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第09讲 确定圆的条件
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程； 2．了解三角形的外接圆、外心、圆内接三角形的概念，会过不在同一条直线上的三点作一个圆。
1.确定圆的条件
条件 作圆的个数 图例
经过一个点作圆 无数个
经过两个点作圆 无数个
经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个
如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。
∵OD垂直平分AB，OF垂直平分
∴OA=OB，OA=OC
∴OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
因此， 。
3.如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ；外接圆的圆心叫做三角形的 心，这个三角形叫做圆的 接三角形。
外心的性质：
（1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离 ；
（2）三角形的外接圆有 个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有 个，且这些三角形的外心重合。
4.三角形外接圆的作法
已知三角形ABC
作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O；
（2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。
5.不同三角形的外心位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部
考点一：三角形外接圆的概念认识
例1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【变式1-1】下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
【变式1-2】以下命题中，正确的有 ．
（1）过三点一定有一个圆；（2）同弧所对的圆周角相等；（3）直径所对的圆周角是直角；（4）平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧；（5）相等的弦所对的圆周角相等；（6）三角形的外心是三内角角平分线交点；（7）三角形的内心是三内角角平分线交点； （8）圆心到直线上一点的距离等于半径，则直线是圆的切线．
【变式1-3】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
考点二：由外心判断三角形
例2．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【变式2-2】已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ．
【变式2-3】如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
考点三：由三角形找外心
例3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式3-1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-2】如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．

【变式3-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
考点四：判断确定圆的条件
例4．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
【变式4-2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，．
(1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．
(2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出；
(3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）
考点五：求三角形外心坐标
例5．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .

【变式5-3】如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，．
(1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______；
(2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值；
考点六：求外接圆的半径
例6. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【变式6-1】《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步 B．15步 C．16步 D．17步
【变式6-2】在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ．
【变式6-3】如图所示，已知在中，．

(1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的面积以及外接圆半径．
考点七：尺规作图
例7．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【变式7-2】已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）

【变式7-3】如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点．
(1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起 B．打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》
C．过不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球
2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
4．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
5．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）

A． B．
C． D．
9．在中，，若以为圆心长为半径作圆，则点在 填“内”，“上”或“外”．
10．如图，点是的外心，且，则 ．
11．如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为
12．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
13．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ．
15．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出的外接圆圆心．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长．
16．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．

(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由．
(2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径．
17．【问题提出】
（1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________；
【问题探究】
（2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
18．如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．

(1)判断：__________；
(2)若，求的长；
(3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程； 2．了解三角形的外接圆、外心、圆内接三角形的概念，会过不在同一条直线上的三点作一个圆。
1.确定圆的条件
条件 作圆的个数 图例
经过一个点作圆 无数个
经过两个点作圆 无数个
经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个
如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。
∵OD垂直平分AB，OF垂直平分
∴OA=OB，OA=OC
∴OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3.如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的性质：
（1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等；
（2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。
4.三角形外接圆的作法
已知三角形ABC
作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O；
（2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。
5.不同三角形的外心位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部
考点一：三角形外接圆的概念认识
例1．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D．
【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；
垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意；
各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
【答案】C
【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；
∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确；
∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确，
故选：C．
【变式1-2】以下命题中，正确的有 ．
（1）过三点一定有一个圆；（2）同弧所对的圆周角相等；（3）直径所对的圆周角是直角；（4）平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两段弧；（5）相等的弦所对的圆周角相等；（6）三角形的外心是三内角角平分线交点；（7）三角形的内心是三内角角平分线交点； （8）圆心到直线上一点的距离等于半径，则直线是圆的切线．
【答案】（2）（3）（7）
【分析】根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．
【详解】（1）应是不共线的三个点，故错误；
（2）同弧所对的圆周角相等，正确；
（3）直径所对的圆周角是直角，正确；
（4）被平分的弦不是直径，故错误；
（5）同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故错误；
（6）三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，故错误；
（7）三角形的内心是三内角角平分线交点，正确；
故填：（2）（3）（7）．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，圆的对称性质，弧与圆周角的关系定理，综合性较强，熟练掌握各个定理及性质是解题的关键，注意定理中应满足的条件．
【变式1-3】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识是解题的关键．
（1）如图所示，连接，可得是等腰三角形，根据直角三角形可求出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作与点，根据等面积法可求出的值，根据勾股定理，等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵点在圆上，
∴，即是等腰三角形，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
（2）解：如图所示，过点作与点，

∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，是等腰三角形，
∴，
在中，，
∴，即．
考点二：由外心判断三角形
例2．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断．
【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中；
⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确．
∴正确的有②④⑥，共3个．
故选：C．
【变式2-1】的外心在三角形的一边上，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．
【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；
当的外心在的外部时，则是钝角三角形；
当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
【变式2-2】已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；
由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：如图，
是的外心，，，
，，
为的中位线，
．
故答案为：16
【变式2-3】如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得．
【详解】（1）如图1，点D即为的外心；
（2）如图2，点F即为所作；
考点三：由三角形找外心
例3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示：
的外心是点，
故选：A．
【变式3-1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键．
根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可．
【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：D．
【变式3-2】如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．

【答案】P
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．
由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等进行判断即可．
【详解】解：由勾股定理可得，，
∴的外心是点P，
故答案为：P．
【变式3-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
【答案】(1)
(2)在圆外
【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标；
（2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
考点四：判断确定圆的条件
例4．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，
根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断．
【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；
（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；
故选：B．
【变式4-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
【答案】A
【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；
B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【变式4-2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
【答案】可以
【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断．
【详解】解：设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
所以直线的解析式为，
当时，，
所以点不在直线上，
即点A、B、C不在同一条直线上，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．
故答案为：可以
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，．
(1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．
(2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出；
(3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)不能．
【分析】（1）根据平移的性质可得答案；
（2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据A、B、E三点共线可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由图可得，A、B、E三点共线，
∴经过A，B，E三点不能确定一个圆，
故答案为：不能．
【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键．
考点五：求三角形外心坐标
例5．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
【变式5-1】如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，
∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .

【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标．
【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；

所以点的坐标为．
故答案为：．
【变式5-3】如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，．
(1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______；
(2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值；
【答案】(1)见解析，
(2)6
【分析】本题考查作图应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）分别找出线段及线段的垂直平分线，它们的交点即为圆心，再画出的外接圆即可解决问题；
（2）当点在线段延长线上时最大，此时，
【详解】（1）如图所示；；
故答案为．
（2）连接，，，，
点为弦的中点，，
，
，
，
，
点在以为圆心，1为半径的圆上，
当点在线段延长线上时最大，此时，
，
的最大值为；
考点六：求外接圆的半径
例6. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，

，．
过点作于点，则，
连接，，则，
，
．
，
，
∴，
在中，，，
∴，
．
故选：A．
【变式6-1】《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步 B．15步 C．16步 D．17步
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径．
【详解】解：设三角形为，，，，
，
，
该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边，
外接圆的直径是17步，
故选：D．
【变式6-2】在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ．
【答案】4或5
【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．
根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可．
【详解】当为斜边时，
是直角，
三角形外接圆直径，
半径是4；
当为斜边时，
为直角，
，
，
三角形外接圆直径为
半径是5；
综上所述：半径为4或5．
【变式6-3】如图所示，已知在中，．

(1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的面积以及外接圆半径．
【答案】(1)见解析
(2)，外接圆的半径是
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键．
（1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出；
（2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径．
【详解】（1）解：即为所作；

（2）连接并延长交于点D，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
设圆的半径是r，则，，
在直角中，，即，
解得：，则外接圆的半径是．
考点七：尺规作图
例7．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解．
【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，
由图得点D的坐标为．
故该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：B．
【变式7-1】下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式7-2】已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）

【答案】③
【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；
③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;
④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
故答案为:③.
【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
【变式7-3】如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点．
(1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当或时，菱形的个数为0；当或时，菱形的个数为1；当时，菱形的个数为2
【分析】本题考查了作图，菱形的判断，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）以A为圆心，为半径画弧与相交于G，以G为圆心，为半径画弧与（在G的右侧）相交于F，连接即可；
（2）过A作于H，利用勾股定理求出，然后分别求出以A为圆心，为半径的圆经过B；菱形的顶点F和C重合时，对应的值，最后观察图形即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（答案不唯一），
由作图知，
∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，当时，以A为圆心，为半径的圆与有唯一的交点，
如图，当时，以A为圆心，为半径的圆经过点B时，与有两个点，
过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，故符合题意；
如图，当F与C重合时，过A作于H，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴当或时，菱形的个数为0；
当或时，菱形的个数为1；
当时，菱形的个数为2．
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起 B．打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》
C．过不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件．
【详解】解：太阳从东边升起，属于必然事件，故A不符合题意；
打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》，属于随机事件，故B符合题意；
过不在同一直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，故C不符合题意；
在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球，属于不可能事件，故D不符合题意；
故选：B
2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．
【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆，
∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，
故选：A．
3．如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】A
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
4．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答．
【详解】解：如图：
连接，作和的垂直平分线，交点为，
圆心的坐标为，
，
，
线段，
半径，
点在内，
故选：C．
5．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案．
【详解】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，
斜边长，
∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为．
故选：B
6．如图，点E是的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线，与交于点D．连接，连接，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据作图得出平分，平分，进而得到平分，根据三角形外心得出，结合等腰三角形性质求出，利用三角形内角和定理即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接，，
根据作图可知，平分，平分，
平分，
，
，
点E是的外心，
，
，，，
，
，
，
故选：B．
7．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解．
【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．
8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】连接BO，取BO中点M，连接ME，点E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即
可求AE的最大值．
【详解】解：如图

连接BO，取BO中点M，连接ME
∵DE⊥BE，M是BO中点
∴ME=BO
∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上
∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大
延长BO交AC于H
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12
∴CH=AH=6
∴AH=6 ，AO=4，BH=6
则OM=2，MH=4
∴AM=
∴AE的最大值为2+2
故选A．
【点睛】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，以及勾股定理，找到E的运动轨迹是解本题的关键，具有一定的难度．
9．在中，，若以为圆心长为半径作圆，则点在 填“内”，“上”或“外”．
【答案】上
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：点和圆有三种位置关系：在圆内、在圆外、在圆上．
用和的半径比较即可得出结果．
【详解】解：在中，，
以点为圆心，长为半径作圆，
点在上，
故答案为：上．
10．如图，点是的外心，且，则 ．
【答案】
【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
11．如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为
【答案】
【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
【答案】6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
13．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ．
【答案】或
【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
②当点O在外时，连接交于E．
，
故答案为：或
14．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：点B在平分线上移动，
，
如图，作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点N在上时，有最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
15．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出的外接圆圆心．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（2）连接计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
16．如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．

(1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由．
(2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径．
【答案】(1)能，见解析
(2)
【分析】题考查作图——复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，，并作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作，即为所作；
（2）根据垂径定理可以求出，，然后解直角三角形求出长即可．
【详解】（1）如图所示，圆O为所求圆．

（2）连接，，于点D，

∵是等边三角形，
∴弧等于圆周长的三分之一，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
17．【问题提出】
（1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________；
【问题探究】
（2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的最小值为3；（3）的长度存在最小值，最小值为米
【分析】（1）当时，的值最小，据此即可求解；
（2）设，则，，要使最小，则最小，即最小．据此即可求解；
（3）由题意得为的直径，设的半径为R，则，连接，作于点H，可得，求出的最小值即可求解．
【详解】解：（1）当时，的值最小，
如图所示：
∵
∴
故答案为：
（2）∵点P在以O为圆心，为半径的上，
∴设，则，，
∴要使最小，则最小，即最小．
∵点F为线段（含端点）上的一个动点，
∴的最小值为的长，即的最小值为，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为1，
∴的最小值为3．
（3）∵，
∴为的直径，
∴圆心P为线段的中点．
设的半径为R，则
连接，作于点H，如图3．
∵是以点A为顶点的等腰直角三角形，
∴，米，
∴．
∵，
∴．
∵点C在上，
∴的最小值为的长，
∴的最小值为米，即的最小值为，
∴R的最小值为．
∵当R最小时，取得最小值，
∴长度的最小值为．
即的长度存在最小值，最小值为米．
【点睛】本题考查了线段的最值问题，涉及了等边三角形的性质、勾股定理的应用、三角形的外接圆等知识点．熟练掌握相关几何结论是解题关键．
18．如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．

(1)判断：__________；
(2)若，求的长；
(3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，在四边形中，根据四边形内角和求解即可；
（2）由旋转的性质可知，利用互余关系可得，再由，，可得，进而可证明，可得，再利用勾股定理求解即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别判断的形状即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在四边形中，，
故答案是：；
（2）由旋转可知，，
又∵，
∴，，
∴．
由（1）知，而，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，则是等腰直角三角形，
∴；
（3）由（2）可知，
当时，则为直角三角形，外心在其斜边上，
当时，则为钝角三角形，外心在其外部，
当时，
∵，，，
∴，则，
∴，
，
则为锐角三角形，外心在其内部，
故：．
【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．
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