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第16讲 相似图形与平行线段成比例
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握相似图形的概念； 2．会运用平行线成比例线段；
1.回顾一下全等图形
完全重合的两个图形是全等图形。
2.右图是全等图形吗？
不是，右图形状相同，大小不相同。
因此，形状相同的图形叫做相似形。
3.观察右图两个三角形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
这两个三角形各角相等，各边成比例；
再观察右图的两个正方形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
这两个正方形各角相等，各边成比例；
因此，像这样，各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形。
比如：▲ABC与▲A′B′C′相似，我们记作为“”。
相似多边形的对应角相等对应边成比例，相似多边形的对应边的比叫做相似比。
4.如右图，三条平行线被两条直线所截，试着度量BC、CD和AD、DF的长度，并计算它们的比值，有什么发现？
同样地，,.
通过实践，我们得到一个基本事实，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言：∴
考点一：相似图形
例1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
【变式1-1】下列图标中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形．
故选：C．
【变式1-2】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4）
【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可．
【详解】解：根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键．
【变式1-3】如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边，
∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
考点二：相似多边形
例2．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2-1】如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形
故选：D．
【变式2-2】下列命题中，正确命题的个数为 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．
【变式2-3】形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．

一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值．
【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解
【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可；
（2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可；
（3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证；
（4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可；
【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1，
∴小长方形的宽为，长为1，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得：或（边长不能为负舍去），
∴；
（2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，

四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同；
（4）共有四种情况：
①如下图沿原矩形的长3等分，

小矩形和原矩形的长宽比都为a，
小矩形的长为1，则宽为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的长为，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，右边矩形的宽为，
∴∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，

根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为，
∴右边两矩形的宽和长为，
∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论．
考点三：相似多边形的性质
例3. 如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，设，则，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算即可，本题考查了勾股定理，多边形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵正方形与正方形，
∴两个正方形相似，
∴正方形与正方形的面积之比为,
根据，设，
∴，
∴正方形与正方形的面积之比为,
故选D．
【变式3-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为，
故选：A．
【变式3-2】如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：．
【变式3-3】如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似多边形的性质
（1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可．
（2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可．
【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，
∴、纸的长与宽对应比成比例，得，
∴；
（2）∵纸的周长为286厘米，；
∴纸的周长．
考点四：平行判断成比例线段
例4．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：在平行四边形中，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故A、D不符合题意；
∴，故C符合题意；
∵，，
∴，故D不符合题意．
故选：C．
【变式4-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答．
【详解】解：，
，，
，
选项A、B、C正确，不符合题意，
故选：D．
【变式4-2】在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可）
【答案】/③①
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
【详解】解：①、
∴四边形是平行四边形，故①符合题意；
②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意；
③、改变的长度，与的交点为中点时，则
即为的中点，
∴是的中位线，
∵四边形是平行四边形，
故③符合题意；
④保持的长度不变且时，
∵平分
∴为的中点，
∴
即为的中点，
∴是的中位线，
∵四边形是平行四边形，
∴改变的大小都能使
当的长度不变且不等于时，点不是的中点，
∴不可能使成立，故④不符合题意，
综上所述，正确的结论是，
故答案为：．
【变式4-3】中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出．
【详解】证明：作的中点G，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
考点五：由平行线段成比例求线段的长或比值
例5．如图，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出．
【详解】解：，
，
，
．
故选D．
【变式5-1】如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点M作于D，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式5-2】如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．
【详解】解：
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，
故选：．
2．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示．
，是的平分线，
，
．
是中点，，
∴
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：C．
4．如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】解：这两个图形两个形状相同，
即两个图形相似，
则对应线段的比相等，
因而，
．
的值是．
故选：D
5．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案．
【详解】解：设，，的面积为，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积，
故选：C．
6．如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ）

A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定．
设与相较于点，则，，得到,则垂直平分，得到即可解题．
【详解】如图,设与相较于点，

∵点是的中点,,
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴,
∴点的横坐标为.
故选C.
7．如图，直角三角形ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线．下列结论中：①AE＝3；②AF＝3；③DF＝2；④DE//AB．正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】先过点E作EG⊥BC，垂足为点G，根据三角形的判定定理证明△ABE≌△GBE，再设AE=x，在Rt△CGE中，根据勾股定理解得AE=3，可判断①；根据平行线的性质可知∠AEB=∠AFE，所以AF=AE=3，可判断②；根据△ABC的面积可求得AD的长，由②知AF=3，故可求DF的长，可判断③；根据平行线分线段成比例可知，可判断④；
【详解】如图：过点E作EG⊥BC，垂足为点G，
∴∠EGB=∠EAB=90°，
∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠GBE，
∴ ，
∴△ABE≌△GBE(AAS)
∴AE=GE，AB=BG=6，
∵AC=AE+CE=8，CG=BC-BG=4，
设AE=GE=x，
∴CE=8-x，
在Rt△CGE中，由勾股定理可得： ，
解得x=3，
∴AE=GE=3，故①正确；
由①中△ABE≌△GBE，得∠AEB=∠GEB，
∵EG⊥BC，AD⊥BC，
∴EG∥AD，
∴∠GEB=∠AFE，
∴∠AEB=∠AFE，
∴AF=AE=3，故②正确；
由△ABC的面积，得
，即
∴AD= ，
∴ ，故③不正确；
由①得AE=3，CE=5，
∴ ，
在Rt△ADC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴DE不平行于AB，
故④错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的面积等知识；正确把握知识点的应用是解题的关键；
8．如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作,交于点, 连接,则为的中点,, 得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出, 由证明, 得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出 , 因此, 即可得出结果.
【详解】过点作, 交于点, 连接, 如图所示:

∵为中点,,
∴为的中点,,
∴是的中位线,
∴,
∵,
∴D,
∵,
∴,
在和中,
，
∴,
∴,
∵, 为中点,
∴
∴,
，
∴ ,
∵,
∴,即,
∴,
∴,
，
故选:.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识； 本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
9．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为
【答案】
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为.
故答案为：．
10．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键．
根据可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形性质及应用．过作于，交的延长线于点，交于点，由为的中点，证明是的中位线，求得，，可得，从而．
【详解】解：过作于，交的延长线于点，交于点，如图：
四边形，四边形是正方形，
，，，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴为的中点，
∴是的中位线，
，，
∴
，
；
故答案为：．
12．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质．先根据折叠的性质与矩形性质，得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：由折叠可得：，，
∵矩形中，设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故答案为：．
13．如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
即，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
14．如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，

∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵沿着翻折得到，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，则，
在中，点是的中点，，，
∴，
∴，即，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，则，
∵，，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴点是的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
15．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小．
【答案】27，．
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长．
【详解】解：∵四边形四边形
，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
16．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．
(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线分线段成比例定理．
（1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可；
（2）取格点D，连接交于点P，即可得出答案．
【详解】（1）解：为所求作的三角形；
（2）解：点P即为所求作的点．
∵，，，
∴．
17．向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．

(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论；
（2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为．
矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，
矩形②的长为，宽为，
由图可知，，，
解得，，
矩形①的面积为；
（2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，
正方形的边长为，
设，，
，，
，
整理可得，
解得， 负数舍去，
，
小直角三角形的周长是．
每个小三角形的实际周长为．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键．
18．阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是角平分线，
∴．
∵，，，
∴，解得，经检验符合题意．
故的长为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲 相似图形与平行线段成比例
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握相似图形的概念； 2．会运用平行线成比例线段；
1.回顾一下全等图形
2.右图是全等图形吗？
因此， 的图形叫做相似形。
3.观察右图两个三角形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
再观察右图的两个正方形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
因此，像这样， 的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形。
比如：▲ABC与▲A′B′C′相似，我们记作为“”。
相似多边形的对应角 对应边 ，相似多边形的对应边的比叫做 。
4.如右图，三条平行线被两条直线所截，试着度量BC、CD和AD、DF的长度，并计算它们的比值，有什么发现？
同样地， , .
通过实践，我们得到一个基本事实，
几何语言：
考点一：相似图形
例1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【变式1-1】下列图标中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【变式1-3】如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
考点二：相似多边形
例2．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【变式2-1】如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】下列命题中，正确命题的个数为 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【变式2-3】形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．

一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值．
考点三：相似多边形的性质
例3. 如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
【变式3-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ．
【变式3-3】如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
考点四：平行判断成比例线段
例4．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可）
【变式4-3】中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
考点五：由平行线段成比例求线段的长或比值
例5．如图，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
【变式5-1】如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
【变式5-3】如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
5．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积
6．如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（ ）

A．3 B．5 C．6 D．8
7．如图，直角三角形ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线．下列结论中：①AE＝3；②AF＝3；③DF＝2；④DE//AB．正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（ ）

A． B． C． D．
9．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为
10．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ．
11．如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ．
12．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
13．如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
14．如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ．
15．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小．
16．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．
(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
17．向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．

(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
18．阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长．
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