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第18讲 相似三角形的性质
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解相似三角形的性质； 2．能用相似三角形的性质解决简单问题。
1.回顾相似三角形的判定
2.我们知道，当D、E、F分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC，相似比是，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？
由题意得
所以，,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
3.验证猜想
如果△ABC∽△A′B′C′相似比为k，那么k，
于是，，，
所以，
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．
∵ △ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴
　　＝__k__，
k*k=k
所以
相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。
4.在证明相似三角形面积的比等于相似比的平方过程中，我们发现相似三角形对应高之比等于相似比，那么对应中线、对应的角平分线之比呢？
探究一（中线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，设相似比为k，那么
结论：相似三角形对应中线的比等于__相似比_________．
探究二（角平分线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k，那么
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．
∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，
∴ ∠BAC ， ∠B′A′C′ ;
∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，
∴ k ．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于___相似比________．
一般地，如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，点D、D'分别在BC、B'C'上，且 ，那么　　　 。你能类比刚才的方法说理吗？
总结：相似三角形对应____线段____的比等于相似比．
5.射影定理：母子三角形
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD =BD DC；②AB =BD BC；AC =CD BC．
考点一：重心的性质
例1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【变式1-1】如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【变式1-2】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ．
【变式1-3】阅读与思考：
三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴
(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：
依据1：______________________依据2：______________________
(2)应用
①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长．
②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积．
考点二：相似三角形的性质求解
例2.若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知，若与的对应边之比为，则与的面积之比为 ．
【变式2-3】如图，四边形中，，P为边上的一个动点，连接
(1)若与相似，且的长为方程的两根，求的长；
(2)若点P在线段上运动时恰好存在两个位置使得与相似，求的长．
考点三：相似三角形的性质求坐标
例3. 如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【变式3-1】如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ．
【变式3-3】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
考点四：相似三角形的性质与判定
例4．如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（ ）
A． B．3 C．9 D．
【变式4-1】如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．8
【变式4-2】如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接，交于点．则点的坐标为 ．
【变式4-3】如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在边上找中点P，连接，则与的数量关系是________；
(2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使．
考点五：网格中画相似三角形
例5.如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ）

A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
【变式5-2】如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．

【变式5-3】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画，使点M，N均落在的边上．
(2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形．
考点六：相似三角形的动点
例6.如图所示，在中，，，是线段上任意一点，过点作，与交于点，设，，则能反映与之间关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　）
A．2s B．s C．s D．s
【变式6-2】如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶
（1）经过 s ，的面积是面积的；
（2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似．
【变式6-3】如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
(1)求线段的长；
(2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
(3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
1．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．，且相似比为，则它们的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知内接于，为直径，点D在上，连接交于点E，再连接，此时，，若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，中，、、分别为、、的中点，为上任一点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
9．两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似比为 ．
10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，． 若，则 的值是 ．
11．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ．
12．如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点为延长线上一点，直线分别交，于点，，若，，则的长为 ．
13．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为： ．
14．如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ．
15．如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
16．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
17．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
18．【感知】如图1，在正方形中，、分别在边、上，于点．猜想线段与的数量关系为______；
【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
（1）如图2，在正方形中，若点、、、分别在边、、、上，于点，求证：；
（2）如图3，将中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______；
（3）如图4，在四边形中，，，点在上，且，连结，过点作交于点，交于点，直接写出线段的长．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解相似三角形的性质； 2．能用相似三角形的性质解决简单问题。
1.回顾相似三角形的判定
两角对应相等，两边成比例及其夹角相等，三边成比例
2.我们知道，当D、E、F分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC，相似比是，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？
由题意得
所以，,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
3.验证猜想
如果△ABC∽△A′B′C′相似比为k，那么k，
于是，，，
所以，
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．
∵ △ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴
　　＝__k__，
k*k=k
所以
相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。
4.在证明相似三角形面积的比等于相似比的平方过程中，我们发现相似三角形对应高之比等于相似比，那么对应中线、对应的角平分线之比呢？
探究一（中线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，设相似比为k，那么
结论：相似三角形对应中线的比等于__相似比_________．
探究二（角平分线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k，那么
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．
∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，
∴ ∠BAC ， ∠B′A′C′ ;
∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，
∴ k ．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于___相似比________．
一般地，如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，点D、D'分别在BC、B'C'上，且 ，那么　　　 。你能类比刚才的方法说理吗？
总结：相似三角形对应____线段____的比等于相似比．
5.射影定理：母子三角形
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD =BD DC；②AB =BD BC；AC =CD BC．
考点一：重心的性质
例1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是边上的中线，点是重心，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式1-1】如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半得到，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据重心的性质得到，根据30°所对的直角边是斜边的一半得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，点D是斜边的中点，
∴，
∵点G是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1-2】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长．
【详解】解：、分别是，的中点，
点为的重心，
，
．
故答案为3．
【变式1-3】阅读与思考：
三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴
(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：
依据1：______________________依据2：______________________
(2)应用
①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长．
②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积．
【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质
(2)①；②
【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质，
（1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可；
（2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可；
②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可．
【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理；
依据2：相似三角形的性质；
（2）①∵G是的重心，
∴，
∵，
∴
∴；
②∵中线、相交于点O，
∴点O是的重心，
∴，
∴
故．
考点二：相似三角形的性质求解
例2.若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故选：D．
【变式2-1】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．
根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：两个相似三角形的周长比为，
两个相似三角形的相似比为，
这两个相似三角形的面积比为．
故选：．
【变式2-2】已知，若与的对应边之比为，则与的面积之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】解：∵，且与的对应边之比为，
∴与的面积之比为；
故答案为：．
【变式2-3】如图，四边形中，，P为边上的一个动点，连接
(1)若与相似，且的长为方程的两根，求的长；
(2)若点P在线段上运动时恰好存在两个位置使得与相似，求的长．
【答案】(1)或1
(2)或5
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，相似三角形的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）由，设，再分两种情况求解即可；
（2）设，再分两种情况：当时，当时，结合方程的解的情况进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵的长为方程的两根，
∴，
设，
当，
∴，而，
∴，
；经检验符合题意；
当，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
或1；
（2）解：设
当时，
∴，而，
∴，
∴；经检验符合题意；
当时，
∴，
∴，
∴,
有两个位置成立；
①有两个不等解，且有一解为，
∴，
，（不符合题意）；
②有两个相等解，
∴，
，
或5．
考点三：相似三角形的性质求坐标
例3. 如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形，
，
①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
故选：D．

【变式3-1】如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ．
【答案】2或4
【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．
【详解】如图，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ，，，
；
∴是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴=1
∴
当时，CM=2；当时CM=4，
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．
【详解】（1）点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
， 点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
（2）∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
考点四：相似三角形的性质与判定
例4．如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（ ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形，得到，继而得到，结合得到，结合证明，列出比例式解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故，
故选A．
【变式4-1】如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．8
【答案】B
【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
即，
，
故选：B
【变式4-2】如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接，交于点．则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，设．利用勾股定理求出，再通过，相似三角形中对边成比例，即可得结论．
【详解】解：如图，过点作轴于点，设交轴于，．
∵，
∴，
在中，则有，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式4-3】如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在边上找中点P，连接，则与的数量关系是________；
(2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中线的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）找到格点，使得四边形是矩形，连接，交于点，连接，则线段即为所求；
（2）找到格点使得，连接交于点，连接，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
∵四边形是矩形，
∴，
；
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点五：网格中画相似三角形
例5.如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知，
，
∴，
∴，
同理可证明，
∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个，
故选C．
【变式5-1】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ）

A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
【答案】B
【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项．
【详解】解：设每个正方格边长为1，
则，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【变式5-2】如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．

【答案】
【分析】相似三角形两个角对应相等，且对应边成比例，据此解答．
【详解】解：由图知，点应位于线段的中垂线上，
所以要使，
所以只能是点，
其他点均不符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定，要注意联系实际图形进行判定．
【变式5-3】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画，使点M，N均落在的边上．
(2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键．
（1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可；
（2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可．
【详解】（1）如图：
即为所求；
（2）如图：
即为所求．
考点六：相似三角形的动点
例6.如图所示，在中，，，是线段上任意一点，过点作，与交于点，设，，则能反映与之间关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、相似三角形的判定和性质等知识．当点在段时，则，，则；当在段时，同理可得：，即可求解．
【详解】解：设平行四边形对角线交于点，
当点在段时，
，，，则，
∵，
∴，
，
即，
，为一次函数；
当在段时，
同理可得：为一次函数，
故选：B．
【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　）
A．2s B．s C．s D．s
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形及三角形的综合，解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用．
先根据勾股定理求出，过点P作于点M，证明，推出，分别表示和的长，根据，进而，求出t的值，进而作答即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
在中，
，
过点P作于点M，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：B．
【变式6-2】如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶
（1）经过 s ，的面积是面积的；
（2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似．
【答案】 2 或
【分析】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法，进行分类讨论是解题的关键．
（1）首先计算出的面积，设t秒的面积是面积的，表示出、，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出方程求解．
【详解】在中，，，，
面积为，
的面积是面积的，
的面积为，
设t秒的面积是面积的，
则，，
在中，
，
解得，
故答案为：2；
（2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒的面积是面积的，
则，，
∵，
当或时，两三角形相似．
（1）当时，
，
（2）当时，
；
所以，经过或秒后，两三角形相似．
【变式6-3】如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
(1)求线段的长；
(2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
(3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
【答案】(1)12
(2)能，或
(3)或
【分析】（1）首先根据四边形是菱形，可得，，，利用勾股定理即可求出．
（2）情形1：如图1中，当时，，利用得列出方程求解；情形2：如图2，当时，，作垂足为，利用得到列出方程即可解决．
（3）情形1：如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接，此时与线段只有一个交点，利用得到列出方程解决．
情形2：如图4，当时，作垂足为，由得到列出方程求解．
【详解】（1）解： 四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，，，
．
（2）解：能．理由如下：
如图1，当时，，
，，
，
，
，
，
，
或不合题意舍弃）
．
如图2，当时，，作垂足为，
，
，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
解得或不合题意舍弃）
综上所述或时是直角三角形．
（3）解：①如图3，当点在线段上时，与线段相切于，连接，
此时与线段只有一个交点，
在中，，，
，
，，
，
，
，解得或不合题意舍弃）．
②如图4，当时，作垂足为，
，，
，
，
，解得．
时与线段只有一个交点．
综上所述或时与线段只有一个交点．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键，解题中培养动手画图能力，利用转化的数学思想去思考问题．
1．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A
2．，且相似比为，则它们的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴它们的面积比等于，
故选：C
3．如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形周长比等于相似比．
先根据平行四边形的性质推出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴ 与的周长之比，
故选：C．
4．如图，已知内接于，为直径，点D在上，连接交于点E，再连接，此时，，若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质和判定，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：∵，
∴
又∵
∴
∴，即
∴．
故选：C．
5．如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过F作于G，交于H，
，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
6．如图，中，、、分别为、、的中点，为上任一点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的中位线的性质，先由三角形的中位线的性质可得，再证明，可得，然后根据可得
，再解答即可．
【详解】解：中，，
，
、、分别为、、的中点，
，
，
，
，
，
故选：A
7．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果．
【详解】解：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：B．
8．如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查判断圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定和性质，根据已知求得，即可判定A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，求得，，进一步可证明，有，设，则，求得x和y，再证明，有，即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，
连接，如图，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
则，解得，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
故选：A．
9．两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似比为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴它们的相似比为，
故答案为：．
10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，． 若，则 的值是 ．
【答案】108
【分析】先证明可得，再根据圆周角定理、直角三角形的性质可得进而得到，即，进而得到；再证明可得，即．
【详解】解：，
，
，
，
；
，
为的直径，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了圆的弦、圆周角的关系、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与象征、圆周角定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
11．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．利用平行四边形的性质得出，，再利用相似三角形的性质,即可得出答案．
【详解】，E是的中点，
，
在平行四边形中，， ，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
12．如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点为延长线上一点，直线分别交，于点，，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；先证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
解得：
故答案为：．
13．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为： ．
【答案】10
【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵为的中点，即，，，
∴，
∴，
∴点为的中点，
在中，是的中线，
∴，
∵，即，，
∴，且，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
14．如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
设，则，即可得到，根据旋转得到，即可得到，求出和长即可解题．
【详解】解：在平行四边形中，，，
∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，
∴，，，
设，则，
∵ D 是的中点，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造平行四边形即可；
（2）取格点，，连接交于点，连接即可（利用相似三角形的性质,证明:）．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．
16．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），证明：连接，根据等边对等角，得，可知，即可说明，进而得出答案；
对于（2），连接，根据“两角相等的两个三角形相似”，得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
17．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．
18．【感知】如图1，在正方形中，、分别在边、上，于点．猜想线段与的数量关系为______；
【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
（1）如图2，在正方形中，若点、、、分别在边、、、上，于点，求证：；
（2）如图3，将中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______；
（3）如图4，在四边形中，，，点在上，且，连结，过点作交于点，交于点，直接写出线段的长．
【答案】感知：相等；探究：（1）见解析；（2）；（3）
【感知】证明，得出；
【探究】（1）过点作交于，过点作交于，证明即可求解；
（2）过点作交于，过点作交于，由（1）可得；
（3）如图，过点作于，根据垂直的定义得到，已知，根据勾股定理得到的长，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】感知：解：；理由如下：
四边形为正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
探究：（1）证明：过点作交于，过点作交于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）解：；理由如下：
过点作交于，过点作交于，
由（1）可得，，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于，
，
，，
，
，，
，
由（1）知，
，
解得．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
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