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第12讲 正多边形与圆
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并进行有关计算； 2．了解正多边形的对称性； 3.会用量角器画正多边形，用直尺和圆规作一些特殊的正多边形。
1.之间所学到的正多边形是？那什么叫正多边形？
正三角形（等边三角形），正方形
正多边形：各边相等、各角都相等的多边形叫做正多边形
2.认识圆内接正多边形
用量角器把一个圆分成n等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3.与正多边形的有关概念
4.正多边形的计算
名称 公式
内角 正n变形的每个内角都为
中心角 正n边形的每个中心角都为
外角 正n边形的每个外角都为
边心距 正n边形的边心距
周长 正n边形的周长C=na
面积 正n边形的面积
5.正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n天对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
6.正多边形的画法
（1）量角器画法
在半径为R的圆中，先用量角器画一个度数为的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接各等分点即可作出半径为R的正n边形。
（2）尺规作图画法
①作正方形
作法：1.在圆O中作两条互相垂直的直径AC、BD.
2.依次连接A、B、C、D四个点，四边形ABCD即可画出。
②作正六边形
作法：1.在圆O中画出任意一条直径AD；
2.分别以点A、D为圆心，圆O的半径为半径作弧，与圆O相交与点B、F和点C、E；
3.依次连接A、B、C、D、E、F六个点，即可画出正六边形。
考点一：正多边形的中心角
例1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
【变式1-3】如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

(1)求的度数；
(2)若的半径为8，求正方形的边长．
考点二：由中心角求边数
例2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．

【变式2-3】古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______ ；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
考点三：正多边形与圆综合
例3. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式3-1】如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式3-2】如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
【变式3-3】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
考点四：尺规作图——正多边形
例4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【变式4-1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【变式4-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【变式4-3】如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中过点作的切线；
(2)在图1中画出一个圆内接正方形；
(3)在图2中的圆上画出线段的中点；
(4)在图3中作一个的圆周角．
1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
6．如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A． B． C． D．
9．若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
10．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
11．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
12．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
13．雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ．
14．将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1） ；
（2）已知点在边上，则的最大值为 ．
15．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
16．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图①中，画一个菱形；
(2)在图②中，画出正五边形的中心点．
17．阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并进行有关计算； 2．了解正多边形的对称性； 3.会用量角器画正多边形，用直尺和圆规作一些特殊的正多边形。
1.之间所学到的正多边形是？那什么叫正多边形？
正三角形（等边三角形），正方形
正多边形：各边相等、各角都相等的多边形叫做正多边形
2.认识圆内接正多边形
用量角器把一个圆分成n等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3.与正多边形的有关概念
4.正多边形的计算
名称 公式
内角 正n变形的每个内角都为
中心角 正n边形的每个中心角都为
外角 正n边形的每个外角都为
边心距 正n边形的边心距
周长 正n边形的周长C=na
面积 正n边形的面积
5.正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n天对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
6.正多边形的画法
（1）量角器画法
在半径为R的圆中，先用量角器画一个度数为的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接各等分点即可作出半径为R的正n边形。
（2）尺规作图画法
①作正方形
作法：1.在圆O中作两条互相垂直的直径AC、BD.
2.依次连接A、B、C、D四个点，四边形ABCD即可画出。
②作正六边形
作法：1.在圆O中画出任意一条直径AD；
2.分别以点A、D为圆心，圆O的半径为半径作弧，与圆O相交与点B、F和点C、E；
3.依次连接A、B、C、D、E、F六个点，即可画出正六边形。
考点一：正多边形的中心角
例1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∴这个正n边形的中心角为，
故选：D．
【变式1-1】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，
则，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1-2】如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
正六边形的中心角是，
故答案为：．
【变式1-3】如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

(1)求的度数；
(2)若的半径为8，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：
（1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可；
（2）勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：连接，

由题意得：，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
即正方形的边长为：．
考点二：由中心角求边数
例2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可．
【详解】解：∵正多边形的中心角为，
∴这个多边形的边数是，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
【变式2-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：．
【变式2-2】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．

【答案】/十五
【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果．
【详解】解：连接，

∵是的内接正六边形的一边，
∴，
∵是的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式2-3】古建中的数学：古亭探“优”．
【了解】
“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．
【探索】
先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．
（1）旋转的角度最小为_______ ；
（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；
（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【作图】
（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析
【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得；
（2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案；
（3）由，，，可得，，即可求得答案；
（4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、，
则、、、经过点，，
，，
四边形、是正方形，
，
是正八边形，
，，
，
，
同理，
，
；
（2）正八边形的边长为2，
，
由（1）知：、、均为等腰直角三角形，
，，
；
（3），理由如下：
由（2）知：，，，
可得，，
，
；
（4）如图：
连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
考点三：正多边形与圆综合
例3. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，
∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，
∴是正三角形，
，
∴正六边形的边长为2，
故选：B．
【变式3-1】如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，
依题意，
∵，
∴
故选：A．
【变式3-2】如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．
【详解】如图，连接，，
∵四边形是正方形
∴
∵六边形是正六边形
∴
∴
∴弦所对圆周角的度数为或
故答案为：或．
【变式3-3】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明，只要证明即可；
（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，

∴
∵正方形内接于，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即点E到的距离为，
故答案为：．
考点四：尺规作图——正多边形
例4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断
【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，
六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知．依次画弧可得．
六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．
【变式4-1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
【变式4-2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【详解】（1）∵⊙的半径为：，
∴⊙的周长，
故答案为：
（2）如图：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵过圆心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．
【变式4-3】如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中过点作的切线；
(2)在图1中画出一个圆内接正方形；
(3)在图2中的圆上画出线段的中点；
(4)在图3中作一个的圆周角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）先连接，根据切线的性质作图即可；
（2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形；
（3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意；
（4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，正方形即为所求，
（3）如图，点即为所求，
（4）如图，即为所求
【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键．
1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，．
【详解】解：正八边形内接于
．
故选：C．
2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果．
【详解】解：正六边形的中心角的度数为，
∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转；
故选D．
3．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可．
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为2，
∴每一个三角形的面积为1，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴原正六边形纸片的面积为6．
故选B．
4．如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D
5．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解．
【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
6．如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出．
【详解】解：连接，，，
正方形与等边内接于，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D
7．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论．
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
9．若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ．
【答案】10
【分析】
本题考查正多边形的内角公式，已知正多边形的内角的和公式为（大于等于3且为整数），正多边形各内角度数为．关键在于对正多边形内角公式的准确记忆，以及正确计算出结果．
【详解】解：∵多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，
∴此多边形为正多边形，
设这个正多边形的边数为，
根据正多边形内角度数公式可得：，
解得：．
故答案为：10．
10．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边，
∵正六边形的每个外角为
∴圆心角为，
∴的值为，
故答案为：．
11．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，

过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
12．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
【答案】6或30
【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键．
如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵是内接正十边形的一边，
是的内接正十五边形的一边，
∴，，
当点C在外时，；
当点C在上时，；
即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或．
∴多边形的边数为6或30．
故答案为：6或30．
13．雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接，
∵六边形是正六边形，点是中心，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1） ；
（2）已知点在边上，则的最大值为 ．
【答案】 30
【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接交于，连接，交于，则，
，
∴当、重合时，点到线段的值最大，为，
由正六边形的性质可得：，
∴是等边三角形，
∴，故，
∵，
∴，，
∴，，
∴的最大值为，
故答案为：．
15．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形为所作．
垂直平分，为的直径，
为的直径，
，
，，，
四边形是矩形
,
四边形是正方形，
又都在圆上，
四边形是的内接正方形．
16．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图①中，画一个菱形；
(2)在图②中，画出正五边形的中心点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，交于点，则：四边形即为所求；
（2）作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点O即为所求．
【详解】（1）如图，四边形即为所求；
（2）如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为∠APB的度数；
（2）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后求出，即为∠APB的度数；
（3）把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，可得， 过点A作于M，设与AF相交于N，证明 再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质，
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
故；
故答案为：．
（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
故．
（3）如图4，∵正六边形的内角为，
∴把△APB绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，
∴，
过点A作于M，设与AF相交于N，
设
则
∴
∴
由旋转的性质可得：
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
【答案】(1)16
(2)①；②
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可；
②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接，

四边形是正方形，
，
解得：，
正方形的边长为4，
正方形的面积为16．
（2）解：①连接，，

四边形是正方形，且其面积为16，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得（舍）
，
．
②连接，，，

，且，
，，
又，
，
共线，
，
．
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