

则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
7．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积的面积，可得的面积的面积，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，

设，
为中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积的面积，
的面积的面积）的面积的面积），
的面积的面积，
，
，
解得：或（舍去），
，
故选：C．
8．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元
【答案】B
【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每件工艺品需降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使顾客尽量得到优惠，
，
要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件，
依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键．
10．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
【答案】1
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】
解：设通道的宽为米，
根据题意得：，
解得：（不合题意舍去）或，
通道的宽为1米，
故答案为：1．
11．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．

【答案】3或5/5或3
【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意，知，
，
∵五边形的面积等于，
∴
，
矩形，
，
，
，
∴3秒或5秒后五边形的面积等于．
故答案为：3或5．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出，再运用因式分解法解出（不合题意，舍去），即可作答．
【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
故x的值为5．
故答案为：5
13．在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可．
【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元．
故答案为：．
14．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？

【答案】1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
15．如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．

(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)不能
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为．
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
16．2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可
【详解】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
17．百货商店服装柜在销售中知悉：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
(1)设每套童装降价元，每天的销售量为件，在保证不赔的前提下，求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要平均每天销售这种童装盈利1200元，并尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
【答案】(1)，的取值范围是
(2)每套应降价20元
【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的实际应用：
（1）根据每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，列出函数关系式，根据保证不赔，写出自变量的取值范围即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：
由题意，得：
自变量的取值范围是．
（2）依题意得，
整理，得，
解得，．
因要尽快减少库存，故x应取20．
答：每套应降价20元．
18．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒．
(1)求证：当时，四边形是平行四边形；
(2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)当秒时，平分对角线
(3)若是以为腰的等腰三角形，的值为
【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形；
（2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，继而可得四边形为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案．
（3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可；
②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，
，，
当时，，，
又四边形为等腰梯形，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线．
理由如下：
连接交于点，如图1所示：
若平分对角线，则，
，
，，
在和中，
，
，
，
即四边形为平行四边形，
，
解得，符合题意，
当秒时，平分对角线．
（3）解：分两种情况：
①当时，作于，于，与，如图2所示：
则，，，
，，
，
，
，
解得：；
②当时，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，方程无解；
综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 用一元二次方程解决问题（二）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．引导学生经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强学生的数学应用意识； 2．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能检验所得的结果是否符合实际意义。
1.解决应用题的一般步骤：
步骤 内容摘要 注意事项
1.审 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 等量关系往往体现在关键词句中
2.设 设未知数，有时会用未知数表示相关的量 一般要带单位
3.列 根据题目中的等量关系，列出方程 方程两边单位要统一
4.解 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰 一般不必写出解方程的过程
5.检 检验方程的解能否保证实际问题有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义
6.答 写出答案，切忌答非所问 注意带上单位
图形问题
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m ？
各种规则图形的面积、体积、周长公式，常涉及三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想
销售问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
动点问题
等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
以“静”制“动”求解：①分析出动点的运行轨迹，用含有未知数的代数式把相应的线段表示出来是解决这类问题的关键；②结合题意，用“静”的方法来处理“动”的问题，本题中的“静”是指在某一时刻两个三角形面积之间的关系。
考点一：图形问题
例1．如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．

【变式1-3】现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
考点二：销售问题
例2．某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【变式2-2】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植 株．
【变式2-3】士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过
(1)若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？
(2)在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？
考点三：动点问题
例3.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）

A． B． C． D．
【变式3-1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积1：2的两部分．

【变式3-3】如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
1．如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
4．2024年4月3日，太原广播电视台携手柳州市融媒体中心推出《柳侯之风嘉惠双城——柳州-太原清明节双城联动大型融媒体直播》节目，受到了社会各界的关注，在直播中，他们为观众准备了一批“惊喜盲盒”．如图，制作该盲盒的矩形纸板的宽为，剪去两个矩形和一个正方形（阴影部分）后，沿虚线折起即可制成一个有盖的长方体纸盒．若矩形A的面积为，正方形B的边长为，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，每天可销售包，售价每上涨元，销量将减少包．如果想获利元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）

A． B．或4 C．或 D．
7．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
8．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元
9．某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ．
10．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
11．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．

12．如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ．
13．在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
14．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？

15．如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．

(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
16．2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
17．百货商店服装柜在销售中知悉：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
(1)设每套童装降价元，每天的销售量为件，在保证不赔的前提下，求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要平均每天销售这种童装盈利1200元，并尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？
18．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒．
(1)求证：当时，四边形是平行四边形；
(2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由；
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