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第10讲 圆周角
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 2．能运用圆周角定理及其推论解决相关问题； 3. 体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题。
1.回顾一下圆心角的概念，那圆周角的概念是？
圆心角：顶点在 ；
圆周角：顶点在 。
圆周角的概念： 叫做圆周角。
圆周角两个条件：（1） ；（2） 。
圆心角 圆周角
区别
联系
如图，BC所对的圆周角有：
AD所对的圆周角有：
2.如图，∠BOC=90°，那么∠BAC= .
根据求出的角度，判断∠BOC与∠BAC的数量关系。
如右图，∠AOB=2∠ACB吗？
因此，圆周角的度数等于它所对弧上的
的一半。
那∠ACB与∠AEB之间什么关系？
因此，同弧或等弧所对的圆周角
3.（1）如图，BC是直径，圆周角∠BAC为多少度？
（2）如图，圆心角∠BAC=90°，如果连接BC，，BC过圆心吗？
因此，直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。
4.一个三角形的3个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫圆的内接三角形；那一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫？
圆的内接四边形定义：
叫做圆的内接四边形。
如右图，四边形ABCD是圆的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆
那在右图中，∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是？
因此，圆内接四边形的对角 。
延长BC至点E，∠DCE与∠A之间的关系是？
因此，圆内接四边形的任何一个外角都 它的内对角。
考点一：圆周角的认识
例1．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列各图中，为圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

【变式1-3】如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点E，已知，，求的度数．

考点二：圆周角定理
例2．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【变式2-1】如图，内接于，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则 度．
【变式2-3】如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)当经过圆心时，求的长．
考点三：同弧或等弧所对的圆周角相等
例3. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．

【变式3-3】如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
考点四：直径所对的圆周角是直角
例4．如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ．
【变式4-3】如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．
考点五：由圆内接四边形求角度
例5．如图，是的直径，为的弦．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）

A． B．或 C． D．
【变式5-2】如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ．
【变式5-3】如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
考点六：由圆内接四边形求半径或直径
例6.如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．2
【变式6-2】如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【变式6-3】“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：

(1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”），
(2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
(3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______.
1．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点C是半圆弧的中点，点P为三角尺的直角顶点，两直角边分别过点A，B．连接．已知，则（ ）

A． B． C． D．
4．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
6．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
10．如图，在中，，，则的度数为 ．
11．如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．

12．如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ．
13．如图，量筒的液面呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为，则平视点C，点C的高度为 ．
14．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
15．图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹）
16．如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为．
(1)的度数为___________ ；
(2)求的长；
(3)求阴影部分的面积．
17．如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．
18．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 2．能运用圆周角定理及其推论解决相关问题； 3. 体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题。
1.回顾一下圆心角的概念，那圆周角的概念是？
圆心角：顶点在圆心；
圆周角：顶点在圆周上。
圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。
圆心角 圆周角
区别
联系
如图，BC所对的圆周角有：∠BDC，∠BAC
AD所对的圆周角有：∠ABD，∠ACD
2.如图，∠BOC=90°，那么∠BAC= 45° .
根据求出的角度，判断∠BOC与∠BAC的数量关系。
∠BOC=2∠BAC
证：∵OA=OC
∴∠A=∠C
∵∠BOC=∠A+∠C
∴∠BOC=2∠BAC
如右图，∠AOB=2∠ACB吗？
证：连接OC，与圆O交于点D。
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵∠AOD=∠A+∠ACO
∴∠AOD=2∠ACD
同理可得∠BOD=2∠BCO
∴∠AOB=2（∠ACO+∠BCO）=2∠ACB
因此，圆周角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半。
那∠ACB与∠AEB之间什么关系？
∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB=2∠AEB
∴∠ACB=∠AEB
因此，同弧或等弧所对的圆周角相等
3.（1）如图，BC是直径，圆周角∠BAC为多少度？
∠BAC=∠BOC=90°
（2）如图，圆心角∠BAC=90°，如果连接BC，，BC过圆心吗？
连接OB，OC
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=180°
∴B、O、C三点共线
∴BC过圆心，BC是直径
因此，直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
几何语言：∵BC是直径 几何语言：∵ ∠BAC=90°
∴∠BAC=90° ∴BC是直径
4.一个三角形的3个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫圆的内接三角形；那一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫？
圆的内接四边形。
圆的内接四边形定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形。
如右图，四边形ABCD是圆的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆
那在右图中，∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是？
连接OB，OD.∵∠A=∠1，∠C=∠2，并且∠1+∠2=360°
∴∠A+∠C=180°
因此，圆内接四边形的对角互补。
延长BC至点E，∠DCE与∠A之间的关系是？
∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=∠A
因此，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
考点一：圆周角的认识
例1．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交，
故图中的圆周角有和，共个，
故选：B．
【变式1-1】下列各图中，为圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

【答案】
【分析】根据圆周角的定义即可解答．
【详解】解：如图，

所对的圆周角是，
所对的圆周角是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
【变式1-3】如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点E，已知，，求的度数．

【答案】
【分析】根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，圆的基本知识，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
考点二：圆周角定理
例2．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再求得，利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2-1】如图，内接于，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到再由已知即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D
【变式2-2】如图，点A，B，C在上，B为弧的中点．若，则 度．
【答案】144
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．根据垂径定理得到，结合，求出，即可得到结果．
【详解】解：∵B为弧的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：144．
【变式2-3】如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)当经过圆心时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论；
（2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
；
（2）解：连接并延长交于点，如图，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
解得，
，，
是的中位线，
；
点为的中点，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理．
考点三：同弧或等弧所对的圆周角相等
例3. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等．
根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
．
故选．
【变式3-1】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据等腰三角形的性质得出，根据圆内接四边形的性质即可求出．
【详解】解：∵
∴
∵=，
∴
∵四边形内接于，
∴；
故选：B．
【变式3-2】如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．

【答案】/57度
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：连接，如图，

∵是的直径，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式3-3】如图，在中，，连接 ，，过点 作交 延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理；
（1）根据平行的性质可得，根据得出，等量代换即可得证；
（2）设交于点，根据垂径定理可得，在中，勾股定理求得，设，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴
设交于点，
∵
∴，
在中，由勾股定理可得
设
在中，由勾股定理可得
即
解得：
即的半径为
考点四：直径所对的圆周角是直角
例4．如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
【变式4-1】如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角求得 根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形，
∵是半圆的直径，
故选：B．
【变式4-2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．
【详解】解：依题意得：为的直径，
，
在中，寸，寸，
由勾股定理得：．
的长为24寸．
故答案为：．
【变式4-3】如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点五：由圆内接四边形求角度
例5．如图，是的直径，为的弦．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质以及三角形内角和定理，连接，由圆内接四边形的性质可得出，由等边对等角可得出，最后由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是内接四边形，且
∴
∵，
∴
故选：B．
【变式5-1】如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（　　）

A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧上一点，连接，，利用圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数．
【详解】解：记D为优弧上一点，连接，，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
故选：D．
【变式5-2】如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】如图，为的直径，CD为的一条弦，的平分线交于点E，，的延长线交于点．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合圆周角定理可得，从而可得答案；
（2）如图，连接．证明，，可得，，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接．
，
平分，
．
为的直径，
∴，
，
．
（2）证明：如图，连接．
平分，
，而，，
．
是的直径，
∴，
，
，，
．
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
考点六：由圆内接四边形求半径或直径
例6.如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线．
连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵圆是矩形的外接圆，
∴点O是的中点
∵，，，
∴
∴
∴阴影部分的面积．
故选：B．
【变式6-1】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键．
【详解】解：∵、、、都在圆上，，
∴，
∵，
∴是的直径，，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为4，
故选：A．
【变式6-2】如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，．
则，．
∵，
∴//，
∴
∴BE=CD，
∵
∴．
在Rt△中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴．
所以圆的面积为．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．
【变式6-3】“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：

(1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”），
(2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
(3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______.
【答案】(1)
(2)不成立，，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解；
（2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明；
（3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图：

∵四边形为的内接四边形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：（1）的结论不成立，理由：
延长交于点，连接，如图：

∵四边形为的内接四边形，
∴，
在中，，
∴，
即，
故（1）的结论不成立．
（3）解：∵，四边形的内角和为1，
∴，
即四边形四点共圆，
分别过点A、C作于点M，于点N，如图：

则四边形面积
故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，
连接、，
∵，
∴，
又∵，
故为等边三角形，
∴，
则，
则四边形面积最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的的性质是解题的关键．
1．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵如图：，
∴，
故选：D．
2．如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数．
【详解】解：中，，，
∴，
∴．
故选：B．
3．量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点C是半圆弧的中点，点P为三角尺的直角顶点，两直角边分别过点A，B．连接．已知，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接，根据圆周角定理得出，确定，得出，结合题意即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

根据题意得，
∵点C是半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解
【详解】解：如图所示，连接，

∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心，
∴是四点共圆，
∴
∴，
故选：A．
5．如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，，进而可得，由此得，在中，根据勾股定理可求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长．
【详解】∵是的直径，
，
又，，
，
，
，
，
．
故选：D
6．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，利用正方形性质证明，得到，根据A，E，F，B四点共圆，以及圆周角定理得到，利用等腰三角形性质得到，，以及，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，即，
A，E，F，B四点共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，四点共圆，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
7．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出．
【详解】解：∵，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接交弧于点，此时取最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的最小值为，
故选．
8．如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答；
【详解】∵是等边三角形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴，
，
过点作，
则，
，
，
连接，过点作，
则，
，
，
解得：．
故选：B．
【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
9．如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则 度．
【答案】75
【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，
∴，
∴；
故答案为：75．
10．如图，在中，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，已知为的直径，为上两点，且平分，连接，若，则的度数为 ．

【答案】/29度
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得．
【详解】解： ，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
12．如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】/63度
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，作图基本作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：为的直径，
，
由题意得：平分，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，量筒的液面呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为，则平视点C，点C的高度为 ．
【答案】/
【分析】作出图形，证明是的直径，由垂径定理得，求得的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵，
∴是的直径，
由垂径定理得，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为14，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F的高度即点C的高度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．垂径定理等知识，作出图形是解题的关键．
14．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明，再求出，根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵D是的中点，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
故答案为：
15．图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
16．如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为．
(1)的度数为___________ ；
(2)求的长；
(3)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，关键是证明阴影的面积=扇形的面积．
（1）由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到
（2）由，得到由直角三角形的性质得到；
（3）由，得到阴影的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】（1）解：连接
是的直径，
，
．
故答案为：．
（2）解：∵
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
阴影的面积扇形的面积，
，
是等边三角形，
，
，
扇形的面积．
阴影的面积．
17．如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，在劣弧上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）平分可得，所以，在中，易得，,即证；
（2）利用（1）中条件，易证，所以，求出的长，在中，利用勾股定理求得的长，即得半径长．
【详解】（1）证明：平分
为的直径
（2）由（1）得
即
在中，利用勾股定理得:
，即半径为5
【点睛】题目考查了圆周角定理，直角三角形角度性质及勾股定理，三角形相似，等腰三角形判定等知识点，熟练掌握定理内容是解题的关键．
18．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质；
（1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明．
（2）直接利用阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
（3）根据平行四边形的性质以及阿波罗尼奥斯定理，即可求解；
（4）根据题意得出是矩形，进而根据阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵在中，点为的中点，，，，
∴，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
解得：；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴
∵，，
∴
在中，是中线，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
∴；
（4）∵平行四边形内接于，是直径，
∴
∴四边形是矩形，，
∴
∴
在中，根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴,
解得：．
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