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第08讲 圆的对称性
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索圆的对称性的活动过程； 2．运用圆心角、弧、弦之间的相等关系，垂径定理等解决相关问题。
中心对称
1.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
可以和原来图形重合。
因此，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
3.在纸上画半径相等的圆O和圆O′，再画相同的圆心角的∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？
AB=A′B′ 弧AB=弧A′B′
证：
因此，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
几何语言：∵，∴=，AB=
4.那么在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
因此可得：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
另外两组几何语言：
∵=，∴AB=
∵AB=，∴=
5.我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
因此，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
实践证明，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
轴对称
1.在纸上画圆O，把圆O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
有无数条对称轴。
2.画圆O和圆的直径AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，在所画图中有哪些
相等的线段、相等的弧？
PC=PD,弧AC=弧AD，弧BC=弧BD
证：连接OC,OD
在▲OCD中，
∵OC=0D，OP⊥CD
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD
∴∠AOC=∠AOD
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通远中，相等的圆心角所对的弧相等）
因此，垂直于弦的直径平分弦以及平分弦所对应的弧。（垂径定理）
几何语言：∵OP⊥CD，P是直径AB上的点∴PC=PD，弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
考点一：垂径定理的推论
例1．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，，故A正确；，
∴， ,
∴，故B正确；,
∴，故C错误；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
【变式1-1】下列四个命题中，真命题是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弧的直径经过圆心
C．平分弦的直线垂直于弦 D．垂直于半径的弦过圆心
【答案】B
【分析】本题主要考查的命题的真假判断，根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直线不一定平分弦，故为假命题，故该选项不符合题意；
B．平分弧的直径经过圆心， 是真命题，故该选项符合题意；
C．平分弦的直线不一定垂直于弦，故原命题为假命题，故该选项不符合题意；
D．垂直于半径的弦不一定过圆心，故原命题为假命题，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

【答案】 是的直径
【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
【详解】解：（）∵是的直径，且于点，
∴，，；
（）∵是的直径，且，
∴，，；
（）∵，且，
∴是的直径，，．
【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式1-3】如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线；
(2)如图2，若，试画出的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义；
（1）连接并延长，交于点，连接，即可求解；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求．
【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求；
∵点是的中点，
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求
∵
∴
∴
∴，
连接，
∴垂直平分
∴
∴
考点二：运用垂径定理求值
例2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，过点作，交于点，交于点，交于点，易得四边形、四边形均为矩形，由垂径定理可得，在中，由勾股定理可解得的长度，进而可计算的长度，然后计算圆盘离桌面最近的距离即可．
【详解】解：连接、，过点作，交于点，交于点，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
由∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
即圆盘离桌面最近的距离是．
故选：C．
【变式2-1】如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据垂径定理得到，利用勾股定理求得，即可得到的值，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
【详解】解：弦，，直径，
，，
，
，
故选：B．
【变式2-2】温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
【答案】20
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，
，
设半径为米，则米，
∵跨度为24米，，
∴米，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴这个弧形石拱桥设计的半径为米，
故答案为：．
【变式2-3】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论；
（2）在由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：连接，
，
，
，
，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
；
（2）在中，，
，
（不合题意舍去）或，
的半径为．
考点三：平行弦问题
例3.已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是2；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
【变式3-1】AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【答案】A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
【变式3-2】已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
【答案】7或
【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可．
【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时：
AB、CD是⊙O的两条平行弦，
过圆心作MN分别垂直于AB、CD，
则根据垂径定理可得：，，
在中，；
同理在中，；
则，
同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，，
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．
【变式3-3】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，

过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．

，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
考点四：同心圆问题
例4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
【变式4-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【变式4-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．
（1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证；
（2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图，
由垂径定理可得，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即小圆的半径r为
考点五：求解弦、弧、圆心角
例5．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
【变式5-1】如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查平行线性质、圆心角概念、等腰三角形性质，连接，根据平行线性质得到，利用等腰三角形性质得到，再次利用平行线性质得到，即可解题．
【详解】解：连接，
弦直径， ，
，
，
，
．
则所对的圆心角的度数为．
故选：A．
【变式5-2】如图，是的直径，，，则的大小为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即C为的中点．
考点六：：求证弦、弧、圆心角
例6. 在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及垂径定理，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等”可对①②进行分析判断；由只能说明弧所对的圆心角是弧所对的圆心角的2倍，不能判断，据此可对③进行分析；接下来根据圆心角与弧的关系对④进行分析．
【详解】
解：根据圆心角、弧、弦的关系可知：
①，则，①正确，符合题意；
②，则，②正确，符合题意；
③如上图所示，若，则点为的中点，连接，交于点，
，，
，即，
，
故③错误，不符合题意；
④如上图所示，若，
，
，
，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【变式6-1】下列命题：正确的是（　　）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．
②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧．
③能够完全重合的两条圆弧是等弧．
④长度相等的弧所对的弦相等．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了命题和定理，圆的有关概念，逐项判断即可．
【详解】解：A．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意；
B．②平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的两条弧，本选项不符合题意；
C．③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意；
D．④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”）
【答案】<
【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键．
画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得．
【详解】如图，取的中点E，连接，，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：<．
【变式6-3】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接

∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
考点七：垂径定理的应用
例7．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接
在中，
则种植区的最大深度为9
故选：．
【变式7-1】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接，由垂径定理得，设圆的半径为x，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴
设圆的半径为x，则
∴由勾股定理得，
即
解得：
故选：C．
【变式7-2】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【变式7-3】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
【答案】该圆材的直径为20寸
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径．
【详解】解：设该圆材的半径为寸．
如图所示，过点作 于点，交于点，连接，
则寸，
设寸，尺寸，
所以 寸．
在中，
即
解得，
则，即该圆材的直径为寸．
1．如图，是的直径，弦于点E，，，则（ ）
A．6 B． C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：，
，
在中，．
故选：C．
2．如图，在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【详解】解：，，
．
故选：D．
3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（ ）
A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸
【答案】A
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则，
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：，
∴（寸）．
故选：A．
4．如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握定理内容是解题关键．
过作交于，连接，则为中点，，用勾股定理求，确定的长度范围，取相应整数即可．
【详解】解∶过作交于，连接如图：
则，为中点，，
，
在中，
，
又长度为整数，
长可为，
故选∶C．
5．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接，
∴，，
∴，
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，解得，
∴该圆的半径长是，
故选：．
6．如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接 过作于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于 过作于
四边形是正方形，
故选A．
7．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【详解】连接， 作 ，连接，
，
∴，
∵为圆心，半径为，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴点在以为直径的圆上移动，
当点在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故选：．
8．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可．
【详解】解：连接，，

由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即，
设的弧度为，
的弧度为：，
，
的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
的弧度为：，
点为弧中点，
的弧度为：，
的弧度为：，
即所对圆心角为，
设半圆的半径为r，
，
，
解得：
半径为2，
故选：C．
9．如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是利用两个直角三角形表达出同一条边列出方程解答即可．连接相交于点，在和中，表示出的长度，列方程求解即可．
【详解】解：连接相交于点，
，，
为，的共同弦，
，
设，则，
在中，
，
，
在中，
，
，
解得：，
，
或（舍去）
．
故答案为：．
10．如图的直径，CD是的弦，于点P，且，则的长是 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据的直径求出的长，再根据垂径定理由得出的长，根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：连接，
是的直径，弦于，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：8．
11．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意知，，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴此管件的直径为，
故答案为：．
12．如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ．
【答案】10
【分析】过点O作，连接,则，结合，弦与之间的距离为3，得到，利用勾股定理，得，解答即可．
本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】过点O作，连接，则，
∵，弦与之间的距离为3，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
13．如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米．
【答案】12.5
【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点，
∴垂直平分，则圆心在上，则分米，
连接，
设半径分米，分米，
在中，，即：，
解得：，
即：半径为12.5分米，
故答案为：12.5．
14．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ．
【答案】40
【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积．
【详解】
为的中位线
又
，点是中点
即为中点
是的中位线
是直径
的面积
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
15．如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
16．如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，且．
(1)求证：
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理；
（1）根据角平分线的定义得出则，根据垂径定理可得，即可得出，则；
（2）连接，设与交于，在中，勾股定理求得，设半径为，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，设与交于，
，
平分，即，
在中，，
设半径为，
在中，，
∴．
17．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理：
（1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
（2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出
【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接，
∵，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴垂直平分，
由垂径定理：点P是的中点，
∴平分．
（2）解：过点O作，垂足为H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵
∴，
∴
又
∴
∴．
18．如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．

(1)求的长；
(2)如图2，连接．求证：．
【答案】(1)4
(2)见详解
【分析】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答．
（2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：

∵B为弧的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解： 连接，交于一点，如图所示：

∵
∴，点O在的垂直平分线上
由（1）知，
∴
∴，点H在的垂直平分线上
∴所在的直线是的垂直平分线上
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第08讲 圆的对称性
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索圆的对称性的活动过程； 2．运用圆心角、弧、弦之间的相等关系，垂径定理等解决相关问题。
中心对称
1.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
因此，圆是 图形，对称中心为
2.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
3.在纸上画半径相等的圆O和圆O′，再画相同的圆心角的∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？
证：
因此，在同圆或等圆中，相等的 所对的 相等，所对的 相等
几何语言：
4.那么在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
因此可得：在同圆或等圆中，如果两个 、两条 、两条 中有 相等，那么它们所对应的
另外两组几何语言：
5.我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
因此，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
实践证明， 。
轴对称
1.在纸上画圆O，把圆O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
圆是 图形， 都是它的对称轴。
有 条对称轴。
2.画圆O和圆的直径AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，在所画图中有哪些
相等的线段、相等的弧？
证：连接OC,OD
在▲OCD中，
∵OC=0D，OP⊥CD
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD
∴∠AOC=∠AOD
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通远中，相等的圆心角所对的弧相等）
因此， 。（垂径定理）
几何语言：
考点一：垂径定理的推论
例1．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】下列四个命题中，真命题是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弧的直径经过圆心
C．平分弦的直线垂直于弦 D．垂直于半径的弦过圆心
【变式1-2】如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

【变式1-3】如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线；
(2)如图2，若，试画出的平分线．
考点二：运用垂径定理求值
例2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
【变式2-2】温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
【变式2-3】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的半径．
考点三：平行弦问题
例3.已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【变式3-1】AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【变式3-2】已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
【变式3-3】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
考点四：同心圆问题
例4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
【变式4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【变式4-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【变式4-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
考点五：求解弦、弧、圆心角
例5．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，是的直径，，，则的大小为 ．
【变式5-3】如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点．
考点六：：求证弦、弧、圆心角
例6. 在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-1】下列命题：正确的是（　　）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．
②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧．
③能够完全重合的两条圆弧是等弧．
④长度相等的弧所对的弦相等．
A．① B．② C．③ D．④
【变式6-2】已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”）
【变式6-3】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
考点七：垂径定理的应用
例7．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式7-1】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
【变式7-2】赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
【变式7-3】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
1．如图，是的直径，弦于点E，，，则（ ）
A．6 B． C．9 D．12
2．如图，在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（ ）
A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸
4．如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 的直径为10，的直径为13，的圆心恰好在的圆周上，连接两圆交点所得弦的长为 ．
10．如图的直径，CD是的弦，于点P，且，则的长是 ．
11．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
12．如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则 ．
13．如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米．
14．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ．
15．如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
16．如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，且．
(1)求证：
(2)若，，求的半径．
17．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
18．如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．

(1)求的长；
(2)如图2，连接．求证：．
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